蘇科版八年級上冊數(shù)學全等三角形專題練習(解析版)

1、一、八年級數(shù)學全等三角形解答題壓軸題（難）1.如圖，在ABC中，=分別為8c,4。邊上的高，連接OE,過點。作石與點尸，G為BE中點,連接Ab, DG.（1）如圖1，若點尸與點G重合，求證：AhDF;（2）如圖2,請寫出AE與QG之間的關系并證明.【答案】詳見解析乂2）AF=2DG,且AF_LDG,證明詳見解析.【解析】【分析】（1）利用條件先DAEgDBF,從而得出AFDE是等腰直角三角形,再證明AEF是等腰直角 三角形，即可.延長DG至點M,使GM=DG,交AF于點H,連接BM,先證明BGMg/XEGD,再證明 BDMADAF即可推出.【詳解】解：（1）證明:設BE與AD交于點H.如圖，V

2、AD,BE分別為BCZAC邊上的甑 AZBEA=ZADB=90./ ZABC=45,ABD是等腰直角三角形.AAD=BD.ZAHE=ZBHD/ AZDAC=ZDBH.: ZADB=ZFDE=90/. ZADE=ZBDRAADAEADBF.ABF=AE/DF=DE.,.FDE是等腰直角三角形.A ZDFE=450.VG為BE中點，ABF=EF.AAE=EF.AEF是等腰直角三角形./. ZAFE=45.，NAFD=90。,即 AF1DF.AF=2DG,且AFJ_DG.理由:延長DG至點M,使GM=DG,交AF于點H,連接BM,VZBGMZEGD,AaBGMAEGD.，ZMBE=ZFED=45,B

3、M=DE.AZMBE=ZEFD/BM=DRVZDAC=ZDBE/，ZMBD=ZMBE+ZDBE=450+ZDBE.: ZEFD=45=ZDBE+ZBDF/AZBDF=45-ZDBE./ ZADE=ZBDF,，ZADF=90o-ZBDF=45+ZDBE=ZMBD.VBD=ADZAABDMADARADM=AF=2DGzZFAD=ZBDM.VZBDM+ZMDA=900,AZMDA+ZFAD=90.，ZAHD=90.AAFDG.，AF=2DG,且 AF1DG【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質，關鍵在于靈活運用性質.2.如圖1,等腰A8C中，AC=8C= 4后，NAC8=45 , 40是8c邊上的高

4、，。為線段AO上 一動點，以8為一邊在CD下方作等腰.CDE,使8=CE且NDCE=45,連結8求證：aacdgAbce ；如圖2,在圖1的基礎上，延長8E至Q,P為8Q上一點，連結CP、CQ若CP=CQ二5,求 PQ的長.連接0E，直接寫出線段0E的最小值.【答案】（1）證明見解析：（2）PQ=6；（3）OE=4-2應【解析】試題分析：（1）根據(jù)5人5即可證得448金48（主；（2）首先過點。作C4_L8。于，由等腰三角形的性質，即可求得N）AC = 45。，則根 據(jù)等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長.（3）OE_L8Q時，0E取得最小值.試題解析：（1）證明：.A8c與是等

5、腰三角形，：.AC=BC,DC=EC, ZACB = NDCE = 45”,/. ZACD + NDCB = ZECB + 4DCB = 45,：.ZACD=ZBCE ；在4CD和A8CE中，AC = BCZACD = /BCE DC = EC,/.ACDaBCE(SAS)；(2)首先過點C作CH_L8。于，過點c作CHL8Q于二48C是等腰三角形，NAC8=45 , AO是8c邊上的高，. ZDAC = 45,.ACD%BCE,：.NPBC = NDAC = 45,:.在 RBHC中,CH = BCX 立=4四乂蟲=4,22. PC = CQ = 5, CH =4,:.PH=QH=3,.PQ

6、 = 6.(3)。七_18。時，OE取得最小值.最小值為：OE = 4-23.如圖，八8c中，。是8c的中點，過。點的直線GF交AC于F,交AC的平行線8G于G點，DE上DF,交48于點,連結EG、EF.(1)求證：BG=CF；(2)請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由.【答案】(1)詳見解析：(2) 8E+CFAEF,證明詳見解析【解析】【分析】(1)先利用ASA判定BGDmCFD,從而得出BG=CF；（2）利用全等的性質可得GD=FD,再有DEJ_GF,從而得至I EG=EF,兩邊之和大于第三 邊從而得出BE+CFEF.【詳解】解：（1） 9：BG/AC.：.ZDBG=ZDCF.

