等比數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)證明應(yīng)用

1、等比數(shù)列前n項(xiàng)及性質(zhì)證明及應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)及性質(zhì)證明及應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)及性質(zhì)證明及應(yīng)用一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的完滿及應(yīng)用黃文憲福建省南安市新營中學(xué)大綱：本文所指等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)是指,之間的關(guān)系，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用又常錯(cuò)的命題。很多的課外指導(dǎo)資料中所給的相關(guān)性質(zhì)都是不完滿的，應(yīng)用該性質(zhì)解題存在著邏輯上的弊端，但又不易察覺。本文對(duì)該性質(zhì)進(jìn)行了完滿與發(fā)展，使得利用該性質(zhì)解題能完滿無誤。要點(diǎn)詞：等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)完滿應(yīng)用在很多的高中數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料中，都相關(guān)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和一個(gè)性質(zhì)：在等比數(shù)列中，若其前n項(xiàng)和為，,則,也成等比數(shù)列，公比為。由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和有鄰近似性質(zhì)的存在，誠然沒有嚴(yán)

2、格的證明，但在慣性思想作用下，這個(gè)性質(zhì)獲取廣大師生的認(rèn)同。其實(shí)，這是一個(gè)假命題，比方有窮等比數(shù)列1,-1,1,-1,1,-1的前兩項(xiàng)和、中兩項(xiàng)和及后兩項(xiàng)和,組成的數(shù)列為0,0,0，顯然不行等比數(shù)列。這說明，最少在公比時(shí)，命題是不成立的。那么，該性質(zhì)應(yīng)如何表述才合適呢？等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及其證明等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)：在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則。證明：在等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，設(shè)公比為,則=當(dāng)時(shí)，由由得是等比數(shù)列，即有。當(dāng)時(shí)若為偶數(shù)，則，=0=0此時(shí)，不行等比數(shù)列，但有若為奇數(shù)，則，,成等比數(shù)列，即有綜上所述，在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則。等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)析有了等比數(shù)列前n項(xiàng)和性

3、質(zhì)，可以直接用它來解題了嗎？先看以下一道試題幾個(gè)學(xué)生的不同樣解法：人教A版教輔優(yōu)化設(shè)計(jì)P42，試題7：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_學(xué)生甲：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)有：或?qū)W生乙：顯然公比，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)=15綜上所述，.學(xué)生丙：由已知得得解得=因此.觀察比較幾位同學(xué)的解法會(huì)發(fā)現(xiàn)，直接利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題，可能會(huì)產(chǎn)生增根，從而得出錯(cuò)誤結(jié)果。甲同學(xué)的解答得出的對(duì)應(yīng)于乙同學(xué)和丙同學(xué)解答時(shí)得到的，等比數(shù)列不存在。因此性質(zhì)“在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則”的題設(shè)是結(jié)論的充分不用要條件，即在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則必然成立，但滿足的不用然是一等比數(shù)列的前，項(xiàng)和。所以研究等比

4、數(shù)列中前，項(xiàng)和的內(nèi)在聯(lián)系成為該性質(zhì)應(yīng)用的必然。等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解析完滿由于,因此為偶數(shù)時(shí)，則同號(hào)且，不論為何整數(shù)時(shí)，。又由于滿足時(shí)，因此。因此，等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)表述為：在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則，（當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同號(hào)且）。等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題應(yīng)用例1、若某等比數(shù)列中前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為_.解：144=48為奇數(shù)，因此，.，由關(guān)系式可得例2、在等比數(shù)列中，求解：由得解得或由于為偶數(shù)，、同號(hào)且，因此。例3、已知等比數(shù)列中，前20項(xiàng)和，前30項(xiàng)和，求前10項(xiàng)。解：由得解得或由于為偶數(shù)，、同號(hào)且，因此。例4：已知等比數(shù)列中，前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，求前項(xiàng)。解：由得解

5、得或當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，、同號(hào)且，不合題意，舍去，因此。當(dāng)或反思感悟在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有很多知識(shí)之間聯(lián)系很親密，知識(shí)的生成過程中經(jīng)?？蛇M(jìn)行類比，這種推理因其“切合情理”而有利于學(xué)生的接受，促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展。等差數(shù)列和等比數(shù)列關(guān)系親密，兩者之間在定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等各方面進(jìn)行類比是授課過程中常態(tài)。由“等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則，也成等差數(shù)列”類比得出“等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則，也成等比數(shù)列”是一個(gè)很自然的過程。但合情推理不是邏輯推理，其所得結(jié)論其實(shí)不用然為真。類比所得結(jié)果必定進(jìn)行邏輯證明是戰(zhàn)勝學(xué)生慣性思想引起錯(cuò)誤的有效方法。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有很多的性質(zhì)、定理、推論。這些性質(zhì)、定理、推論中，有一些的題設(shè)與結(jié)論是不等價(jià)的，也許說題設(shè)是結(jié)論的充分不用要條件。除了本文研究的等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)外，還有很多，比方：函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)關(guān)系函數(shù)的極值點(diǎn)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)值關(guān)系不等式的同向可加性、同向可積性在利用這些性質(zhì)、定理、推論、解題變形時(shí)，要注意解題的等價(jià)性，防范可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)是嚴(yán)實(shí)的，在利用相關(guān)