離散作業(yè)題答案13

1、第一章1.4 離散隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)皆為常數(shù)，即可變常數(shù)，式中C為一隨機(jī)變量，其可能值為，且它們分別以概率0.6，0.3及0.1出現(xiàn)。試確定：（1）是確定性隨機(jī)過(guò)程嗎？（2）在任意時(shí)刻，的一維概率密度。解（1）是確定性過(guò)程；（2）。1.6 設(shè)隨機(jī)過(guò)程，式中,為兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)變量，且有。求過(guò)程的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。解：易得：（1）的均值（2）相關(guān)函數(shù)（3）協(xié)方差函數(shù)（4）方差1.7 利用反復(fù)擲硬幣的方法定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程： 設(shè)擲硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率相同。求的一維概率分布，和二維分布函數(shù)。解：根據(jù)題設(shè)可得 1.8 設(shè)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。求另一隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。解：1.9 信號(hào)

2、，其中是均值為1，方差為1的隨機(jī)變量。設(shè)新的隨機(jī)信號(hào)求的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。解：（1）的均值：（2）相關(guān)函數(shù)（3）協(xié)方差函數(shù)（4）方差1.10一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,都是非平穩(wěn)過(guò)程 其中，為相互獨(dú)立，各自平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，且他們的均值均為0，自相關(guān)函數(shù)相等。試證明這兩個(gè)過(guò)程之和是寬平穩(wěn)的。證明：（1）均值為一常數(shù)：（2）的自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)：（3）的二階矩有界：所以過(guò)程是寬平穩(wěn)的。1.11 設(shè)隨機(jī)信號(hào)，式中a,均為正的常數(shù)；為正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度為試討論的平穩(wěn)性。解：因?yàn)榈木凳堑暮瘮?shù)，所以是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。1.12 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為求的均值、均方值和方差。（1）的均值因?yàn)槠渲袨?/p>

3、周期分量；為非周期分量；（2）均方值（3）方差1.14 已知兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程其中，是均值為0，方差為1的不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量，試證過(guò)程、各自平穩(wěn)，而且是聯(lián)合平穩(wěn)的；并求出他們的互相關(guān)系數(shù)。證明： （1），所以，是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。所以，是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。（2）所以與是聯(lián)合平穩(wěn)的。（3）1.17 設(shè)隨機(jī)過(guò)程,式中A、和為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量；而且，的均值為2、方差為4，在（，）上均勻分布，在（5，5）上均勻分布。試問(wèn)過(guò)程是否平穩(wěn)？是否遍歷？并求出的自相關(guān)函數(shù)。解：所以隨機(jī)過(guò)程是寬平穩(wěn)的。隨機(jī)過(guò)程不是遍歷的。1.20 設(shè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程為其中為正常數(shù)，是在（0，2）上均勻分布的隨機(jī)變量。試求和。解：1.21 設(shè)

4、復(fù)隨機(jī)過(guò)程為式中為個(gè)實(shí)隨機(jī)變量，為個(gè)實(shí)數(shù)，求：和應(yīng)滿足什么條件，方能使為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程？解：若要為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，那么均值為一與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，易得條件1：=0，則自相關(guān)函數(shù)也得與時(shí)間無(wú)關(guān)，易得 條件2：當(dāng)時(shí)，與不相關(guān)，則此時(shí)為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。1.23 有兩個(gè)獨(dú)立且聯(lián)合平穩(wěn)的隨即序列和，它的均值分別是和，方差分別是和，試證明：， 提示：可利用不等式，對(duì)于任意的證明：根據(jù)提示，可知 由可得同理，由可得，另一方面，故，同理，由可得。證畢1.24 若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程有自相關(guān)函數(shù)（1）（2）試確定隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣。解：（1），（2），1.28 設(shè)（齊次）馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為試問(wèn)此鏈共有幾個(gè)狀

5、態(tài)？是否遍歷？求它的二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。是否存在？并求之。解：（1）此鏈共有3個(gè)狀態(tài)； （2）因?yàn)?，所以此鏈?zhǔn)潜闅v的。 （3） （4）根據(jù)遍歷性的定義可知，是存在的。且解之得：，1.29 隨機(jī)電報(bào)信號(hào) (其樣本函數(shù)如圖1-9-1所示)滿足下述條件：在任何時(shí)刻，只能取0或1兩個(gè)狀態(tài)。而且，取值為0的概率為1/2，取值為1的概率也是1/2，即：每個(gè)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間是隨機(jī)的，若在間隔（0, ）內(nèi)波形變化的次數(shù)服從泊松分布，即式中，為單位時(shí)間內(nèi)波形的平均變化次數(shù)；取任何值與隨機(jī)變量互為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試求隨機(jī)電報(bào)信號(hào)的均值，自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)。 圖1-9-1 的樣本函數(shù)解：（1）（2）因?yàn)椋杭僭O(shè)：如果，則

