用樣本的頻率分布估計總體分布 市賽獲獎 完整版課件

1、探究：我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出. 某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價收費(fèi)，超過a的部分按議價收費(fèi). 如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？你認(rèn)為，為了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn)，需要做哪些工作？o上海廣州南京北京武漢天津成都沈陽重慶哈爾濱城市51015202530缺水量/108m3 2000年全國主要城市中 缺水情況排在前10位的城市 為了確定一個較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a，必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水量在哪個范圍的居民最多，他們占全市居民的

2、百分比是多少？由于住戶較多，可采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本數(shù)據(jù)一來估計全市居民用水量的分布情況. 假設(shè)通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：t）：思考：上面這些數(shù)字能告訴我們什么呢？分析：最容易發(fā)現(xiàn)的是一個居民月均用水量的最小值是0.2t，最大值為4.3t，其他在0.2與4.3之間. 除此之外，很難發(fā)現(xiàn)其他信息了. 很難從隨意記錄下來的數(shù)據(jù)中直接看出規(guī)律. 為此要對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析。 分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫現(xiàn)來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式. 作圖可以達(dá)到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息. 表格則是通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式，為我們提

3、供解釋數(shù)據(jù)的新方式. 畫頻率分布表與頻率分布直方圖的步驟：（頻率分布：是樣本數(shù)據(jù)在各個小組內(nèi)所占比例的大小.）（1）求極差（2）確定組距與組數(shù) （3）將數(shù)據(jù)分組 （4）列頻率分布表 （5）畫頻率分布直方圖極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差. 4.3-0.2=4.1 這說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是4.1t (0t1).組距：指每個小組的兩個端點(diǎn)的距離.組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，按數(shù)據(jù)多少常分5-12組.組數(shù)= = =8.2.所以分9組比較合適.于是取組距為0.5，組數(shù)為9. 極差組距4.10.5 將數(shù)據(jù)分成互不相交的組，把區(qū)間取為左閉右開區(qū)間，最后一組為閉區(qū)間. 以組距為0.5將數(shù)據(jù)

4、分組時，可以分成9組：0，0.5），0.5，1），4，4.5.頻率/組距o0.511.522.533.544.5月均用水量/t0.100.200.300.400.50結(jié)論 小正方形的面積=組距 =頻率 各小正方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率. 頻率分布直方圖就是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小. 在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1.頻率組距問題 樣本在區(qū)間1，2）上的頻率為多少？探究：同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖的形狀也會不同，不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時會影響我們對總體的判斷，分別以0.1和1為組距重新作圖，然后談?wù)勀銓D的印

5、象. 分兩個小組分別討論。思考：如果當(dāng)?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖，你能對制定月用水量標(biāo)準(zhǔn)提出建議嗎？ 分析：月用水量在3 t以上的居民所占的比例為6%+4%+2%=12%，即大約有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下. 因此，居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)定為3t是一個可以考慮的標(biāo)準(zhǔn).想一想：你認(rèn)為3t這個標(biāo)準(zhǔn)一定能夠保證85以上的居民用水不超標(biāo)嗎？如果不一定，那么哪些環(huán)節(jié)可能會導(dǎo)致結(jié)論的差別？頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn).頻率/組距o0.511.522.533.544.5月均用水量/t0.100.

6、200.300.400.50思考：（1）上例的樣本容量為100，如果增至1000，其頻率分布直方圖的情況會有什么變化？假如增至10000呢？分析：樣本容量越大，這種估計越精確。但隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線. 當(dāng)樣本容量無限增大，組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。（圖中陰影部分的面積，表示總體在某個區(qū)間 (a， b) 內(nèi)取值的百分比）總體密度曲線說明：（1）總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，精確地反映了總體的分布規(guī)律，是研究總體分布的工具. （2）用樣本

7、分布直方圖去估計相應(yīng)的總體分布時，一般樣本容量越大，頻率分布直方圖就會無限接近總體密度曲線，就越精確地反映了總體的分布規(guī)律，即越精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值百分比. 思考：可以由樣本的頻率分布折線圖得到準(zhǔn)確的總體密度曲線嗎？ 莖葉圖某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的原始記錄如下：甲運(yùn)動員得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙運(yùn)動員得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.用莖葉圖列出甲、乙兩名運(yùn)動員的分?jǐn)?shù)：甲乙 8 04 6 3 1 2 53 6 8 2 5 4 3 8 9 3 1 6 1 6 7 9 4 4

8、 9 1 5 0分析：莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)。中間的數(shù)字表示得分的十位數(shù)，旁邊的數(shù)字分別表示兩個人得分的個位數(shù)。乙運(yùn)動員的得分基本上是對稱的，葉的分布是“單峰”的，有的葉集中在莖2，3，4上，中位數(shù)是36；甲運(yùn)動員的得分除一個特殊得分（51分）外，也大致對稱，葉的分布也是“單峰”的，的葉集中在莖1，2，3上，中位數(shù)是26。由此可看出，乙運(yùn)動員的成績更好。另外，從葉在莖上的分布情況看，乙運(yùn)動員的得分集中于峰值附近，這說明乙運(yùn)動員的發(fā)揮更穩(wěn)定.莖葉圖的特征1.用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的

