11西南大學(xué)-通信原理-第十一章 差錯(cuò)控制編碼

1、通信原理主講教師：高 渤 含弘光大 繼往開來學(xué)習(xí)內(nèi)容概 述1234糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的根本原理5第十一章 過失控制編碼簡單的實(shí)用編碼5線性分組碼卷積碼77559低密度奇偶檢驗(yàn)碼6循環(huán)碼8Turbo碼10網(wǎng)格編碼調(diào)制通信原理【第十一章 過失控制編碼】2學(xué)習(xí)目標(biāo) 學(xué)習(xí)要點(diǎn)1、過失控制方式和編碼分類；2、最小碼距與糾檢錯(cuò)能力；3、幾種常用的簡單編碼；4、線性分組碼的生成G、監(jiān)督H和糾錯(cuò)S；5、循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式、生成矩陣、編碼和譯碼；6、卷積碼的矩陣、多項(xiàng)式和圖形描述方法。通信原理【第十一章 過失控制編碼】3學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)1、概念： 過失控制的根本原理；碼重、漢明距離、最小距離的概念和確定；糾檢

2、能力與之間的關(guān)系；漢明碼的概念及其有關(guān)參數(shù)；卷積碼的描述方法和約束度N的含義。2、計(jì)算： 碼率的計(jì)算；線性分組碼的、編碼、校正子和糾錯(cuò)；循環(huán)碼編碼和譯碼過程；給出卷積碼編碼器，能寫出其輸入和輸出的關(guān)系；給定輸入信碼，得到輸出卷積碼序列。通信原理【第十一章 過失控制編碼】4學(xué)習(xí)目標(biāo) 難點(diǎn)1、編碼效率。2、漢明碼。3、校驗(yàn)接收碼組B是否出錯(cuò)的方法。4、多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)那么。通信原理【第十一章 過失控制編碼】5學(xué)習(xí)內(nèi)容概 述1234糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的根本原理5第十一章 過失控制編碼簡單的實(shí)用編碼5線性分組碼卷積碼77559低密度奇偶檢驗(yàn)碼6循環(huán)碼8Turbo碼10網(wǎng)格編碼調(diào)制通信原理【第十一章 過

3、失控制編碼】6一、信道分類 從過失控制角度看，按加性干擾引起的錯(cuò)碼分布規(guī)律的不同，信道可以分為三類： 1、隨機(jī)信道：錯(cuò)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的。 2、突發(fā)信道：錯(cuò)碼是成串集中出現(xiàn)的。 3、混合信道：既存在隨機(jī)錯(cuò)碼又存在突發(fā)錯(cuò)碼。第一節(jié) 概 述二、過失控制技術(shù) 1、過失控制技術(shù) 一般分為：檢錯(cuò)重發(fā)、前向糾錯(cuò)、反響校驗(yàn)、檢錯(cuò)刪除。 通信原理【第十一章 過失控制編碼】72、過失控制編碼：常稱為糾錯(cuò)編碼。第一節(jié) 概 述2多余度： 指增加的監(jiān)督碼元多少。例如，假設(shè)編碼序列中平均每兩個(gè)信息碼元就添加一個(gè)監(jiān)督碼元，那么這種編碼的多余度為1/3。1監(jiān)督碼元： 除反響校驗(yàn)外，都是在接收端識(shí)別有無錯(cuò)碼。所以在發(fā)送端需要在

4、信息碼元序列中增加一些過失控制碼元，稱為監(jiān)督碼元。不同的編碼方法，有不同的檢錯(cuò)或糾錯(cuò)能力。通信原理【第十一章 過失控制編碼】84冗余度： 監(jiān)督碼元數(shù)n-k 和信息碼元數(shù) k 之比n-k/ k 。第一節(jié) 概 述 理論上，過失控制以降低信息傳輸速率為代價(jià)換取提高傳輸可靠性。3編碼效率簡稱碼率 ： 設(shè)編碼序列中信息碼元數(shù)量為k，總碼元數(shù)量為n，那么比值k/n 就是碼率。通信原理【第十一章 過失控制編碼】9三、過失控制原理舉例自動(dòng)要求重發(fā)ARQ系統(tǒng)接收碼組ACKACKNAKACKACKNAKACKt1233455發(fā)送碼組12334556t有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組第一節(jié) 概 述 發(fā)送一組數(shù)據(jù)后發(fā)端等待收端確實(shí)認(rèn)

