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1、第一章1.4 離散隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)皆為常數(shù),即可變常數(shù),式中C為一隨機(jī)變量,其可能值為,且它們分別以概率0.6,0.3及0.1出現(xiàn)。試確定:(1)是確定性隨機(jī)過(guò)程嗎?(2)在任意時(shí)刻,的一維概率密度。解(1)是確定性過(guò)程;(2)。1.6 設(shè)隨機(jī)過(guò)程,式中,為兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)變量,且有。求過(guò)程的均值,相關(guān)函數(shù),協(xié)方差函數(shù)和方差。解:易得:(1)的均值(2)相關(guān)函數(shù)(3)協(xié)方差函數(shù)(4)方差1.7 利用反復(fù)擲硬幣的方法定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程: 設(shè)擲硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率相同。求的一維概率分布,和二維分布函數(shù)。解:根據(jù)題設(shè)可得 1.8 設(shè)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。求另一隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。解:1.9 信號(hào)

2、,其中是均值為1,方差為1的隨機(jī)變量。設(shè)新的隨機(jī)信號(hào)求的均值,相關(guān)函數(shù),協(xié)方差函數(shù)和方差。解:(1)的均值:(2)相關(guān)函數(shù)(3)協(xié)方差函數(shù)(4)方差1.10一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,都是非平穩(wěn)過(guò)程 其中,為相互獨(dú)立,各自平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程,且他們的均值均為0,自相關(guān)函數(shù)相等。試證明這兩個(gè)過(guò)程之和是寬平穩(wěn)的。證明:(1)均值為一常數(shù):(2)的自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān):(3)的二階矩有界:所以過(guò)程是寬平穩(wěn)的。1.11 設(shè)隨機(jī)信號(hào),式中a,均為正的常數(shù);為正態(tài)隨機(jī)變量,其概率密度為試討論的平穩(wěn)性。解:因?yàn)榈木凳堑暮瘮?shù),所以是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。1.12 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為求的均值、均方值和方差。(1)的均值因?yàn)槠渲袨?/p>

3、周期分量;為非周期分量;(2)均方值(3)方差1.14 已知兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程其中,是均值為0,方差為1的不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量,試證過(guò)程、各自平穩(wěn),而且是聯(lián)合平穩(wěn)的;并求出他們的互相關(guān)系數(shù)。證明: (1),所以,是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。所以,是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。(2)所以與是聯(lián)合平穩(wěn)的。(3)1.17 設(shè)隨機(jī)過(guò)程,式中A、和為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量;而且,的均值為2、方差為4,在(,)上均勻分布,在(5,5)上均勻分布。試問(wèn)過(guò)程是否平穩(wěn)?是否遍歷?并求出的自相關(guān)函數(shù)。解:所以隨機(jī)過(guò)程是寬平穩(wěn)的。隨機(jī)過(guò)程不是遍歷的。1.20 設(shè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程為其中為正常數(shù),是在(0,2)上均勻分布的隨機(jī)變量。試求和。解:1.21 設(shè)

4、復(fù)隨機(jī)過(guò)程為式中為個(gè)實(shí)隨機(jī)變量,為個(gè)實(shí)數(shù),求:和應(yīng)滿足什么條件,方能使為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程?解:若要為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,那么均值為一與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù),易得條件1:=0,則自相關(guān)函數(shù)也得與時(shí)間無(wú)關(guān),易得 條件2:當(dāng)時(shí),與不相關(guān),則此時(shí)為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。1.23 有兩個(gè)獨(dú)立且聯(lián)合平穩(wěn)的隨即序列和,它的均值分別是和,方差分別是和,試證明:, 提示:可利用不等式,對(duì)于任意的證明:根據(jù)提示,可知 由可得同理,由可得,另一方面,故,同理,由可得。證畢1.24 若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程有自相關(guān)函數(shù)(1)(2)試確定隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣。解:(1),(2),1.28 設(shè)(齊次)馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為試問(wèn)此鏈共有幾個(gè)狀

5、態(tài)?是否遍歷?求它的二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。是否存在?并求之。解:(1)此鏈共有3個(gè)狀態(tài); (2)因?yàn)?,所以此鏈?zhǔn)潜闅v的。 (3) (4)根據(jù)遍歷性的定義可知,是存在的。且解之得:,1.29 隨機(jī)電報(bào)信號(hào) (其樣本函數(shù)如圖1-9-1所示)滿足下述條件:在任何時(shí)刻,只能取0或1兩個(gè)狀態(tài)。而且,取值為0的概率為1/2,取值為1的概率也是1/2,即:每個(gè)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間是隨機(jī)的,若在間隔(0, )內(nèi)波形變化的次數(shù)服從泊松分布,即式中,為單位時(shí)間內(nèi)波形的平均變化次數(shù);取任何值與隨機(jī)變量互為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試求隨機(jī)電報(bào)信號(hào)的均值,自相關(guān)函數(shù),自協(xié)方差函數(shù)。 圖1-9-1 的樣本函數(shù)解:(1)(2)因?yàn)椋杭僭O(shè):如果,則

