考研數(shù)學(xué)模擬試題及答案

1、模擬模擬模擬模擬考研數(shù)學(xué)模擬試題及答案ThiS model PaPer WaS revised by LINDA On DeCember 15, 2012.一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.設(shè)函數(shù)/(x) = ( Jn(3 +則,(A)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3設(shè)有兩個(gè)數(shù)列,若lim=0,則()當(dāng)fb”當(dāng)fb”收斂時(shí)，f,仇收斂. n=lnl當(dāng)fb”發(fā)散時(shí)，fa,/”發(fā)散. n=ln=l(D)當(dāng)乞陽(yáng)發(fā)散時(shí)，?發(fā)(D)當(dāng)乞陽(yáng)發(fā)散時(shí)，?發(fā)H-IH-Ir-lt-l散.已

2、知函數(shù) y = (x)對(duì)一切非零X滿足Xff(X)+ 3xf Xx)2 =e廣(Xo) = OeY(汗0),則 ()/(兀)是/(x)的極大值/()是/(x)的極小值(Xoj(XQ)是曲線y = f()的拐點(diǎn)/(兒)是/V)的極值，但(0()也不是曲線y = fM的拐點(diǎn)設(shè)在區(qū)間a,b上 3OJ,(x)vOJ(x)O,令 51 = f(x)S2=f(b)(b-aSi =Lf(a) + f(b)(b-a 則()乙S1S1 S2 S3(C) S3 VS】S2S2Sl S.S2 S3 合同，且相似不合同，但相似合同，且相似不合同，但相似合同,但不相似既不合同，也不相似設(shè)AB均為2階矩陣，,F分別為人3

3、的伴隨矩陣，若 = 2,B = 3,則分塊矩( 陣O的伴隨矩陣為()W O丿設(shè)AC設(shè)AC是三個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)事件,且OvP(C)vl,則下列給定的四對(duì)事件中不相(A)r O3B、O)(B)ZOW2BO丿(C)r O3 A八O )(D)ZO3B2 A八O丿互獨(dú)立的是()喬萬(wàn)與C (B)走與乙 (C) 與乙 (D) 麗與O1 n（8）設(shè)隨機(jī)變量X“X2,，X1）獨(dú)立同分布，且其方差20,令Y = _Xr則（）CoV(XICoV(XI)=11COV(XbK) = 2D(XID(XI+ n = -2 H(D) Z)(XI-n = -2二.填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位

4、置上 sin2J（9）設(shè)函數(shù)f（x） =則心二一在（9）設(shè)函數(shù)f（x） =則心 TOC o 1-5 h z a/ = Of fxCOS解答15-23小題，共94分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明、證明過程或演算步驟(15)（本題滿分10分）求極限(16)(15)（本題滿分10分）求極限(16)（本題滿分）求微分方程爲(wèi)駕,）;,;爲(wèi)的解（17）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)/（x）在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)大于零,并滿足Xf（X） = f（x）+-x2（a為常數(shù)）,乂曲線y = /（x）與X = Iy = O所圍的圖形S2的面積值為2,求函數(shù)y = f（x并問為何值時(shí)，

5、圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。ū绢}滿分。分）赦的不同取值情況，確定方程一軌歸在開區(qū)間隔）內(nèi) 根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.（19）（本題滿分10分）求幕級(jí)數(shù)girn的收斂域及和函數(shù).(20)（本題滿分10分）已知向量組A =(20)（本題滿分10分）已知向量組A =0ab102 =203 =1-11O向量組與向量組9a、= 6 具有相同的秩，且可12 a3線性表示求Q，b的值.-7(21)(本題滿分 10分)設(shè)二次型 /(xpx2,3) = x12 +ax：2 + 2XXXI 2x1xi -2cxxxi 的正負(fù)慣指數(shù)都是1,試訃算的值并用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型(C)(C)連續(xù)，但

6、不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)(C)(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)(22 (本題滿分10分)已知隨機(jī)變量X的聯(lián)合概率密度為40t00t00是未知參數(shù)從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本XVXJ,X記 = min(X1,X2,.,X),求總體X的分布函數(shù)F(X)求統(tǒng)計(jì)量&的分布函數(shù)FF)；如果用&作為&的估計(jì)量，討論它是否具有無(wú)偏性.模擬二一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一I-COSX設(shè) /(x) = * I-COSX設(shè) /(x) = * fx 竝CO(A)極限不存在x0,其中g(shù)()是有界函數(shù)，則/()在X = O處()x0極限存在，但不連續(xù)“對(duì)任意給定的(0,1),總存在正

