高中一年級(jí)函數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)和解決方法及典型例題

1、一、函數(shù)的概念與表示1、函數(shù)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域;對(duì)應(yīng)法則;值域.兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同例1、下列各對(duì)函數(shù)中，相同的是()x+1A、f(x)二lgx2,g(x)二21gxB、f(x)二lg-,g(x)二lg(x+1)-lg(x-1)x-1IItTOC o 1-5 h zc、f(U)=卡片,g(v)=.:目D、f(X)=x，f(x)21一u1一v例2、M=x10 x2,N=y10y3給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()2個(gè)D、3個(gè)A、0個(gè)2個(gè)D、3個(gè)二、函數(shù)的定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：分式的分母不為零；偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零，零取

2、零次方?jīng)]有意義；對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；例1、(05卷)函數(shù)y=Jlog(4x2-3x)的定義域?yàn)関0.52、抽象函數(shù)定義域問(wèn)題的幾種題型及求法、已知/(x)的定義域，求/g(x)的定義域其解法是：若/(x)的定義域?yàn)閍wxwb，則在/g(x)中，aWg(x)Wb，從中解得x的取值圍即為fg(x)的定義域.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，求f(3x一5)的定義域.分析：該函數(shù)是由u=3x一5和f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量，由于f(x)與f(u)是同一個(gè)函數(shù)，因此這里是已知-1Wuw5，即-1W3x一5w5，求x的取值圍解：

3、f(x)的定義域?yàn)?，,.1W3x5W5,Wxw.故函數(shù)f(3x5)的定義域?yàn)?、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域其解法是：若fg(x)的定義域?yàn)閙WxWn，則由mWxWn確定的g(x)的圍即為f(x)的定義域.例2已知函數(shù)f(x22x+2)的定義域?yàn)?,3，求函數(shù)f(x)的定義域.分析：令u=x22x+2，則f(x22x+2)=f(u),由于f(u)與f(x)是同一函數(shù)，因此u的取值圍即為f(x)的定義域.解：由0WxW3，得1Wx22x+2W5.令u=x22x+2，則f(x22x+2)=f(u)，1WuW5.故f(x)的定義域?yàn)?，5、運(yùn)算型的抽象函數(shù)求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得

4、到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域然后再求交集例3若f(x)的定義域?yàn)?,，求申(x)=f(x)+f(2x+5)的定義域.解：由f(x)的定義域?yàn)榻猓河蒮(x)的定義域?yàn)?，5則申(x)必有f3WxW5，3W2x+5W5,解得4WxW0所以函數(shù)申(x)的定義域?yàn)?，0例2、已知f(x)的定義域是-2,5,求f(2x+3)的定義域.例3、已知f(2x1的定義域是-1,3，求f(x)的定義域.三、函數(shù)的值域求函數(shù)值域的方法：直接法：從自變量x的圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù):換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式外皆為一次式：分離常數(shù)：適合分

5、子分母皆為一次式(x有圍限制時(shí)要畫(huà)圖)：?jiǎn)握{(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域圖象法：二次函數(shù)必畫(huà)草圖求其值域.例題、求下列函數(shù)的值域：11.(直接法)y二一-:f(x)=2J24+2x-x2.x2+2x+32.（換元法）y=x+2x-1（分離常數(shù)法）y二xx+1y=詔（2匕x匕4）-3（單調(diào)性）y二x（xg1,3）；5.（圖象法2xy=3+2xx2（1x2）.函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法例1設(shè)/(x)是一次函數(shù)，且ff(x)=4x+3，求f(x)解：設(shè)f(x)=ax+b(a豐0)，貝qff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b|a

6、2二4ab+b二3r廠a二2a二2/.或0)，求/(x)的解析式xx2解：f(x+丄)二(x+丄)22,x+-2xxx:.f(x)二x22(x2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/g(x)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求f(x)的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3已知f(、cx+1)=x+2x,求f(x+1)解：令t=弋x+1，則t1，x=(t1)2構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡(jiǎn)約，則可以對(duì)變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過(guò)解方程組求得函數(shù)解析式。1例4設(shè)f(x)滿足(x)2f()二x,求f(x)x解1例5設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f(x)+g(x)二,求f(x)和

7、g(x)的解析式x1解賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對(duì)具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，從而求得解析式。例6已知：f(0)二1，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,等式f(xy)二f(x)y(2xy+1)恒成立，求f(x)解打?qū)τ谌我鈱?shí)數(shù)x、y,等式f(xy)二f(x)y(2xy+1)恒成立，不妨令x=0，則有f(y)二f(0)y(y+1)二1+y(y1)二y2y+1再令y二x得函數(shù)解析式為：f(x)二x2+x+1五函數(shù)的奇偶性1定義：設(shè)y=f(x),xGA,如果對(duì)于任意xWA,都有f(x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù).如果對(duì)于任意xWA,都有f(一x)

8、=f(x)，則稱y=f(x)為奇函數(shù).2.性質(zhì)：y=f(x)是偶函數(shù)Oy=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=f(x)是奇函數(shù)Oy=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(0)=0奇土奇=奇；偶土偶=偶；奇X奇H禺；偶乂偶=偶；奇乂偶=奇兩函數(shù)的定義域,D2,DinD2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱看f(x)與f(-X)的關(guān)系例1.已知函數(shù)f(x)是定義在(8,+8)上的偶函數(shù).當(dāng)xg(8,0)時(shí)，f(x)=xx4，則當(dāng)xg(0,+8)時(shí)，f(x)=.2x+b例2、已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).2x+1+a求a,b的值；若對(duì)任意的tgr，不等式f(t22)+f(2t2k)0恒成立，求k的取值圍.例3、若奇函數(shù)f(x)(xgR)滿足f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，則f(5)=六、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義：2、設(shè)y=fgG)是定義在m上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則y=fgG)在M上是減函