6、在時(shí)間間隔內(nèi)有偶數(shù)個(gè)濾形變化點(diǎn)因?yàn)樗?,因?yàn)樗约茨敲从捎谧韵嚓P(guān)函數(shù)的對(duì)稱性:(或者)(3)(或者)(4)1.30 設(shè)顧客到達(dá)商場(chǎng)的速率為2人/分鐘,求:(1)在5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值;(2)在5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差;(3)在5分鐘內(nèi)至少有一個(gè)顧客到達(dá)的概率。解:由已知條件可知t時(shí)刻內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)為泊松過(guò)程。(1),(2) (3)1.31 設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,隨機(jī)變量。證明:若是服從參數(shù)為的泊松分布,則服從參數(shù)為的泊松分布。證明:數(shù)學(xué)歸納法(1)n=1時(shí),顯然成立(2)假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即服從參數(shù)為的泊松分布,則當(dāng)n=k+1時(shí),,其中即,服從參數(shù)為的泊松分布。故當(dāng)n=k+1時(shí),

7、結(jié)論也成立。綜上可得命題成立,證畢。第二章 2.1(1)已知一個(gè)常數(shù),一個(gè)概率密度是的隨機(jī)變量,我們構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程。試證:的功率譜等于。(2)若另外還知道一個(gè)在區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量,證明過(guò)程的功率譜等于證明:(1)(2)2.2 在下列函數(shù)中,試確定哪些函數(shù)是功率譜密度,哪些不是,并說(shuō)明原因。 ; 解:只有(1)(6)是功率譜密度。(2)(7)(9)(12)非偶,(3)(5)(10)有負(fù)值,(4)(8)(11)非實(shí),均不滿足功率譜密度要求。 2.5設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程,它們的均值至少有一個(gè)為零,功率譜密度分別為, ,現(xiàn)設(shè)新隨機(jī)過(guò)程,求:(1)的功率譜密度;(2)和的互譜密度;(3)和的互

8、譜密度。解:(1)(2)故,=0;(3)則,2.9已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為,其中和皆為正常數(shù)。求的功率譜密度及其功率。解:2.10已知隨機(jī)過(guò)程, 其中和皆為常數(shù),是在上均勻分布的隨機(jī)變量。(1) 過(guò)程是寬平穩(wěn)的嗎?證明之。(2) 利用式, 求的功率。(3) 利用式,求隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度;并由式計(jì)算的功率。你先后求得的的功率值相等嗎?(1)證明:,即均值不是一個(gè)常數(shù),所以過(guò)程不是寬平穩(wěn)(2)解:(3)解:故,功率值相等2.11平穩(wěn)過(guò)程的雙邊譜密度為。求:(1)該過(guò)程(在1負(fù)載上)的平均功率;(2)取值范圍為的平均功率。解:(1)(2)2.14設(shè)和為隨機(jī)變量,我們構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程,式中為一實(shí)常

9、數(shù)。(1)證明:若和具有零均值及相同的方差,且不相關(guān),則為(寬)平穩(wěn)過(guò)程;(2)求的自相關(guān)函數(shù);(3)求該過(guò)程的功率譜密度。解:所以為(寬)平穩(wěn)過(guò)程;的自相關(guān)函數(shù)為:的功率譜密度為:2.15定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程為,式中和皆為實(shí)正整數(shù),為與無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量,為具有恒定的均值的隨機(jī)過(guò)程。(1)證明與的互相關(guān)函數(shù)為 ;(2)求的時(shí)間平均, 并確定互功率譜密度。解:(1)證明:(2)2.17設(shè)是一個(gè)具有非零均值()的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。證明。設(shè)是復(fù)平穩(wěn)過(guò)程,試證:(1)的自相關(guān)函數(shù)為;(2)的功率譜密度為實(shí)函數(shù)。證明:因?yàn)槭瞧椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程(1)由于是復(fù)平穩(wěn)過(guò)程,故(2)根據(jù)上面結(jié)論因而是實(shí)函數(shù)。第三章3.2理想帶通