7、D為8c的中點，：.BD=CD又,： /BDG=/CDF,在8G。與CF。中，4DBG = ZDCF: bd = cd/BDG = /CDF二BGDgACFD （ ASA）.：.BG=CF.BE+CFEF.,: BGDWMFD,：.GD=FD, BG=CF.又 YOELFG,.EG=EF （垂直平分線到線段端點的距離相等）.，在EBG 中，BE+8GEG,即 BE+CFEF.【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，要注意判定三角形全等的一般方法有：sss、SAS、 A AS. ASA、HL.4.如圖 1,在 AABC 中，N4CB 是直角，ZB = 60 , AD. CE 分別是 NBA。、

8、ZBCA 的平分線，AD. CE相交于點尸.（1）求出NAR7的度數(shù)；（2）判斷尸E與尸。之間的數(shù)量關系并說明理由.（提示：在AC上截取CG = C,連接 FG.）（3）如圖2,在A45C中，如果NAC3不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷 線段AE、。與AC之間的數(shù)量關系并說明理由.【答案】(1)ZAFC=120 ； (2) FE與FD之間的數(shù)量關系為：DF=EF.理由見解析：(3) AC=AE+CD.理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形的內角和性質只要求出NFAC, NACF即可解決問題；(2)根據(jù)在圖2的AC上截取CG=CD,證得CFGgZCFD(SAS),得出DF=GF：

9、再根據(jù)ASA 證明AFGgZXAFE,得 EF=FG,故得出 EF二FD：(3)根據(jù)的證明方法，在圖3的AC上截取AG=AE,證得EAFgGAF (SAS)得出 ZEFA=ZGFA；再根據(jù)ASA證明DC烏FGC,得CD=CG即可解決問題.【詳解】(1)解：V ZACB = 90, NB = 60,AZBAC=90 - 60 = 30,二AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AZFAC=15% ZFCA=45,AZAFC=180 - (ZFAC+ZACF) =120(2)解：FE與FD之間的數(shù)量關系為：DF = EF.理由：如圖2,在AC上截取CG = CD,VCE是NBCA的平分線， A

10、ZDCF=ZGCF, 在aCFG和4CFD中，CG = CD ZDCF =乙GCF , CF = CFAACFGACFD (SAS), ，DF=GF. ZCFD=ZCFG 由(1) NAFC=120。得, ZCFD= ZCFG = ZAFE=60, ，ZAFG=60,又：ZAFE=ZCFD = 60%/. NAFE=NAFG, 在dAFG和4AFE中，ZAFE = ZAFGAF = AFZEAF = ZGAFAAAFGAAFE (ASA), ，EF=GF,ADF = EF：（3）結論：AC=AE+CD.理由：如圖3,在AC上截取AG=AE,同(2)可得，EAFg/GAF (SAS), AZEF

11、A=ZGFA, AG = AEVZBAC+ZBCA=180c -ZB=180 -60 =120A ZAFC=180 - (ZFAC+ZFCA) = 180 -(ZBAC+ZBCA)=180 - X120 =120 ,22AZEFA=ZGFA=180 - 120 = 60= ZDFC,AZCFG=ZCFD = 60,同（2）可得，aFDCAFGC （ASA）,，CD=CG,，AC=AG+CG = AE+CD.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質的運用，全等三角形的判定和性質是證明線段和角相 等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件，要注意三角形間的公 共邊和公共角，必要時添

12、加適當輔助線構造全等三角形.5.己知8c中，48二女，點P是48上一動點，點Q是AC的延長線上一動點，且點P從 8運動向八、點Q從C運動向Q移動的時間和速度相同，PQ與8c相交于點D,若 48= 8近，BC=16.（1）如圖1，當點P為48的中點時，求CD的長：（2）如圖，過點P作直線8c的垂線，垂足為E,當點P、Q在移動的過程中，設 8E+CD5,4是否為常數(shù)？若是請求出入的值，若不是請說明理由.【答案】4： （2） 8【解析】【分析】（1）過P點作PFAC交BC于F,由點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，得出 BP=CQ,根據(jù) PFAQ,可知NPFB=NACB, ZDPF=ZCQD,則可得出N