6、在時(shí)間間隔內(nèi)有偶數(shù)個(gè)濾形變化點(diǎn)因?yàn)樗?，因?yàn)樗约茨敲从捎谧韵嚓P(guān)函數(shù)的對(duì)稱性：（或者）（3）（或者）（4）1.30 設(shè)顧客到達(dá)商場(chǎng)的速率為2人/分鐘，求：（1）在5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值；（2）在5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；（3）在5分鐘內(nèi)至少有一個(gè)顧客到達(dá)的概率。解：由已知條件可知t時(shí)刻內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)為泊松過(guò)程。（1）,（2） （3）1.31 設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量。證明：若是服從參數(shù)為的泊松分布，則服從參數(shù)為的泊松分布。證明：數(shù)學(xué)歸納法（1）n=1時(shí)，顯然成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即服從參數(shù)為的泊松分布，則當(dāng)n=k+1時(shí)，,其中即，服從參數(shù)為的泊松分布。故當(dāng)n=k+1時(shí)，

7、結(jié)論也成立。綜上可得命題成立，證畢。第二章 2.1（1）已知一個(gè)常數(shù)，一個(gè)概率密度是的隨機(jī)變量，我們構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程。試證：的功率譜等于。（2）若另外還知道一個(gè)在區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量，證明過(guò)程的功率譜等于證明：（1）（2）2.2 在下列函數(shù)中，試確定哪些函數(shù)是功率譜密度，哪些不是，并說(shuō)明原因。 ； 解：只有（1）（6）是功率譜密度。（2）（7）（9）（12）非偶，（3）（5）（10）有負(fù)值，（4）（8）（11）非實(shí)，均不滿足功率譜密度要求。 2.5設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程，它們的均值至少有一個(gè)為零，功率譜密度分別為， ，現(xiàn)設(shè)新隨機(jī)過(guò)程，求：（1）的功率譜密度；（2）和的互譜密度；（3）和的互

8、譜密度。解：（1）（2）故，=0；（3）則，2.9已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為，其中和皆為正常數(shù)。求的功率譜密度及其功率。解：2.10已知隨機(jī)過(guò)程, 其中和皆為常數(shù)，是在上均勻分布的隨機(jī)變量。（1） 過(guò)程是寬平穩(wěn)的嗎？證明之。（2） 利用式, 求的功率。（3） 利用式，求隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度；并由式計(jì)算的功率。你先后求得的的功率值相等嗎？（1）證明：，即均值不是一個(gè)常數(shù)，所以過(guò)程不是寬平穩(wěn)（2）解：（3）解：故，功率值相等2.11平穩(wěn)過(guò)程的雙邊譜密度為。求：（1）該過(guò)程（在1負(fù)載上）的平均功率；（2）取值范圍為的平均功率。解：（1）（2）2.14設(shè)和為隨機(jī)變量，我們構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程，式中為一實(shí)常

9、數(shù)。（1）證明：若和具有零均值及相同的方差，且不相關(guān)，則為（寬）平穩(wěn)過(guò)程；（2）求的自相關(guān)函數(shù)；（3）求該過(guò)程的功率譜密度。解：所以為（寬）平穩(wěn)過(guò)程；的自相關(guān)函數(shù)為：的功率譜密度為：2.15定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程為，式中和皆為實(shí)正整數(shù)，為與無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量，為具有恒定的均值的隨機(jī)過(guò)程。（1）證明與的互相關(guān)函數(shù)為 ；（2）求的時(shí)間平均, 并確定互功率譜密度。解：（1）證明：（2）2.17設(shè)是一個(gè)具有非零均值（）的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。證明。設(shè)是復(fù)平穩(wěn)過(guò)程，試證：（1）的自相關(guān)函數(shù)為；（2）的功率譜密度為實(shí)函數(shù)。證明：因?yàn)槭瞧椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程（1）由于是復(fù)平穩(wěn)過(guò)程，故（2）根據(jù)上面結(jié)論因而是實(shí)函數(shù)。第三章3.2理想帶通