9、數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。 2.莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀、清晰。例1. 對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命（h）100200200300300400400500500600個數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計元件壽命在100400h以內(nèi)的在總體中占的比例；（4）估計電子元件壽命在400 h以上的在總體中占的比例.解：（1）樣本頻率分布表如下：壽命（h）頻 數(shù) 頻 率 100200 20 0.10 200300 30 0.1

10、5 300400 80 0.40 400500 40 0.20 500600 30 0.15 合 計 200 1 （2）頻率分布直方圖如下：o0.0010.0020.0030.0040.005頻率/組距100200200300300400400500500600壽命（h）（3）元件壽命在100h400h以內(nèi)的在總體中占的比例為0.10+0.15+0.40=0.65.（4）估計電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例為1-0.65=0.35.變式 同學(xué)們在你畫出的頻率分布直方圖中，若從左到右各小正方形的面積之比為2 :3 :8 :4 :3，第二小組頻數(shù)為60.問：（1）第二小組的頻率是多少，

11、樣本容量是多少？ （2）若壽命在300h以上（含300h）為合格，估計合格率為多少？例2. 在育才中學(xué)舉行的電腦知識競賽中，將高一兩個班參賽學(xué)生的成績（得分的整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，繪制出如下的頻率分布圖直方圖，已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別為0.30，0.15，0.10，0.05，第二小組的頻率為40. （1）求第二小組的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；（2）求這兩個班參賽的學(xué)生人數(shù).o頻率/組距分?jǐn)?shù)49.559.569.579.589.599.5分析：根據(jù)圖中所有長方形的面積之和為1，可求得第二小組的頻率，從而可求出第二小組的“頻率/組距”，從而補(bǔ)全直方圖.解：（

12、1）因為各小組的頻率之和為1.00，第一、三、四、五組的頻率分別是0.30，0.15，0.10，0.05，所以第二小組的頻率為1.00-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40 . 因為第二小組的頻率為0.40，所以落在59.569.5的第二組的小長方形的高=頻率/組距=0.4/10=0.04 ，由此可補(bǔ)全直方圖(如圖中陰影部分). （2）設(shè)高一兩個班參賽的學(xué)生人數(shù)為x 人，因為第二小組的頻數(shù)為40，頻率為0.40，所以40/x=0.40，得x=100人. 例3. 某中學(xué)高一（2） 班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來每場數(shù)學(xué)考試成績情況如下：甲的得分：95，81，75，91，86，89，7

13、1，65，76，88，94，110，107；乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101 畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，請根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進(jìn)行比較分析：用中間的數(shù)字表示兩位同學(xué)得分的十位數(shù)和百位數(shù)兩邊的數(shù)字分別表示兩人每場數(shù)學(xué)考試成績的個位數(shù).解：甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如下圖甲乙 5 66 5 1 7 9 9 8 6 1 8 3 6 8 5 4 1 9 3 8 8 9 7 10 1 3 0 11 4 從這個莖葉圖上可以看出 乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是98；甲同學(xué)的得分情況除一個特殊得分（110分）外. 也大致對稱，中位數(shù)是88因此乙同學(xué)發(fā)揮

14、比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好. 練習(xí)：填空題：一個容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別是30和0.25，則n= .1202. 某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生.得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名這一天平均每人的課外閱讀時間為（ ） A. 0.6小時 B. 0.9小時 C. 1.0小時 D. 1.5小時B0人數(shù)（人）時間（小時）51015200.51.01.52.03. 用一個容量為200的樣本制作頻率分布直方圖時，共分13組，組距為6，起始點(diǎn)為10，第4組的頻數(shù)為25，則直方圖中第4個小矩形的面積為 .

15、 4. 在抽查產(chǎn)品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，a，b是其中的一組，抽查出的個體在該組上的頻率為m ，該組上的直方圖的高為h ，則|a-b|= .0.125hm解答題：5. 從高三學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下：40，50），2:50，60），3:60，70），10:70,80），15:80，90），12:90，100，8.（1）列出樣本的頻率分布表（含累計頻率）；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計成績在60，90分的學(xué)生比例；（4）估計成績在85分以下的學(xué)生比例解：（1）樣本頻率分布表如下.壽命（h）頻 數(shù) 頻 率 405020.04 5060 3 0.06 6070 10 0.207080 15 0.30 809012 0.24 9010080.16合 計 50 1 （2）頻率分布直方圖如下.o0.040.060.160.200.24頻率/組距4050607080壽命（h）901000.30（3）估計成績在60，90分的學(xué)生比例為0.20+0.30+0.24=0.74.（4）估計成績