5、ACK答復(fù)，再發(fā)送下一組數(shù)據(jù)；假設(shè)收到否認(rèn)NAK答復(fù)，那么重發(fā)。系統(tǒng)工作在半雙工狀態(tài)，時(shí)間沒有得到充分利用，傳輸效率較低。 1、停止等待ARQ系統(tǒng) 通信原理【第十一章 過失控制編碼】102、拉后ARQ系統(tǒng)接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組91011101112214365798576ACK1NAK5NAK9ACK5發(fā)送數(shù)據(jù)57695214367981011101112重發(fā)碼組重發(fā)碼組第一節(jié) 概 述 發(fā)送端連續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)組，接收端對(duì)于每個(gè)接收到的數(shù)據(jù)組都發(fā)回確認(rèn)ACK或否認(rèn)NAK答復(fù)。 在這種系統(tǒng)中需要對(duì)發(fā)送的數(shù)據(jù)組和答復(fù)進(jìn)行編號(hào)，以便識(shí)別。顯然，這種系統(tǒng)需要雙工信道。 通信原理【第十一章 過失控制編碼】1

6、13、選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組921436575981011131412發(fā)送數(shù)據(jù)995852143671011131412重發(fā)碼組重發(fā)碼組NAK9ACK1NAK5ACK5ACK9第一節(jié) 概 述只選擇重發(fā)出錯(cuò)的數(shù)據(jù)組，因此進(jìn)一步提高了傳輸效率。通信原理【第十一章 過失控制編碼】124、ARQ的主要優(yōu)點(diǎn)和前向糾錯(cuò)方法相比：第一節(jié) 概 述5、ARQ的主要缺點(diǎn)：3檢錯(cuò)用的編碼方法和加性干擾的統(tǒng)計(jì)特性根本無關(guān)，能適應(yīng) 不同特性的信道。2檢錯(cuò)的計(jì)算復(fù)雜度較低；1監(jiān)督碼元較少即能使誤碼率降到很低，即碼率較高；2因?yàn)橹匕l(fā)而使ARQ系統(tǒng)的傳輸效率降低。1需要雙向信道來重發(fā)，也不能用于一點(diǎn)到多點(diǎn)

7、的通信系統(tǒng)。3在信道干擾嚴(yán)重時(shí)，可能反復(fù)重發(fā)造成事實(shí)上的通信中斷。4在要求實(shí)時(shí)通信的場合，往往不允許使用ARQ法。通信原理【第十一章 過失控制編碼】136、ARQ系統(tǒng)的原理方框圖第一節(jié) 概 述通信原理【第十一章 過失控制編碼】14學(xué)習(xí)內(nèi)容概 述1234糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的根本原理5第十一章 過失控制編碼簡單的實(shí)用編碼5線性分組碼卷積碼77559低密度奇偶檢驗(yàn)碼6循環(huán)碼8Turbo碼10網(wǎng)格編碼調(diào)制通信原理【第十一章 過失控制編碼】15一、糾錯(cuò)編碼的根本原理 1、相關(guān)知識(shí)回憶 1糾錯(cuò)編碼的概念 在信息碼元序列中參加監(jiān)督碼元，稱為過失控制編碼。2實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)編碼的根本思想原理 1利用冗余度 冗余比

