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1、解: 二次型f(x) = 2x1x22x1x32x2x3 的矩00 A= 1(1)求二次型f 的標準形計算矩陣A 的特征值. 由 1解: 二次型f(x) = 2x1x22x1x32x2x3 的矩00 A= 1(1)求二次型f 的標準形計算矩陣A 的特征值. 由 1 2|E|=(1) (+ 1所以矩陣A的特征值為121,3當= 1 時, 解齊次線性方程組(EA)x= 0. 1 1 1 00 EA11得基礎解1101011=2= 正交化. 取112T 211 = .12 T111當= 2 時, 解齊次線性方程組(2EA)x= 0. 2 1101 12E001101得基礎解113= 特征向量123

2、是兩兩正交的, 還需化11126311 =, =, =. 16123| 32123 20于是, 可求出正交矩1123 12,3)使得PT得基礎解113= 特征向量123 是兩兩正交的, 還需化11126311 =, =, =. 16123| 32123 20于是, 可求出正交矩1123 12,3)使得PTAP,其中 11120632163101000 = 0令正交變換x = Py, 那么, 二次型的標準形TTTTT222f(x)=x Ax=(Py) A(Py)=y (P AP)y=y y=y +y 2y 123(2)求二次型f在|x|1下的最小值問題可表示min f|x|=因為正交變換不改變向量長度, 因此上述問題等價222y +y 2y 123y2+y2+y2=進一步, 該問題等價2222min13y s.t.y =1y y 33122即2min1即2min13y, s.t.y31

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