工程力學(xué)上第六章

1、第六章 點的運動學(xué)第一、二節(jié) 矢量法 直角坐標(biāo)法教學(xué)時數(shù)： 2 學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、 能用矢量法建立點的運動方程,求速度和加速度2、 能嫻熟的應(yīng)用直角坐標(biāo)法建立點的運動方程,求軌跡、速度和加速度教學(xué)重點：點的曲線運動的直角坐標(biāo)法,教學(xué)難點：點的曲線運動的直角坐標(biāo)法點的運動方程、 點的速度和加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影教學(xué)方法： 板書 PowerPoint教學(xué)步驟：一、運動學(xué)引言 運動學(xué)是討論物體運動的幾何性質(zhì)的科學(xué)；也就是從幾何學(xué)方面來討論物體的機(jī)械運 動；運動學(xué)的內(nèi)容包括：運動方程、軌跡、速度和加速度；學(xué)習(xí)運動學(xué)的意義： 第一是為學(xué)習(xí)動力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)；其次運動學(xué)本身也有獨立的應(yīng)用；由于物體運

2、動的描述是相對的；將觀看者所在的物體稱為參考體,固結(jié)于參考體上的坐 標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系；只有明確參考系來分析物體的運動才有意義；時間概念要明確：瞬時和時間間隔；運動學(xué)所討論的力學(xué)模型為：點和剛體；二、點的運動學(xué) 本章將介紹討論點的運動的三種方法,即：矢徑法、直角坐標(biāo)法和自然法；點運動時, 在空間所占的位置隨時間連續(xù)變化而形成的曲線,稱為點的運動軌跡；點的運動可按軌跡外形分為直線運動和曲線運動；當(dāng)軌跡為圓時稱為圓周運動；表示點的位置隨時間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點的運動方程；本章討論的內(nèi)容為點的運動方程、軌跡、速度和加速度,以及它們之間的關(guān)系；三矢量法 1、點的運動方程 如圖,動點 M沿其軌跡運

3、動,在瞬時 t ,M點在圖示位置；由參考點 O向動點 M作一矢量 r =OM ,就稱 r 為矢徑；于是動點矢徑形式的運動方程為 r明顯,矢徑的矢端曲線就是點運動的軌跡；rtrMO參考體用矢徑法描述點的運動有簡潔、直觀的優(yōu)點；2、點的速度rt如圖,動點M在時間間隔 t 內(nèi)的位移為MMrrttArtMrMvvOrttB就vr表示動點在時間間隔t 內(nèi)運動的平均快慢和方向,稱t為點的平均速度；當(dāng) t 0 時,平均速度的極限矢量稱為動點在 t 瞬時的 速度 ；即v lim t 0 v lim t 0 rt ddt r r即： 點的速度等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù) 3、點的加速度；方向沿軌跡的切線方向；如

4、圖,動點M在時間間隔t 內(nèi)速度矢量的轉(zhuǎn)變量為vvvvMvMaavv就 a v 表示動點的速度在時間間隔t 內(nèi)的平均變化率,稱為平均加速度；t當(dāng) t 0 時,平均加速度的極限矢量稱為動點在 t 瞬時的加速度；即v d va lim a lim v rt 0 t 0 t dt即：點的加速度等于它的速度對時間的一階導(dǎo)數(shù),也等于它的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)；四、直角坐標(biāo)法1、點的運動方程如圖,在參考體上建立直角坐標(biāo)系；就xf1tyf2tzf3t這就是直角坐標(biāo)形式的點的運動方程；zMkrzOxyijxyt 可得兩個柱面方程：由運動方程消去時間F 1x,y0F 2y,z 0這兩個柱面方程的交線就是點的運動軌跡

5、,上式稱為動點的軌跡方程；2、點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影zMixjyz kivydyjz kdzkkrzOijxyxy由圖可知,動點的矢徑為rdrdxv將上式兩邊對時間求導(dǎo),可得dtdtdtdt將動點的速度表示為解析形式,就有vvxijv比較上述兩式,可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影vxdxxvydyyvzdz dtz等于點的對應(yīng)dtdt這就是用直角坐標(biāo)法表示的點的速度；即：點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影,坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)；3、點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影如已知速度的投影,就速度的大小為vx 2y2z 2cos v,ixv其方向余弦為cos v,jyvcos v,kzv4、點的加速度在直角坐標(biāo)軸

