最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

1、第五講最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)【知識導(dǎo)引】一、約數(shù)的見解與最大合約數(shù)約數(shù)又叫因數(shù)(在正整數(shù)范圍內(nèi)）整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。最大合約數(shù):假如一個數(shù)既是數(shù)a的約數(shù)，又是數(shù)b的約數(shù)，稱為a,b的約數(shù)。幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù),此中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。求最大合約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，此后把相同的因數(shù)連乘起來。比方：2313711，25222327，所以(231,252)3721；21812短除法：先找出全部共有的約數(shù)，此后相乘。比方：396，所以(12,18)236；32展轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，可以整除的那個余數(shù)，

2、就是所求的最大合約數(shù)。用展轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大合約數(shù)的步驟以下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止。那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大合約數(shù)(假如最后的除數(shù)是1，那么本來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)。比方，求600和1515的最大合約數(shù)6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大合約數(shù)是15。最大合約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大合約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的合約數(shù)，都是這

3、幾個數(shù)的最大合約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n，所得的積的最大合約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大合約數(shù)乘以n。求一組分?jǐn)?shù)的最大合約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其余分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大合約數(shù)b；b即為所求。a二、倍數(shù)的見解與最小公倍數(shù)關(guān)于整數(shù)m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍數(shù)。如15可以被3或我們就說15是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)5整除，,此中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法求最小公倍數(shù)比方：2313711，25222327，所以231,25222327112772；短除法求最小

4、公倍數(shù)21812比方：396，所以18,12233236；32公式法：a,bab(a,b)最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的隨意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。兩個數(shù)擁有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大合約數(shù)是此中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)a；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大合約數(shù)b；b即為所求。比方：3,53,515a412(4,12)4注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大合約數(shù)不可以是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù)。比方：1,41,44232,3三、最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)兩個自然數(shù)分別除以它們的最

5、大合約數(shù)，所得的商互質(zhì)。假如m為A、B的最大合約數(shù)，且Ama，Bmb，那么a、b互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab，所以最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)有以下一些基本關(guān)系：ABmambmmab，即兩個數(shù)的最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大合約數(shù)是A、B、AB、AB及最小公倍數(shù)的約數(shù)。2.兩個數(shù)的最大合約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積，即(a,b)a,bab。關(guān)于隨意3個連續(xù)的自然數(shù)，假如三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為：奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)，比方：567210，210就是567的最小公倍數(shù)。偶奇偶，那么三個數(shù)的乘等于三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍，比方：678336，而6,

6、7,8的最小公倍數(shù)3362168幾個數(shù)最小公倍數(shù)必定不會比他的乘大?！纠}解析】A組基礎(chǔ)夯實】例1兩個數(shù)的最大公數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，此中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？解：由ab=a，b（a，b）可得：另一個數(shù)，252428=36答：另一個數(shù)是36。例2求437與323最大公數(shù)是多少？解：運(yùn)用相除法：437323=1114；323114=295；11495=119,9519=5，那么（437,323）=19答：437與323的最大公數(shù)是19。例3已知兩個數(shù)的最大公數(shù)是20，最小公倍數(shù)560，符合條件的兩個數(shù)中差最小的兩個數(shù)各是多少？解：由意可得：56020=28=128=47，然4與7之

7、差最小，207=140,204=80答：符合條件的兩個數(shù)中差最小的數(shù)是80和140。例4有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用些水果最多可以分紅多少份同的禮品？在每份禮品中，三水果各多少？解：最多可以分紅(336,252,210)42（份）每份中有蘋果33642=8（個）每份中有桔子25242=6（個）每份中有梨21042=5（個）答：最多可以分紅42份，每份中有蘋果8個，有桔子6個，有梨5個。【B組能力提高】例1已知兩個自然數(shù)的差2，它的最小公倍數(shù)與最大公數(shù)之差142，求兩個自然數(shù)。解：由意可得：兩個自然數(shù)的差2的自然數(shù)的最大公數(shù)只有兩種可能：一個1，一個21）當(dāng)兩個數(shù)互，1（1+14