10、線性系統(tǒng)具有如下幅頻特性:若輸入是正態(tài)白噪聲,問(wèn)輸出是什么過(guò)程?并求輸出過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù),n維概率密度函數(shù)。解:輸出是一個(gè)高斯過(guò)程;設(shè)輸入正態(tài)白噪聲為,其均值為零,方差為,有:;所以:;輸出信號(hào)協(xié)方差:輸出信號(hào)方差:輸出信號(hào)的相關(guān)系數(shù):輸出過(guò)程的維概率密度為:其中:為行列式中元素的代數(shù)余子式。3.4設(shè)輸入輸入信號(hào)為4W/Hz的0均值高斯白噪聲,通過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng),線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為,求:輸出信號(hào)的均值、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和二維概率密度。解:因?yàn)橄到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為所以:又因?yàn)椋狠敵鲂盘?hào)協(xié)方差:3.5 如圖3-9-1所示系統(tǒng),輸入為功率譜密度的白噪聲,求輸出的自相關(guān)函數(shù)。圖3-9-1

11、 R-L電路解:由電路系統(tǒng)知識(shí)可得:,則3.8設(shè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),其輸入是具有功率譜密度為4V2/Hz的白噪聲與2V直流分量之和,試求系統(tǒng)輸出的均值、方差和均方值。解:因?yàn)橄到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為,所以: 3.9巴特沃思(Butterworth)濾波器具有功率傳遞函數(shù) 其中n=1,2,.是網(wǎng)絡(luò)的個(gè)數(shù),W是-3dB帶寬,單位弧度/s,畫(huà)出n1,2,4,8時(shí)的圖形,當(dāng)時(shí),變成什么形狀?解,如圖所示:3.11隨機(jī)過(guò)程附加到功率譜為的白噪聲上,、為正常數(shù),在上均勻分布,他們的和作用到圖3-9-4的系統(tǒng)上,求(1)輸出信號(hào)和噪聲的功率譜;(2)輸出信號(hào)和噪聲的平均功率比;(3)為何值時(shí)信噪比最大?圖3

12、-9-4 R-L電路解:對(duì)于如題的輸入隨機(jī)過(guò)程,對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù),又,且故,由可得時(shí)信噪比最大。3.12若某積分電路輸入和輸出滿足如下關(guān)系其中T為積分時(shí)間。若輸出是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。試證輸出的功率譜密度為解:根據(jù)已知條件可得,則故,證畢3.14設(shè)是一個(gè)均值為零,方差為的白噪聲,是單位沖激響應(yīng)為的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸出,試證(1);(2)。解:(1)(2)3.16 設(shè)計(jì)一穩(wěn)定線性系統(tǒng),當(dāng)輸入功率譜密度為輸出為單位譜密度白噪聲。稱該系統(tǒng)為白化濾波器。解:因?yàn)榱?所以3.17 求功率譜密度為的白化濾波器。解:因?yàn)樗裕?;3.19 功率譜密度為的白噪聲作用到的低通網(wǎng)絡(luò),它的等效噪聲帶寬為2MHz。若在

13、一歐姆電阻上噪聲輸出平均功率是0.1W,求。解:因?yàn)橛忠驗(yàn)椋海?.21系統(tǒng)傳遞函數(shù)如圖3-9-5所示,求等效噪聲帶寬圖3-9-5 系統(tǒng)傳遞函數(shù)解:3.23 設(shè)零均值平穩(wěn)窄帶噪聲具有對(duì)稱功率譜密度,且,求相關(guān)函數(shù),和方差,。解:(1)(2)(3)3.25 已知平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度如圖3-9-6所示。記為的希爾伯特變換,求隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,并圖示它。圖3-9-6 功率譜密度解:因?yàn)榈墓β首V如下圖所示:3.27設(shè)噪聲是寬平穩(wěn)的,其功率譜密度如圖3-9-8所示,求的功率譜密度,并作圖。式中,是在(0,) 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量;與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。圖3-9-8功率譜密度解:所以:3.28對(duì)于零均值、方差的窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程 ,求證:包絡(luò)在任意時(shí)刻所給出的隨機(jī)變量的均值和方差分別為:,證明:因?yàn)?.30 遠(yuǎn)方發(fā)射臺(tái)發(fā)射一個(gè)幅度不變、角頻率為的正弦波,通過(guò)衰落信道傳輸后到達(dá)接收端時(shí),信號(hào)變?yōu)榫哂袇?shù)的瑞利型包絡(luò)分布的隨機(jī)信號(hào)。在接收端又有高斯噪聲混入,噪聲的方差為,這樣,信號(hào)加噪聲同時(shí)通過(guò)中心頻率為的高頻窄帶系統(tǒng)。求證:窄帶系統(tǒng)輸出的信號(hào)與噪

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