13、B=NPFB,證 出BP=PF,得出PF=CQ,由AAS證明PFDgZQCD,得出，再證出F是BC的中點， 即可得出結果：（2）過點P作PFAC交BC于F,易知4PBF為等腰三角形，可得BE=，BF,由（1） 2證明方法可得PFDgAQCD則有CD=1c/，即可得出8E+CO=8.2【詳解】解：（1）如圖，過P點作PFII AC交BC于F,點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同, ，BP=CQ,V PFII AQ, N PFB=N ACB, Z DPF=Z CQD, 又二 AB=AC,Z B=Z ACB,Z B=Z PFB, BP=PF,/. PF=CQ,又N PDF=N QDC, AAPFDAQCD

14、,/. DF=CD=-CF又因P是AB的中點，PFII AQ, ，F(xiàn) 是 BC 的中點，HP FC=-BC=8.1/. CD=-CF=4：2B E F D（2） BE+CZ） = 4 = 8為定值. 如圖，點P在線段ab上， 過點P作PFH AC交BC于F,B E F D圖圖易知 PBF為等腰三角形,VPEBF，be=1bf2易得PFDgAQCD/. CD= CF【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判斷與性質，熟悉相關性質定理是解題的關 鍵.6.如圖，在A3C中，ABAC = 90, AB = AC, AE是過A點的一條直線，且 B、。在AE的異側，BDLAE于D，CEJLA七于E

15、圖（1）求證：BD = DE + CE.（2）若將直線AE繞點A旋轉到圖的位置時（BOCE）,其余條件不變，問8。與 DE、CE的關系如何？請予以證明.【答案】（1）見解析；（2） BD=DE-CE,理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知利用AAS判定ABDgZkCAE從而得至IJBD=AE, AD=CE,因為AE=AD+DE,所 以 BD=DE+CE；(2)根據(jù)已知利用AAS判定ABDgCAE從而得至IJBD=AE, AD=CE,因為AD+AE=BD+CE,所以 BD二DECE.【詳解】解：(1) V ZBAC=90, BDJ_AE, CEAE,AZBDA=ZAEC=90%V ZABD+

16、ZBAE=90 /CAE+NBAE=90/. NABD=/CAE,VAB=AC,在4ABD lACAE 中，ABDA = ZAEC ZABD = NCAEAB = ACAAABDACAE (AAS),，BD=AE, AD=CE,VAE=AD+DE,ABD=DE+CE：(2) BD與DE、CE的數(shù)量關系是BD=DE-CE,理由如下：V ZBAC=90, BD_LAE, CEAE,AZBDA=ZAEC=90%工 NABD+/DAB=NDAB+NCAE,/. NABD=/CAE,VAB=AC,在4ABD lACAE 中，ABDA = ZAEC ZABD = NCAEAB = ACAAABDACAE

17、(AAS),，BD=AE, AD=CE,，AD+AE=BD+CE,VDE=BD+CE,ABD=DE-CE.【點睛】此題主要考查全等三角形的判定和性質，常用的判定方法有SSS, SAS, AAS, HL等.這種 類型的題目經?？嫉?，要注意掌握.7.在aABC中，4B = AC,點。在8C邊上，且NAO8 = 60。,E是射線DA上一動點 （不與點。重合，且ZMWO8），在射線。8上截取OF =。石，連接E廠.（1）當點E在線段AO上時，若點E與點A重合時，請說明線段3F = OC；如圖2,若點E不與點A重合，請說明8F = DC + AE；（2）當點E在線段DA的延長線上（OE 時，用等式表示線

18、段AE, BF、CD之間的數(shù) 量關系（直接寫出結果，不需要證明）.【答案】（1）證明見解析：證明見解析；（2） BF=AE-CD【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，求到NB = NC,再由含有60角的等腰三角形是等邊三角形得 到AAO尸是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質以及鄰補角的性質得到ZAFB = ZADC = 20o,推出ABf好A8,根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論； 過點A做AGEF交BC于點G,由ADEF為等邊三角形得到DA=DG,再推出AE = GF, 根據(jù)線段的和差即可整理出結論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，作出AG,由（1）可知，AE=GF, DC=BG,再由線段的和差和等

19、 量代換即可得到結論.【詳解】（1）證明：.AB = AC:B = ZC,/ DF = DE* ZADB = 60,且 E 與 A 重合，MOP是等邊三角形/. ZADF = ZAFD = 60:.ZAFB = ZADC = 20在AA8E和AACD中NAFB = ZADC NB = NCAB = ACMBFMCDBF = DC如圖2,過點A做AGEF交BC于點G,V ZADB=60 DE = DFDEF為等邊三角形VAG/ZEFA ZDAG =ZDEF = 60% ZAGD= ZEFD = 60AZDAG=ZAGDA DA=DGADA-DE = DG-DF,即 AE=GF由易證AGBg/iA