8、2）=1143=1113；2）當(dāng)兩個自然數(shù)最大公數(shù)2，2（142+2）=2144=1618，所以兩個自然數(shù)是11和13或許16和18。答：略。例2已知兩個自然數(shù)的和是60，它們的最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)之和是84，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個數(shù)為a,b,若（a,b）=m,則amq1,bmq2(q1,q2互質(zhì))，則a,bmq1q2,由abmq1mq2m(q1q2)60,（a,b）+a,bmmq1q2m(1q1q2)84,由此可知，為60和的合約數(shù)，而（60,84）=12，所以只好取、，m84m1234612當(dāng)取、時均不知足m(q1q2)60和，m12346m(1q1q2)84所以取，當(dāng)m12時，q

9、1q260；，。m121251q1q27q1q26所以當(dāng)q12，q23，a12224,b12336答：這兩個自然數(shù)分別是24和36。例3把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成相同大小的正方形紙塊，而沒有節(jié)余，問：能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？解：要把一張長方形的紙裁成相同大小的正方形紙塊，還不可以有節(jié)余，這個正方形紙塊的邊長應(yīng)當(dāng)是長方形的長和寬的合約數(shù)。因為題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長是長方形的長和寬的最大合約數(shù)，1米3分米5厘米135厘米，1米5厘米105厘米，正方形的邊長為(135105)，15，長方形紙塊的面積為135105141(7平方

10、厘米)，正方形紙塊的面積為1515225(平方厘米)，共可裁成正方形紙塊1417522563（塊）。答：正方形的邊長是15厘米，一共可以裁成63塊。例4兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大合約數(shù)是5，試求這兩個數(shù)的差。解：設(shè)這兩個自然數(shù)為：5a、5b，此中a與b互質(zhì)，則有5a5b50，ab10，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以這兩個兩個自然數(shù)為59=45，51=5或57=35，53=15。它們的差分別是：45540，351520答：所求這兩個數(shù)的差是40或許20。例5大雪后的一天，小明和爸爸同時步測一個圓形花園的周長，他倆的起點和步行方向完滿相同，小明每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，因

11、為兩人蹤跡有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60個蹤跡，求圓形花園的周長。解：兩人從起點出發(fā)到第一次蹤跡重合所走的行程是相同的，是兩人步長的最小公倍數(shù)，為54,72216厘米，在216厘米里，兩人留下的蹤跡數(shù)分別是：216544(個)，216723(個),因為兩人有1個蹤跡重合，所以實質(zhì)上只有4316(個)蹤跡。60610，即走完滿程共重合10次，所以，花園周長為：216102160(厘米)答：花園周長是2160厘米?！玖?xí)題優(yōu)選】A組基礎(chǔ)夯實】用短除法求120、48和56的最小公倍數(shù)；用分解質(zhì)因數(shù)法求35、98、112的最大合約數(shù)和最小公倍數(shù)。2.已知a=44，b=12，c=82，求（a，

12、b，c）和a，b，c。兩個自然數(shù)的最大合約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是504，假如此中一個數(shù)是42，那么另一個數(shù)是。8路車每隔8分鐘發(fā)一次車，12路每隔6分鐘發(fā)一次車，在某一時辰這兩路車同時從一個車站發(fā)車，最少再過_分鐘這兩路車才又同時發(fā)車。甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大合約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是_。6.四個連續(xù)自然數(shù)的和等于54，那么這四個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是。一個房間長450厘米，寬330厘米。現(xiàn)計劃用方磚鋪地，需要用邊長最大為_厘米的方磚塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿。教師節(jié)那一天，某校工會買了320個蘋果、240個桔子、200個鴨梨，用來慰勞退休的教員工，問用這些果品，最多

13、可以分紅_份相同的禮品(相同的禮品指的是每份禮品中蘋果、桔子、鴨梨的個數(shù)相互相等)。在每份禮品中，蘋果有_個，桔子有_個，鴨梨有_個。三個質(zhì)數(shù)的和是62，這三個質(zhì)數(shù)的積是_。一包糖，均勻分給2人，3人，4人，或5人，正好都余一塊，這包糖最罕有_塊?！綛組能力提高】有三根繩索，第一根長12米，第二根長18米，第三根長24米，此刻要把它們剪成相同長的小段，每段最長_米。有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，這批樹苗在150200之間。共有_棵樹苗。同學(xué)們訓(xùn)練廣播操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，而且沒有節(jié)余的學(xué)生，最罕有_人參加了廣播操訓(xùn)練。已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，這兩個數(shù)為_。已知兩