8、特與信息比特之間存在著特定的相關(guān)性。 2使噪聲均化(隨機(jī)化) 噪聲均化是將過失均勻分?jǐn)偨o各碼字，到達(dá)提高總體差 錯(cuò)控制能力的目的。第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理【第十一章 過失控制編碼】162、糾錯(cuò)編碼的分類1按對(duì)信息序列的處理方法：分組碼和卷積碼。2按照校驗(yàn)位與信息位的關(guān)系：線性碼與非線性碼。3按照適用的過失類型：糾隨機(jī)過失碼和糾突發(fā)過失碼。4按照構(gòu)碼理論：代數(shù)碼、幾何碼、算術(shù)碼、組合碼等。 有多少觀察問題的角度，就有多少分類方法。不同的分類方法只是從不同的角度抓住碼的某一特性加以歸類，并不能說明某個(gè)碼的全部特性。 分類可以進(jìn)一步細(xì)化，把大類分割成小類。第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理

9、【第十一章 過失控制編碼】173、糾錯(cuò)編碼舉例分組碼例子3, 2 既不能檢錯(cuò)也不能糾錯(cuò)能檢錯(cuò)，但不能糾錯(cuò)許用碼組禁用碼組合法碼組許用碼組000、111其余碼組禁用既可檢錯(cuò)，也能糾錯(cuò)第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理【第十一章 過失控制編碼】18 4、分組碼的概念 1定義 將信息碼分組，對(duì)每個(gè)信息碼組附加假設(shè)干監(jiān)督碼元的編碼。2表示法 用符號(hào)N，K表示，其中K是每組二進(jìn)制信息碼元的個(gè)數(shù)，N是編碼組的總位數(shù)，又稱碼長，NK = r 為每碼組中監(jiān)督碼元的數(shù)目。第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理【第十一章 過失控制編碼】191碼重：碼組中“1的個(gè)數(shù)，稱為碼組的重量簡稱碼重。第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理3

10、最小碼距：把某種編碼中各個(gè)碼組之間距離的最小值稱為最 小碼距d0。如上面的編碼的最小碼距d0 = 2。 “000晴，“011云，“101陰，“110雨，4個(gè)碼組之間，任意兩個(gè)的距離均為2。2碼距：把兩個(gè)碼組中對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)，稱為碼組的 距離，簡稱碼距，又稱漢明距離。例如：3分組碼的碼重和碼距通信原理【第十一章 過失控制編碼】20碼距的幾何意義 4碼距漢明距的幾何意義 兩個(gè)碼組對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)，稱為碼組的距離。最大碼距最小碼距d0 編碼的最小碼距決定了該編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力： d0 = 1 時(shí)，沒有檢、糾錯(cuò)能力； d0 = 2 時(shí)，具有檢查一個(gè)過失的能力； d0 = 3 時(shí)，用于檢

11、錯(cuò)時(shí)具有檢查兩個(gè)過失的能力； 用于糾錯(cuò)時(shí)具有糾正一個(gè)過失的能力。第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理【第十一章 過失控制編碼】21 最小碼距 的大小與編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的關(guān)系： 1為檢測 個(gè)錯(cuò)碼，那么要求： 2為糾正 個(gè)錯(cuò)碼，那么要求： 3為糾正 個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測 個(gè)錯(cuò)碼，那么要求：第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理【第十一章 過失控制編碼】22糾正 t 個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測 e 個(gè)錯(cuò)碼5、碼距與檢、糾錯(cuò)能力的關(guān)系檢測 e 個(gè)錯(cuò)碼糾正 t 個(gè)錯(cuò)碼第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理通信原理【第十一章 過失控制編碼】23第二節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理 如何理解證明：為糾正 t 個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測 e 個(gè)錯(cuò)碼，要求最