10、線性系統(tǒng)具有如下幅頻特性：若輸入是正態(tài)白噪聲，問(wèn)輸出是什么過(guò)程？并求輸出過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)，n維概率密度函數(shù)。解：輸出是一個(gè)高斯過(guò)程；設(shè)輸入正態(tài)白噪聲為，其均值為零，方差為，有：；所以：；輸出信號(hào)協(xié)方差：輸出信號(hào)方差：輸出信號(hào)的相關(guān)系數(shù)：輸出過(guò)程的維概率密度為：其中：為行列式中元素的代數(shù)余子式。3.4設(shè)輸入輸入信號(hào)為4W/Hz的0均值高斯白噪聲，通過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，求：輸出信號(hào)的均值、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和二維概率密度。解：因?yàn)橄到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為所以：又因?yàn)椋狠敵鲂盘?hào)協(xié)方差：3.5 如圖3-9-1所示系統(tǒng)，輸入為功率譜密度的白噪聲，求輸出的自相關(guān)函數(shù)。圖3-9-1

11、 R-L電路解：由電路系統(tǒng)知識(shí)可得：,則3.8設(shè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其輸入是具有功率譜密度為4V2/Hz的白噪聲與2V直流分量之和，試求系統(tǒng)輸出的均值、方差和均方值。解：因?yàn)橄到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，所以： 3.9巴特沃思（Butterworth）濾波器具有功率傳遞函數(shù) 其中n=1,2,.是網(wǎng)絡(luò)的個(gè)數(shù)，W是-3dB帶寬，單位弧度/s，畫(huà)出n1，2，4，8時(shí)的圖形，當(dāng)時(shí)，變成什么形狀？解，如圖所示：3.11隨機(jī)過(guò)程附加到功率譜為的白噪聲上，、為正常數(shù)，在上均勻分布，他們的和作用到圖3-9-4的系統(tǒng)上，求（1）輸出信號(hào)和噪聲的功率譜；（2）輸出信號(hào)和噪聲的平均功率比；（3）為何值時(shí)信噪比最大？圖3

12、-9-4 R-L電路解：對(duì)于如題的輸入隨機(jī)過(guò)程，對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，又，且故，由可得時(shí)信噪比最大。3.12若某積分電路輸入和輸出滿足如下關(guān)系其中T為積分時(shí)間。若輸出是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。試證輸出的功率譜密度為解：根據(jù)已知條件可得，則故，證畢3.14設(shè)是一個(gè)均值為零，方差為的白噪聲，是單位沖激響應(yīng)為的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸出，試證（1）；（2）。解：（1）（2）3.16 設(shè)計(jì)一穩(wěn)定線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入功率譜密度為輸出為單位譜密度白噪聲。稱該系統(tǒng)為白化濾波器。解：因?yàn)榱?所以3.17 求功率譜密度為的白化濾波器。解：因?yàn)樗裕?；3.19 功率譜密度為的白噪聲作用到的低通網(wǎng)絡(luò)，它的等效噪聲帶寬為2MHz。若在

13、一歐姆電阻上噪聲輸出平均功率是0.1W，求。解：因?yàn)橛忠驗(yàn)椋海?.21系統(tǒng)傳遞函數(shù)如圖3-9-5所示，求等效噪聲帶寬圖3-9-5 系統(tǒng)傳遞函數(shù)解：3.23 設(shè)零均值平穩(wěn)窄帶噪聲具有對(duì)稱功率譜密度，且，求相關(guān)函數(shù)，和方差，。解：（1）（2）（3）3.25 已知平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度如圖3-9-6所示。記為的希爾伯特變換，求隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，并圖示它。圖3-9-6 功率譜密度解：因?yàn)榈墓β首V如下圖所示：3.27設(shè)噪聲是寬平穩(wěn)的，其功率譜密度如圖3-9-8所示，求的功率譜密度，并作圖。式中，是在（0，） 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量；與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。圖3-9-8功率譜密度解：所以：3.28對(duì)于零均值、方差的窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程 ，求證：包絡(luò)在任意時(shí)刻所給出的隨機(jī)變量的均值和方差分別為：，證明：因?yàn)?.30 遠(yuǎn)方發(fā)射臺(tái)發(fā)射一個(gè)幅度不變、角頻率為的正弦波，通過(guò)衰落信道傳輸后到達(dá)接收端時(shí)，信號(hào)變?yōu)榫哂袇?shù)的瑞利型包絡(luò)分布的隨機(jī)信號(hào)。在接收端又有高斯噪聲混入，噪聲的方差為，這樣，信號(hào)加噪聲同時(shí)通過(guò)中心頻率為的高頻窄帶系統(tǒng)。求證：窄帶系統(tǒng)輸出的信號(hào)與噪