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1、2021/8/9 星期一1算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(1)2021/8/9 星期一2引入新課例題:某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水池,其容積為4800m3, 深為3m,如果池底每1m2的造價為150元,池壁每1m2的造價為120元問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低,最低總造價是多少?跳躍2021/8/9 星期一3重要不等式及其應(yīng)用一、重要不等式的推導(dǎo)課題ii重要不等式1 如果a、bR,那么 ab2ab (當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號) 以公式(1)為基礎(chǔ),運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式(2)這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法。i如果a、bR,那么有 ( ab ) 0 ( 1 )把(1)式左
2、邊展開,得 a 2abb 0 ab 2ab ( 2 )(2)式中取等號成立的充要條件是什么?2021/8/9 星期一4公式2、探索設(shè)a、b、cR,依次對其中的兩個運用公式(2),有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.a+b2ab (a、bR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)2021/8/9 星期一5把以上三式疊加,得 a b c abbcca ( 3 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號) 從以上推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法迭代與疊加.2021/8/9 星期一6由于 ab(ab)(aabb),啟示我們把公式(2)變成 aabbab, 兩邊同乘以a
3、+b,為了得到同向不等式,這里要求a、b0, 得到 a+babab。 ( 4 )3、再探索 考查兩個以上實數(shù)的更高次冪的和,又能得到什么有趣的結(jié)果呢?a+b2ab (a、bR當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號)2021/8/9 星期一7重要不等式2 如果a、b、c0,那么abc 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)考查三個實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢? 由公式(3) 的推導(dǎo)方法,再增加一個正實數(shù)c,對b、c , c、a 迭代(4)式,并應(yīng)用公式(2),得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3abc ( 5 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=
4、b=c時取“=”號)2021/8/9 星期一84、定理( 6 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)在公式(5)中用 、 、 分別替換a、b、c,可得 ( ) + ( ) + ( ) 3 a + b +c 3 (a+b+c)/3 ( 7 ) (當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)a+b2ab (a、bR當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)公式a+b+c 3abc (a,b,cR+當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)問題:若a,b都為正數(shù),試比較 與 的大小關(guān)系.定理1:如果a、b0,那么 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號) 定理1的推廣 如果a、b、c0,那么 (當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)2021/8/9 星期一9重要不等式及
5、其應(yīng)用重要不等式1 如果a、bR,那么a+b2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)重要不等式2 如果a、b、c 0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)定理1 如果a、b 0,那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)定理1的推論 : 如果a、b、c 0,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)2021/8/9 星期一105、兩 個 概 念公式定理表明:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)。a+b2ab (a、bR當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)a+b+c 3abc (a,b,c R+當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號) 如果a1,a2,an 0 ,且 n1,那么
6、叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) .叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù) 。2021/8/9 星期一11說明公式(1) a+b2ab 成立的條件是a、bR,而均值不等式 成立的條件是a、b R(2)若把 看作是正數(shù)a,b的等差中項, 看作是正數(shù)a,b的等比中項,那么這個定理可敘述為“兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項”(3)若以a+b為直徑作圓,在直徑上取點C,使ACa,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.可知 (4)不等式 的變式有這些變式對我們今后解題會有很大的幫助的.2021/8/9 星期一12例1:例2:已知x,y都為正數(shù),求證:(1)如果積xy為定值P,那么當(dāng)x=y時,和x+y
7、有最小值(2)若x+y為定值S,那么當(dāng)x=y時,積xy有最大值例3:已知a,b,c,d都為正數(shù),求證:課本:P11練習(xí)2021/8/9 星期一13如果a、b、cR , 那么有 ( a-b ) 0 a+b 2ab a +b +c ab+bc+ca 如果a、b、c0 , 那么有 a+b ab+ab a+b+c 3abc ( a+b)/2 (a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)公式總匯2021/8/9 星期一14算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(2)2021/8/9 星期一15重要不等式1 如果a、bR,那么a+b2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)重要不等式2 如果a、b、c 0,那么a+
8、b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)定理1 如果a、b 0,那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)定理1的推論 :如果a、b、c 0,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)2021/8/9 星期一16已知x,y都為正數(shù),(1)如果積xy為定值P,那么當(dāng)x=y時,和x+y有最小值(2)若x+y為定值S,那么當(dāng)x=y時,積xy有最大值這個結(jié)論反映在利用均值不等式求最值時,要注意以下三個條件(1)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)(2)函數(shù)式中含變量的各項的和或積必須是常數(shù)(3)等號成立的條件必須存在一正、二定、三相等2021/8/9 星期一17例1、(1)求函數(shù) 的最小值并求相應(yīng)的x的值 (2
9、)求函數(shù) 的最小值并求相應(yīng)的x的值(3)求函數(shù) 的最大值 析:求函數(shù)的最值,可考慮利用和,積不等式,關(guān)鍵在于對函數(shù)式結(jié)構(gòu)的調(diào)整,使得函數(shù)的結(jié)構(gòu)為和的形式(或積的形式),并且相應(yīng)的和(或積)為定值 說明:此題通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃畏植鹱兞?,使之滿足定理條件,把問題轉(zhuǎn)化為定積條件下的兩個變量和的問題例2、若x0,y0,且x+y=2,求x2+y2的最小值2021/8/9 星期一18例3、(1)某種汽車購買時的費用是10萬元,每年的保險費、養(yǎng)路 費、汽車油 費合計為9千元,汽車的維修費平均為第一年2千元,第二年為4千元,第三年為6千元依等差數(shù)列逐年遞增,問這種汽車使用多少年報廢最合算(即年平均費用最少)(2)設(shè)計一幅宣傳畫,要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的 比為 ,畫面的上下各留8cm的空白,左右各留5cm的空白,怎樣確定畫面的高與寬的
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