12、小碼距 d0 t + e +1 e t 。BtA漢明距離012345td0設(shè)碼組A和B之間距離為5，那么最多能檢測4個(gè)錯(cuò)碼，最多能糾正2個(gè)錯(cuò)碼。但是，不能同時(shí)滿足。當(dāng)錯(cuò)碼位數(shù)超過糾錯(cuò)能力時(shí)，該碼組會(huì)立即進(jìn)入另一碼組的圓內(nèi)而被錯(cuò)誤地“糾正了。因此，檢錯(cuò)和糾錯(cuò)公式不能同時(shí)成立或同時(shí)運(yùn)用。 通信原理【第十一章 過失控制編碼】24 為了可以在糾正 t 個(gè)錯(cuò)碼的同時(shí)，能夠檢測 e 個(gè)錯(cuò)碼，需要如以下圖所示。使某一碼組譬如碼組A發(fā)生e個(gè)錯(cuò)誤之后所處位置，與其他碼組譬如碼組B的糾錯(cuò)圓圈至少距離等于 1 ，以防止落在該糾錯(cuò)圓上從而發(fā)生錯(cuò)誤地“糾正。因此，由此圖可以直觀看出，要求最小碼距ABe1tt漢明距離第二

13、節(jié) 糾錯(cuò)編碼的根本原理 這種糾檢結(jié)合的工作方式是自動(dòng)轉(zhuǎn)換的。它適用于大多數(shù)時(shí)間里錯(cuò)碼數(shù)量很少，少數(shù)時(shí)間里錯(cuò)碼數(shù)量多的情況。通信原理【第十一章 過失控制編碼】25學(xué)習(xí)內(nèi)容概 述1234糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的根本原理5第十一章 錯(cuò)控制編碼簡單的實(shí)用編碼5線性分組碼卷積碼77559低密度奇偶檢驗(yàn)碼6循環(huán)碼8Turbo碼10網(wǎng)格編碼調(diào)制通信原理【第十一章 過失控制編碼】26一、系統(tǒng)帶寬和信噪比的矛盾第三節(jié) 糾錯(cuò)編碼的性能 在發(fā)送碼元序列中參加監(jiān)督碼元，使得發(fā)送序列增長，冗余度增大，假設(shè)仍保持發(fā)送信息碼元速率不變，那么傳輸速率必須增大，因而增大了系統(tǒng)帶寬。 系統(tǒng)帶寬的增大將引起系統(tǒng)中噪聲功率增大，使信

14、噪比下降。信噪比的下降反而又使系統(tǒng)接收碼元序列中的錯(cuò)碼增多。 一般說來，采用糾錯(cuò)編碼后，誤碼率總是能夠得到很大改善的。改善的程度和所用的編碼有關(guān)。通信原理【第十一章 過失控制編碼】27二、編碼性能舉例第三節(jié) 糾錯(cuò)編碼的性能 未采用糾錯(cuò)編碼時(shí)，假設(shè)接收信噪比等于7dB，編碼前誤碼率約為810-3，圖中A點(diǎn)； 在采用糾錯(cuò)編碼后，誤碼率降至約410-4.5，圖中B點(diǎn)。 這樣，不增大發(fā)送功率就能降低誤碼率約一個(gè)半數(shù)量級(jí)。10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEBA信噪比 （dB）編碼前通信原理【第十一章 過失控制編碼】28 由圖還可以看出，假設(shè)保持誤碼率在10-5，圖中C點(diǎn)，未

15、采用編碼時(shí)，約需要信噪比Eb / n0 = 10.5 dB。 采用編碼時(shí)，約需要信噪比7.5 dB，圖中D點(diǎn)。可以節(jié)省功率2dB，通常把這2dB稱為編碼增益。第三節(jié) 糾錯(cuò)編碼的性能 上面兩種情況付出的代價(jià)是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEBA信噪比 （dB）編碼前通信原理【第十一章 過失控制編碼】29 傳輸速率和Eb/n0的關(guān)系第三節(jié) 糾錯(cuò)編碼的性能 式中，RB為碼元速率。假設(shè)希望提高傳輸速率，由上式看出勢必使信噪比下降，誤碼率增大。對(duì)于給定的傳輸系統(tǒng)通信原理【第十一章 過失控制編碼】30第三節(jié) 糾錯(cuò)編碼的性能10-610-510-410-310-21