7、整數(shù)N ,當(dāng)淪N時(shí)，恒有Lv,f-l2 ”是數(shù) 列如收斂于Q的()充分條件但非必要條件；(B)必要條件但非充分條件；充分必要條件；(D)既非充分條件也非必要條件；設(shè)/(X)在(YO,o)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意X、X2 ,當(dāng)XI /U2)則()對(duì)任意 XifXX) 0.(B)對(duì)任意 XifxX) 0.函數(shù)f(-x)單調(diào)增加(D)函數(shù)-/(-X)單調(diào)減少設(shè)/(x),g(x)在區(qū)間,方上連續(xù)，且f(x) g(x) 時(shí)，向量組必線性相關(guān)當(dāng)s時(shí)，向量組必線性相關(guān)XV 0,OSxvl,則 P(X=I)=()X 1.(A) 0(B)(C)(A) 0(B)(C)丄一廣】(D) -233設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X

8、是區(qū)間(Oj)是的均勻分布，Y的概率分布為Py = 0 = Py = l=丄，記巧(Z)為隨機(jī)變量Z = XY的分布函數(shù)，則函數(shù)巧(Z)的 2間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為() TOC o 1-5 h z (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)設(shè)函數(shù)/(,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z = (Q,y),則g-=微分方程+ 2y = 0滿足條件,(1) = 1的解是y =)曲線COS(QJ+ ln(x-y) = l在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為.設(shè)A為3階矩陣，1,2,3為線性無(wú)關(guān)的3維列向量，Aai = O,Aa2 =al+ Ia2 ,

9、A3 =2 + 2勺，則A的非零特征值為設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則PXEX2 =三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分(15)(本題滿分10分)求極限Iim(16)(本題滿分10分)已知曲線c2-2r=O求曲線C距離XOy面最遠(yuǎn)的點(diǎn) 和最近的點(diǎn).(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)y(x)在閉區(qū)間-1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(-1)=0,/(1) = 1,/(0)=0,證明：在開區(qū)間(-1,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)呂使廠r(g) = 3.(本題滿分11分)將函數(shù)/(x) = 2+,-11展開成以2為周期的傅里

10、葉級(jí)數(shù),19）（本題滿分11分）求半球面 = 362-x2-r及旋轉(zhuǎn)拋物面2tz = x2+/所圍兒何體的表面積.（20）（本題滿分（20）（本題滿分10分）設(shè)矩陣A= -112 -34 -3的特征方程有一個(gè)二重根，求Q的值,a 5并討論A是否可相似對(duì)角化.（21）（本題滿分10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（XV）的密度函數(shù)為-lxl,0y2/（,y） = 40,其他求二次曲面/ = x12 + 2x； + Yx;+ 2xix2 + 2Xxix3 = 1為橢球面的概率.（22）（本題滿分11分）一個(gè)電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以X和丫分別表示兩個(gè)部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)為：xO,

11、yO)0,其他0,（1）問X和Y是否獨(dú)立;（2）求兩個(gè)部件的壽命都超過100小時(shí)的概率.（23）（本題滿分11分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N其中參數(shù)“已知，Cr未知，XpX2,.,X2n是來(lái)自總體X的容量為加的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問1 =1 =2-川是b的無(wú)偏估計(jì)量嗎?模擬三選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題H要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.設(shè)函數(shù)y = /(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且30,廠(X)VO, Ax為自變量X在心處的增量，8與心分別為/(x)在點(diǎn)X。處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若vO,則()OvthvzXy.(B) OV/)y Cly 0

12、.(D) dy y ,rsinWr 等于()2 遲j-pr廣 g)心(B)呵(f(y)dy(C) F心Jk門血)皿(D)心J(k/(俎刃心設(shè)有三元方程-z2-xIny + =1,根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0, 1, 1)的一個(gè) 鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程()(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)Z = ZeEy)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x = x(yz)和Z = Z(Ky)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y = y(x,z)和Z = ZCEy)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)X = X(V)和y = y(x,z)設(shè)函數(shù)/(x)在(,p)內(nèi)單調(diào)有界，“為數(shù)列，下列命題正確的是()(A)若

13、匕”收斂，則)收斂.(B)若匕”單調(diào)，則)收斂.(C)若)收斂，貝9兀收斂.(D)若)單調(diào)，則闖收斂設(shè)ara2ya3是3維向量空間R-的一組基,則由基a,2a1,3a3到基al+a2,a2+aa3 + ai的過渡矩陣為()(A)O2(A)O231O13；1 O(B) O -21 O1O13 0 ,若極限 z(x) 0 ,若極限 Iim.*存在,證明:X-Cl在(M)內(nèi)W0;在上)內(nèi)存在.使Ir-Cr _ 2f(0 /G)在(b)內(nèi)存在與(2)中纟相異的點(diǎn)，使(本題滿分10)設(shè)S為橢球面斗 + 斗+z1的上半部分，點(diǎn)P(x,y,z)eS,龍為S在點(diǎn)P處的切平面，Q(X,y,z)為原點(diǎn)到龍的距離，