6、上的投影由于加速度是速度對時間的一階導(dǎo)數(shù),就ad2xid2yjd2zkdv xidvyjdv zkyjaz kdt2dt2dt2dtdtdt將動點的加速度表示為解析形式,就有aax ia比較上述兩式,可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影axdvxd2xxaydvyd2yyazdvzd2zzdtdt2dtdt2dtdt2這就是用直角坐標(biāo)法表示的點的加速度；即：點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點速度在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影對時間的一階導(dǎo)數(shù),也等于該點對應(yīng)的坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)；如已知加速度的投影,就加速度的大小為cos a ,ixM運動,已知taaa2a2a2x2y22 z其方向余弦為cos a ,jyx

7、yzacos a ,kza例 1、桿 AB繞 A點轉(zhuǎn)動時, 帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)（為常數(shù)）；求小環(huán) M的運動方程、速度和加速度；BxO2yMBxRMOAA解：建立如下列圖的直角坐標(biāo)；就Rsin2yRcos2即xRsin2t即為小環(huán) M 的運動方程；vysin2yRcos 2tv xx2Rcos2tv yy2Rsin2t故 M點的速度大小為vv2v22Rxy其方向余弦為cos v,ivxcos2cos v,jvvaxvx4R2sin2t42xayvy4R2cos2t42y故 M點的加速度大小為aa2a24R2xy2r且有a42ix42jy42ixjy4加速度的方向如圖 yM；B

8、vx2vOvyxA例 2、半徑為 R 的圓輪在地上沿直線勻速滾動,已知輪心的速度為vC試求輪緣上一點M 的運動方程軌跡速度和加速度（演示圖輪在地面上純滾動）yP2rx解：建立直角坐標(biāo)如圖,t0時 M 點位于 O 點vc RtM 點的運動方程：xOPRsin其中OPvt,即xv CtR sin v CRR cos v CRt軌跡為擺線（可演示輪子運動時,M 點的軌跡畫出來）yRtvycos2速度：vxxv CvCcosvCtvyyvCsinvCtRRvvx2vy22 vCsinvCt2vCsin2cosv,y2Rv可知vPM（如圖）當(dāng)2nn0 ,1,2 ,時,即 M 點接觸地時v0加速度：axx

9、vCsinv CtayyvC2cosvCtRRRRaax2ay2v C2cosa,ycosv CtcosRR即 M 點的加速度大小為常量,方向恒指向輪心CMoRM課堂小結(jié)：本章介紹討論動點運動的三種方法,即矢徑法、直角坐標(biāo)法和自然法；點運動時, 在空間所占的位置隨時間連續(xù)變化而形成一條曲線,這條曲線成為點的運動軌跡；點的運動可按軌跡外形分為直線運動和曲線運動；當(dāng)軌跡為圓時稱為圓周運動；點作運動就是點的位置隨時間變化； 表示點的位置隨時間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點的運動方程,本章討論的內(nèi)容為 點的運動方程、軌跡、速度和加速度,以及它們之間的關(guān)系；作業(yè)布置：1、 課本摸索題 6-2 2、 課本習(xí)題

10、6-2、6-3；教學(xué)后記：第三節(jié) 自然法教學(xué)時數(shù)： 2 學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、 能嫻熟地應(yīng)用自然法求點在平面上作曲線運動時的運動方程、速度和加速度,2、 正確懂得切向加速度和法向加速度的物理意義；教學(xué)重點：點的曲線運動的自然法,點沿已知軌跡的運動方程,點的切向加速度和法向加速度；教學(xué)難點：矢量求導(dǎo)及自然軸系的概念；教學(xué)方法： 板書 PowerPoint教學(xué)步驟：自然坐標(biāo)法 1、運動方程 前提：點的軌跡已知 顯示火車沿軌跡行駛的一段動畫弧坐標(biāo)的建立：在軌跡上確定O 點,規(guī)定“+” ,“ -”M 點位置確定：弧坐標(biāo) S sOM設(shè)動點 M的運動軌跡如圖；當(dāng)動點運動時,弧坐標(biāo)隨時間t 連續(xù)變化,且為時間t

