《大學(xué)物理學(xué)》課件第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動3.1 剛體運(yùn)動的描述 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 3.4 角動量定理 角動量守恒定律 2剛體(rigid body)：在外力作用下，大小和形狀不發(fā)生變化的剛性物體。剛體是一種理想模型，是為簡化所研究的問題而引進(jìn)的。 剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離，在運(yùn)動過程中始終保持不變。 剛體可以看成由無數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。 33.1 剛體運(yùn)動的描述 1. 剛體的平動剛體內(nèi)所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡完全相同，或者剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線始終保持平行。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。一、剛體的運(yùn)動剛體平動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動4 2. 剛體的轉(zhuǎn)動剛體中所有點(diǎn)都繞同

2、一條直線為轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動。若轉(zhuǎn)軸的位置和方向在所選的參考系中是固定的，則稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。（本章的研究對象）5 3. 剛體的平面平行運(yùn)動 剛體中任意一點(diǎn)始終在某一固定平面內(nèi)運(yùn)動。剛體的平面平行運(yùn)動可以看作剛體隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心軸（垂直于固定平面）的轉(zhuǎn)動的合成。61. 角位置二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述 定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。xO一般規(guī)定，沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的角位置為正。 2. 角位移 3. 角速度 方向?yàn)檗D(zhuǎn)動的右手螺旋方向 74. 角加速度 線量與角量的關(guān)系 路程與角位移：速率與角速度：加速度與角加速度：83.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 一、力

3、矩描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用d大?。?M力臂 方向：由右手法則確定 1. 力 對參考點(diǎn) O 的力矩： O切向力 9zd大?。?方向：可用正、負(fù)號表示。 2. 力 對轉(zhuǎn)軸 z 的力矩： O 3. 力矩的合成 對于固定轉(zhuǎn)軸 矢量和 代數(shù)和 10二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 zO把剛體看成質(zhì)點(diǎn)系，由牛頓第二定律，對質(zhì)點(diǎn) i 有合內(nèi)力矩： 合外力矩： 11剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體的角加速度與所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律（轉(zhuǎn)動定律）轉(zhuǎn)動慣量： 外力矩 M 是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化即產(chǎn)生角加速度 的原因。M 與 同向，它們是瞬時(shí)關(guān)系。 12轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，其轉(zhuǎn)動慣

4、性大小的物理量。轉(zhuǎn)動慣量越大，剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)越難以改變。 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的 ，與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的 ，地位相當(dāng)。 解題基本方法（隔離法）明確對象隔離物體受力分析建坐標(biāo)系列方程解方程結(jié)果討論平動物體-質(zhì)點(diǎn)-牛頓定律 轉(zhuǎn)動物體-剛體-轉(zhuǎn)動定律 線量與角量的關(guān)系 聯(lián)動關(guān)系 13例3.1 已知定滑輪的質(zhì)量為 m ，半徑為 R ，若滑輪質(zhì)量均勻分布，可求得滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為 。通過一輕繩在定滑輪的兩邊分別掛上質(zhì)量為 m1 和 m2 的兩個(gè)物體( m1 m2 )。設(shè)繩不能伸長，繩與滑輪之間無相對滑動，滑輪軸承摩擦力忽略不計(jì)。求： 滑輪的角加速度 ； m1 和 m2 的加速度； 滑輪兩邊繩子的張力T1 和 T2 。

5、 m1 m2 m14解：分別對物體和滑輪受力分析， m1 m2 mm1g m2g T1 T1 T2 T2 設(shè)兩物體和滑輪的加速度、角加速度正向分別為如圖所示，則有 15解得 16zOm三、剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量 1. 質(zhì)量離散分布（質(zhì)點(diǎn)系） rdmzOm1r1r2m22. 質(zhì)量連續(xù)分布 17例3.2 求質(zhì)量為 m ，長為 l 的均勻細(xì)棒對下面兩種給定的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直。 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂直。 解：在 r 處取 dr 小段質(zhì)元 r dr O r 對中心垂直軸 z18 對端點(diǎn)垂直軸 zOrrdrl剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。 19例3.3 試求： 質(zhì)

6、量為 m ，半徑為 R 的均勻細(xì)圓環(huán)對通過中心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 質(zhì)量為 m ，半徑為 R 的均勻薄圓盤對通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解： 在環(huán)上取 dm 質(zhì)元 dmROm20 取半徑為 r ，寬度為 dr 的細(xì)圓環(huán)，則 剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量分布（幾何形狀）有關(guān)。 ROmrdr21剛體轉(zhuǎn)動慣量大小的決定因素： 質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量是標(biāo)量，且具有可加性。 討論質(zhì)量分布（幾何形狀）轉(zhuǎn)軸的位置 轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量成正比。質(zhì)量越遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸分布，轉(zhuǎn)動慣量越大。對于穿過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量最小。 22幾種規(guī)則形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量 剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量細(xì)棒通過中心并與棒垂直 細(xì)棒