16、0-1編碼后PeCDEBA信噪比 （dB）編碼前 假設(shè)系統(tǒng)原來工作在圖中C點(diǎn)，提高速率后由C點(diǎn)升到E點(diǎn)。 但加用糾錯(cuò)編碼后，仍可將誤碼率降到D點(diǎn)。這時(shí)付出的代價(jià)仍是帶寬增大。通信原理【第十一章 過失控制編碼】31學(xué)習(xí)內(nèi)容概 述1234糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的根本原理5第十一章 過失控制編碼簡單的實(shí)用編碼5線性分組碼卷積碼77559低密度奇偶檢驗(yàn)碼6循環(huán)碼8Turbo碼10網(wǎng)格編碼調(diào)制通信原理【第十一章 過失控制編碼】32 1、偶數(shù)監(jiān)督碼 無論信息位多少，監(jiān)督位只有1位，它使碼組中“1的數(shù)目為偶數(shù)，即滿足下式條件： 。一、奇偶監(jiān)督碼適用于檢測隨機(jī)錯(cuò)碼第四節(jié) 簡單的實(shí)用編碼 能檢測奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。在接

17、收端，按照上式求“模2和，假設(shè)計(jì)算結(jié)果為“1就說明存在錯(cuò)碼，結(jié)果為“0就認(rèn)為無錯(cuò)碼。 奇偶監(jiān)督碼分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩種。 2、奇數(shù)監(jiān)督碼 碼組中“1的數(shù)目為奇數(shù)，即滿足下式條件： 通信原理【第十一章 過失控制編碼】33二、二維奇偶監(jiān)督碼方陣碼，適用于檢測突發(fā)錯(cuò)碼第四節(jié) 簡單的實(shí)用編碼 1、二維奇偶監(jiān)督碼的構(gòu)成 先把上述奇偶監(jiān)督碼的假設(shè)干碼組排成矩陣，每一碼組寫成一行，然后再按列的方向增加第二維監(jiān)督位。2、二維奇偶監(jiān)督碼的性能 可能檢測偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，也有一些偶數(shù)錯(cuò)碼不能被檢測出來。 由于方陣碼只對(duì)構(gòu)成矩形四角的錯(cuò)碼無法檢測，故其檢錯(cuò)能力較強(qiáng)。此外，二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來檢錯(cuò)，還可以用來糾

18、正一些錯(cuò)碼，例如：僅在一行中有奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼時(shí)。通信原理【第十一章 過失控制編碼】34三、恒比碼第四節(jié) 簡單的實(shí)用編碼 恒比碼的主要優(yōu)點(diǎn)是：簡單和適于用來傳輸電傳機(jī)或其他鍵盤設(shè)備產(chǎn)生的字母和符號(hào)。 檢測時(shí)只要計(jì)算接收碼組中“1的數(shù)目是否對(duì)，就知道有無錯(cuò)碼。 每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1和“0。由于“1的數(shù)目與“0的數(shù)目之比保持恒定，因此稱為恒比碼。通信原理【第十一章 過失控制編碼】35 例如：假設(shè)碼長 n = 10，其中信息位 k = 5，監(jiān)督位 r = 5。編碼規(guī)那么：信息位中有奇數(shù)個(gè)“1時(shí)，監(jiān)督位是信息位的簡單重復(fù)；信息位有偶數(shù)個(gè)“1時(shí)，監(jiān)督位是信息位的反碼。四、正反碼第四節(jié) 簡單的實(shí)用編碼

19、1、正反碼的編碼 是一種簡單的糾錯(cuò)碼編碼。監(jiān)督碼元與信息位數(shù)目相同或者相反，是由信息碼中“1的個(gè)數(shù)而定。 例如：假設(shè)信息位為11001，那么碼組為 11001 11001 ；假設(shè)信息位為10001，那么碼組為 10001 01110 。2、正反碼的解碼略通信原理【第十一章 過失控制編碼】36學(xué)習(xí)內(nèi)容概 述1234糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的根本原理5第十一章 過失控制編碼簡單的實(shí)用編碼5線性分組碼卷積碼77559低密度奇偶檢驗(yàn)碼6循環(huán)碼8Turbo碼10網(wǎng)格編碼調(diào)制通信原理【第十一章 過失控制編碼】37一、線性分組碼的根本概念第五節(jié) 線性分組碼3、線性分組碼：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼 。 2、