11、 的單值連續(xù)函數(shù),即sft這就是自然坐標(biāo)形式的點的運動方程；2、曲率和曲率半徑圖示空間曲線,說明曲線在弧長sMM內(nèi)彎曲的程度；sMMks稱為sMM的平均曲率 ；1當(dāng) M 點趨近于M點時,平均曲率的極限值就是曲線在M點的曲率,即klim s 0slim0sM點曲率的倒數(shù)稱為曲線在M點的曲率半徑,即k3、自然軸系主法線sM副法線法面nM親密面切線Mb如圖；由三個方向的單位矢量構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為自然軸系；且三個單位矢量滿意右手法就,即 b n自然軸系不是固定的坐標(biāo)系；4、用自然法表示點的速度由點的速度的矢徑法vd rd rdsdsd r速度的方向沿著軌跡dtdtdsdtds由于d rdslim t 0

12、sv,所以vvdsdsdttdt即：動點沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧坐標(biāo)s 對時間的一階導(dǎo)數(shù),的切線方向,當(dāng)ds 為正時指向與 dt相同,反之,與相反；5、用自然法表示點的加速度由點的加速度的矢徑法ad vdvdvvd的方向永久沿軌跡的切線方dtdtdtdt由于dvn, 所以advv2ndtdt上式說明加速度矢量a 是由兩個分矢量組成： 分矢量advdt向,稱為切向加速度,它說明速度代數(shù)值隨時間的變化率；分矢量anv2n的方向永久沿主法線的方向,稱為法向加速度,它說明速度方向隨時間的變化率；加速度在三個自然軸上的投影為advd2ssa nv2ab0dtdt2全加速度位于親密面內(nèi),其大小為2a

13、 a 2a n 2 dv 2 v 2dt方向余弦為 cos a , a cos a , n a na a例 1 、 在 曲 柄 搖 桿 機(jī) 構(gòu) 中 , 曲 柄 OA 與 水 平 線 夾 角 的 變 化 規(guī) 律 為 t 2, 設(shè)4OA O 1 O 10 cm,O 1 B 24 cm,求 M 點的運動方程和 t 1 時 M 點的速度和加速度（演示圖中機(jī)構(gòu)的運動可將 B 點的軌跡畫出來）avBo1oBDB3BoO 1t2O45an解法 1 自然坐標(biāo)法243B 點的運動方程s速度vs6tt22t2加速度as6a ns23622424t1s 時v6a6an322解法 2 直角坐標(biāo)法（坐標(biāo)建立如圖）yBj

14、O 1iOx6v By62cos8B點的運動方程：x BO 1Bcos24cos224cos8t2yBO 1Bsin24 sin8t2速度：vBxxB6sin8t2tvByyB6cos8t2t加速度：aBxxB6sin8t2322t2cos8t2aByyB6cos8t2322t2sin8t2t1 s時v Bx6sin8v6sin8i6cos8jcos832sin8aBx6sin8322cos8aByaaBxiaBxjM運動,已知t例 2、桿 AB繞 A點轉(zhuǎn)動時, 帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)（為常數(shù)）；求小環(huán) M的運動方程、速度和加速度；RMBO2sBMOA A解：建立如下列圖的自然

15、坐標(biāo)；就點的自然坐標(biāo)形式的運動方程為s R 2 2 R t速度為 v ds2 Rdt2 2加速度為 a dv 0 an v 2 R 4 R 2dt R例 3、一點作平面曲線運動,其速度在 x 軸上的投影始終為一常數(shù) C；試證明在此情形下,3點的加速度的大小為 a v；其中 v 為點的速度的大小, 為軌跡的曲率半徑；CvaxMa n證明：設(shè)點沿圖示曲線運動,速度和加速度如圖；由已知條件得v cosC（1）a nax0由于速度在x 軸上的投影始終為一常數(shù),所以由于axacosansin0所以aa ntg于是可得aa22 a na n1tg2cos由于anv2,所以avv2cos將（ 1）式代入上式得a3C證畢；課堂小結(jié)：本章介紹了描述點的運動的矢量法、直角坐標(biāo)法和自然法；矢量法在理論上概括性強(qiáng),分析方法直接明白,但在求解詳細(xì)的力學(xué)問題時,需把矢量運算變換為標(biāo)量運算的形式,因而將速度和加速度表