7、通過端點(diǎn)并與棒垂直 圓環(huán)通過中心并與環(huán)面垂直 圓環(huán)沿直徑 圓盤通過中心并與盤面垂直 圓盤沿直徑 圓柱體沿幾何軸 圓筒沿幾何軸 球體沿直徑 球殼沿直徑 23四、平行軸定理 zCdzCJC：剛體對質(zhì)心軸 zC 的轉(zhuǎn)動慣量mJ：剛體對平行軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量mlzC例如：細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量z243.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 一、力矩的功力矩的空間累積效應(yīng)Ox外力矩做功剛體的全部質(zhì)點(diǎn)之間不發(fā)生相對位移，因此，剛體的內(nèi)力不做功。 25二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能 把剛體看成質(zhì)點(diǎn)系，則動能為剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能 26三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 將轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用到力矩做功公式中，有合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等

8、于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 27例3.4 一根質(zhì)量為 m ，長為 l 的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn) O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平成角時(shí)中心點(diǎn) C 和端點(diǎn) A 的速率。 解：棒只受重力矩作用 CAmg重力矩做功 28由動能定理 轉(zhuǎn)動慣量 解得 所以 機(jī)械能守恒嗎?29例3.5 質(zhì)量為 m1 、半徑為 R 的均勻圓盤，可繞垂直通過盤心的水平軸轉(zhuǎn)動。圓盤上繞有輕繩，一端懸掛質(zhì)量為 m2 的物體。求物體由靜止下落高度 h 時(shí)的速率。不計(jì)阻力、繩的質(zhì)量及伸長。 解：分別對滑輪和物體受力分析 對滑輪做功 hm2 gTTm1m2對物體做功 30+得，總

9、功 且有 解得 系統(tǒng)機(jī)械能守恒嗎?31Oyzx3.4 角動量定理 角動量守恒定律 一、角動量定理力矩對時(shí)間的累積效應(yīng)1. 角動量(angular momentum) 【動量矩】 質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn) O 的角動量 大小： 方向：右手法則確定 L32 剛體繞定軸 z 轉(zhuǎn)動的角動量 zO方向：與角速度方向相同，即轉(zhuǎn)動的右手螺旋方向。 剛體內(nèi)各質(zhì)元都做圓周運(yùn)動 332. 角動量定理(theory of angular momentum) 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力 對參考點(diǎn) O 的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動量 隨時(shí)間的變化率。 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理（微分式） 34對于同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量矩等

10、于質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)角動量的增量。 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理（積分式） 矢量式，可以有相應(yīng)的分量式，比如： 沖量矩是過程量，而角動量是狀態(tài)量。 可與質(zhì)點(diǎn)的動量定理做類比。 35 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，作用于剛體的合外力矩 M ，等于剛體繞該軸的角動量 L 隨時(shí)間的變化率。 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理（微分式） 36剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，其所受的沖量矩等于剛體角動量的增量。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理（積分式） 37二、角動量守恒定律 1. 質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律 當(dāng)合外力矩 時(shí)，有對某一參考點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)的角動量保持不變。 質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律38例3.6

11、 我國于1970年4月24日成功發(fā)射了第一顆人造衛(wèi)星，該衛(wèi)星近地點(diǎn)439 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)2384 km，求衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率。 解：衛(wèi)星對地心的角動量守恒 由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有 MmO39聯(lián)立、，且有 解得 代入數(shù)據(jù) R = 6370 kmg = 0.0098 km/s2r1 = 6370+439 = 6809 kmr2 = 6370+2384 = 8754 km解得 402. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 當(dāng)外力矩 時(shí)，有剛體所受的合外力矩為零時(shí)，角動量保持不變。角動量守恒定律 若 J 不變，不變；若 J 變，也變，但 L = J 不變。 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的總角動量。 角動量守恒定律是自然界普遍適用的基本定律之一。 41例3.7 長為 l 、質(zhì)量為 m0 的均勻細(xì)棒可繞點(diǎn) O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為 m 、速度為的子彈，在距 O 點(diǎn)為 l 處水平地射入棒內(nèi)。求棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 解：子彈射入棒的前后瞬間，系統(tǒng)角動量守恒 轉(zhuǎn)動