20、線性碼： 按照一組線性方程構(gòu)成的代數(shù)碼。在線性碼中信息位和監(jiān) 督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的。1、代數(shù)碼：建立在代數(shù)學(xué)根底上的編碼。4、漢明碼： 是能夠糾正1位錯(cuò)碼且編碼效率較高的一種線性分組碼。通信原理【第十一章 過失控制編碼】38 假設(shè)S = 0，就認(rèn)為無錯(cuò)碼；假設(shè)S = 1，就認(rèn)為有錯(cuò)碼。上式就稱為監(jiān)督關(guān)系式，S 稱為校正子。由于校正子S只有兩種取值，故它只能代表有錯(cuò)和無錯(cuò)這兩種信息，而不能指出錯(cuò)碼的位置。 在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位a0，它和信息位an-1 a1一起構(gòu)成一個(gè)代數(shù)式：二、漢明碼的構(gòu)造原理第五節(jié) 線性分組碼在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算1、監(jiān)督關(guān)系式的概念通信

21、原理【第十一章 過失控制編碼】39第五節(jié) 線性分組碼 假設(shè)監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，那么能增加一個(gè)類似的監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值為： 00、01、10、11，故能表示4種不同的信息。 假設(shè)用其中1種組合表示無錯(cuò)，那么其余3種組合就有可能用來指示一個(gè)錯(cuò)碼的3種不同位置。同理，r 個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示1位錯(cuò)碼的2r 1個(gè)可能位置。 假設(shè)碼長為 n ，信息位數(shù)為 k ，那么監(jiān)督位數(shù) rnk 。如果用 r 個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出 r 個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來指示1位錯(cuò)碼的 n 種可能位置，那么要求通信原理【第十一章 過失控制編碼】40第五節(jié) 線性分組碼2、如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式 例：設(shè)分組碼n, k中k = 4，

22、為糾正1位錯(cuò)碼，那么要求監(jiān)督位數(shù) r 3。假設(shè)取 r = 3，那么n = k + r = 7。用a6 a5 a0表示7個(gè)碼元，用S1、S2和S3表示3個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，那么S1、S2和S3的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以規(guī)定如下表所列：S1 S2 S3錯(cuò)碼位置S1 S2 S3錯(cuò)碼位置0 0 1a01 0 1a40 1 0a11 1 0a51 0 0a21 1 1a60 1 1a30 0 0無錯(cuò)碼通信原理【第十一章 過失控制編碼】41 由表中可見，僅當(dāng)一位錯(cuò)碼的位置在a2 、a4、a5或a6時(shí)，校正子S1為1；否那么S1為零。即：a2 、a4、a5和a6四個(gè)碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：第五節(jié) 線性

23、分組碼以及a0、a3、a4 和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：同理， a1、a3、a5和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：S1 S2 S3錯(cuò)碼位置S1 S2 S3錯(cuò)碼位置0 0 1a01 0 1a40 1 0a11 1 0a51 0 0a21 1 1a60 1 1a30 0 0無錯(cuò)碼通信原理【第十一章 過失控制編碼】42 發(fā)端編碼時(shí)，信息位a6、a5、a4和a3的值決定于輸入信號(hào)，取值是隨機(jī)的。監(jiān)督位a2、a1和a0應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上3式中S1、S2和S3的值為0表示編成的碼組中應(yīng)無錯(cuò)碼：第五節(jié) 線性分組碼上式經(jīng)過移項(xiàng)運(yùn)算，解出監(jiān)督位通信原理【第十一章 過失控制編碼】43給定信息位后