20、DC，BG = CD，BF = BG + GF = CD + AE(2)如圖3,和(1)中相同，過點A做AGEF交BC于點G,由(1)可知，AE=GF, DC=BG, :.BF+CD = BF+BG = GF = AE 故 BF = AECD.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性 質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.8. (1)在等邊三角形ABC中,D如圖，D，E分別是邊AC，A8上的點，且力 = 8, BD與EC交于點、F ,則 ZBFE的度數(shù)是 度;如圖，D，E分別是邊AC，84延長線上的點，且AE = 8, 80與EC的延長線 交于點尸，此

21、時N8FE的度數(shù)是 度；(2)如圖，在A43C中，AC = BC NAC8是銳角，點。是4c邊的垂直平分線與 8C的交點，點。，E分別在AC, 0A的延長線上，且AE = CQ, 8。與EC的延長線 交于點尸，若NAC8 = a,求NBFE的大小(用含法。的代數(shù)式表示).【答案】(1) 60； (2) 60； (3) /BFE = a【解析】【分析】(1)只要證明ACET4CBD,可得NACE=NCBD,推出ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA=60a ：只要證明ACEgCBD,可得NACE=NCBDnNDCF,即可推出ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=

22、60 ：(2)只要證明AECgCDB,可得NE=ND,即可推出 ZBFE=ZD+ZDCF=ZE+ZECA=ZOAC= a .【詳解】:ABC是等邊三角形，AC二CB, ZA=ZBCD=60,VAE=CD,AAACEACBD, ZACE=ZCBD,，ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA=60 .故答案為60；如圖,圖:ABC是等邊三角形，AC二CB, ZA=ZBCD=60,AZCAE=ZBCD=r 120VAE=CD,AAACEACBD,，NACE=NCBD=NDCF,，ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=60 .故答案為60；（2）如圖中，點。是AC邊的垂

23、直平分線與BC的交點，/. OC = OA /. ZOAC = ZACO = aNE4C = NDC3 = 180。a,v AC = BC, AE = CD,A4EC = ACDB ,;.ZE = ZD，ZBFE = ZD+ZDCF = AE+ZECA = AOAC = a.【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質和等腰三角形的性質和判定以及等邊三角形的性質、線 段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.9.如圖1,己知CF是ABC的外角N4CE的角平分線，D為CF上一點、,且。4 =。8.(2)(3)求證：AC+BCV2BD；如圖 (2)(3)求證：AC+BCV2BD

24、；如圖 2,若NECF=60,證明：AC=BCCD.【答案】（1）詳見解析：（2）詳見解析：（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）過點D分別作AC, CE的垂線，垂足分別為M, N,證明RtADAMgRtDBN,得出 NDAM二NDBN,則結論得證：（2）證明 RtZkDMCgRSDNC,可得 CM二CN,得出 AC+BO2BN,又 BNBD,則結論得 證：（3）在AC上取一點P,使CP=CD,連接DP,可證明ADPWBDC,得出AP=BC,則結論 可得出.【詳解】CE的垂線，垂足分別為CE的垂線，垂足分別為M, N,：CF是的外角NACE的角平分線,：.DM=DN,在 Rt/kOAM 和 R

25、UDBAf 中，DA = DBDM = DN ARDAMDBN (HL),/DAM=NDBN, ，ZACB=ZADB；(2)證明：由(1)知 OM=ON, 在 RUDMC 和 RtA D/VC 中，DC = DCDM = DN ARtADMCRtADA/C （HL）,:.CM=CN,，4C+8C=4M+CM+8C=AM+CN+8C=4M+8N,又：AM=8N,：.ACBC=2BN.,: BNBD,：.ACBC2BD.（3）由（1）知NCAD=NC8D,在 AC上取一點 P,使 CP=CO, 連接DP,V ZfCF= 60% N4CF=60,.CDP為等邊三角形，：.DP=DC. ZDPC= 60%，ZAPD=120V ZECF= 60%A ZBCD=120,在和Zk8DC中，ZAPD = /BCD ZPAD = ZCBD ,DA = DB:.4ADPqABDC (A4S), ：.AP=BC.4C=AP+CP,：.AC=BC+CP,：.AC=BCCD.【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平 分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.10.已知：A48C, ZA = 45 NAC8 = 90,點。是4c延長線上一點，且 AD = 6+2, M是線段CD上一個動點，連接8M，延長M8到