24、，可直接按上式算出監(jiān)督位， 結(jié)果見下表：第五節(jié) 線性分組碼信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位a2 a1 a0信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位a2 a1 a00 0 0 00 0 01 0 0 01 1 10 0 0 10 1 11 0 0 11 0 00 0 1 01 0 11 0 1 00 1 00 0 1 11 1 01 0 1 10 0 10 1 0 01 1 01 1 0 00 0 10 1 0 11 0 11 1 0 10 1 00 1 1 00 1 11 1 1 01 0 00 1 1 10 0 01 1 1 11 1 1通信原理【第十一章 過失控制編碼】44 收端收到每個(gè)碼組后

25、，先計(jì)算出S1、S2和S3，再查表判斷錯(cuò)碼情況。例如，假設(shè)接收碼組為0000011，按上述公式計(jì)算可得：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。由于S1 S2 S3 等于011，故查表可知在a3位有1錯(cuò)碼。第五節(jié) 線性分組碼 按照上述方法構(gòu)造的碼稱為漢明碼。表中所列的7, 4漢明碼的最小碼距d0 = 3。因此，這種碼能夠糾正1個(gè)錯(cuò)碼或檢測2個(gè)錯(cuò)碼。由于碼率k/n = n - r /n =1 r/n，故當(dāng)n很大和r很小時(shí)，碼率接近1?？梢姡瑵h明碼是一種高效碼。通信原理【第十一章 過失控制編碼】45三、線性分組碼的一般原理第五節(jié) 線性分組碼現(xiàn)在將上面它改寫為式中已經(jīng)將“簡寫成“+：上面7, 4漢

26、明碼的例子有1H矩陣監(jiān)督矩陣1、線性分組碼的構(gòu)造式中已經(jīng)將“簡寫成“+。 通信原理【第十一章 過失控制編碼】46第五節(jié) 線性分組碼上式可表示成如下矩陣形式：H AT = 0T 或 A HT = 0還可以簡記為： 式中A = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a00 = 000“T表示將矩陣轉(zhuǎn)置。 H稱為監(jiān)督矩陣。只要監(jiān)督矩陣H給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。 通信原理【第十一章 過失控制編碼】47第五節(jié) 線性分組碼發(fā)2H矩陣的性質(zhì)： 1H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目r H的每行中“1的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)督關(guān)系。例如：1110100 。H矩陣可以分成兩局部，如 式中，P為

27、r k階矩陣，Ir為r r階單位方陣。具有P Ir形式的H矩陣稱為典型陣。通信原理【第十一章 過失控制編碼】48 2H矩陣的各行線性無關(guān) 否那么得不到 r 個(gè)線性無關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，也得不到 r 個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督位。假設(shè)矩陣能寫成典型陣形式P Ir，那么其各行一定是線性無關(guān)。第五節(jié) 線性分組碼發(fā)3G矩陣生成矩陣：上例中也可改寫成矩陣形式：通信原理【第十一章 過失控制編碼】49或者寫成第五節(jié) 線性分組碼發(fā) 上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q就產(chǎn)生出監(jiān)督位。式中，Q為一個(gè)k r階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即 Q = PT。通信原理【第十一章 過失控制編碼】50將Q的左邊加上1個(gè)k k階單位方陣

28、，就構(gòu)成1個(gè)矩陣G 第五節(jié) 線性分組碼發(fā)或者G稱為生成矩陣，因?yàn)橛伤梢援a(chǎn)生整個(gè)碼組，即有通信原理【第十一章 過失控制編碼】51 因此，如果找到了碼的生成矩陣G，那么編碼的方法就完全確定了。具有Ik Q形式的生成矩陣，稱為典型生成矩陣。 由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后，這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼。 第五節(jié) 線性分組碼發(fā)通信原理【第十一章 過失控制編碼】524G矩陣的性質(zhì)： 1G矩陣的各行是線性無關(guān)的 任一碼組A都是G的各行的線性組合。G共有k行，假設(shè)它們線性無關(guān)，那么可以組合出2k種不同的碼組A。第五節(jié) 線性分組碼發(fā) 2G的各行本身就是一個(gè)碼組 如果有 k 個(gè)線性無關(guān)的碼組，