14、求j-(本題滿分11分)設(shè)幕級(jí)數(shù)在負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)幕級(jí)數(shù)為Xalx,i ,且和函數(shù) * - 2xy - 4y = O, y(0) = 0, y,(0) = 1證明：a”+?=出L, ” = 1,2.3,/? +1求y(x)的表達(dá)式(本題滿分11分)設(shè)A = ()3x3是實(shí)矩陣，滿足：(呦)=(ij)(i, J = 1,2,3),其中Ajj為元素aij的代數(shù)余子式;他3 = 一 1 ；IAI = I求非齊次線性方程組AX= O的解(本題滿分10)設(shè)有元實(shí)二次型，/(-1,x2,.,xh) = (x1 +1x2)2 +(x2 +v3)2 + + (x,i +-1)2 +(兀

15、+Vi)2，其中q(j = l,2,.,n)為實(shí)數(shù)。試問：當(dāng)4,“2，”滿足何種條件時(shí)，二次型f2X,)為正定二次型(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G = (x,l3,ly3的均勻分布。試求隨機(jī)變量U =X-Y的概率密度PW6x(本題滿分10分)設(shè)總體X的概率密度為：/；&)=歹W一心&,其0,其他中&是未知參數(shù)，X1,X2,.,Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求&的矩佔(zhàn)計(jì)量&：求Z).模擬四一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題Ll要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.函數(shù)/(A-) = - -Han-在區(qū)間-不

16、刃上的第一類間斷點(diǎn)是X=()x(ex 一 )O(B) 1(C) -(D)-2 2設(shè)函數(shù)/(x),g(x)任意階可導(dǎo)，且滿足ftfM + f(x)g(x) + f(x)x = ex-IJ(O) = 1/(0) = 0,1IIIJ ()/(0) = 1為/(x)的極小值/(0) = 1為/(Q的極大值?點(diǎn)(OJ) y = f(x)的拐點(diǎn)由g(x)才能/(x)的極值或拐點(diǎn)已知(X(P y已知(X(P yQ)是/U y)在約束條件(x, y) = 0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是()若r(,yo)=o,則/；(Xoo) = 0.若 /；(心,兒)= 0,則 Q,兒)HO.若x,(,yo)r 則 fy

17、(0, y0) = o.(D)若fXx9yo)O, )0.(4)Iimff 2 / + 7等于() 臺(tái)臺(tái)屛IJ(x表示不超過X的最大整數(shù))(A) x2x+ydy.(B).(C) 7x122+3yJy.(D) A62x + 3yJy若ava2,a3yv2都是四維列向量,且四階行列式IeSc3胡| =加久02心| = /7 則四階行列式 IaV 6r2,z1,(71+)=()(A) m+n(B) -(/?/ + /?)(A) m+n(B) -(/?/ + /?)(C) H-m(D) m一n對(duì)于舁元方程組，下列命題正確的是 ()如果AX = O只有零解，則Ax = b有唯一解如果AX = O有非零解

18、，則Ar = b有無(wú)窮解如果Ax = b有兩個(gè)不同解，則加=0有無(wú)窮多解Ar = b有唯一解的充要條件是r(A) = n設(shè)隨機(jī)變量X和F相互獨(dú)立，且XN(0,l), YB(n,p),Op 1。則X+ Y的分布函數(shù)()(A)是連續(xù)函數(shù)恰有n + 1(A)是連續(xù)函數(shù)恰有1恰有1個(gè)間斷點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)設(shè)X/V(OJ) , Y = 2X2 + X+39 則X 與 Y ()(A)(A)獨(dú)立且互不相關(guān)(B)互不相關(guān)但不獨(dú)立相關(guān)(D)無(wú)法判斷二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在窖題紙指定位置上.極限Iiln tan tan 2 =x2 Sin In(X-I)(IO)微分方程y= v(

19、I的通解為X(Il)已知兩直線的方程是厶心寧=手，3宇=寧=寧，則過厶且平行于 的平面方程為曲面 2 = COSXCOSy , z = 0, x + y = f IX -y = -所圍立體的體積為2 2.二次型 /(XPX2,x3) = (1x1 + a2x2 + a3x3)2 的矩陣是甲、乙二人輪流投籃，游戲規(guī)則為甲先開始，且甲每輪只投一次，而乙每輪連續(xù)投兩次，先投中者為勝。設(shè)甲、乙每次投籃的命中率分別是與0.5 ,則 =時(shí)，甲乙勝負(fù)概率相同三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明、證明過程或演算步驟.(本題滿分10分)設(shè)OVXlV1, x”+I

20、=JXn (2 - Xn),證明Iinyj存在，并求其值(本題滿分10分)設(shè)/(W)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足X + C = Hl 創(chuàng)-sy）=f Q，（-），），sy）=f Q，（-），），求兔x1（17）（本題滿分10分）設(shè)門x）在a.b連續(xù)，在（Ge）內(nèi)可導(dǎo)（Oao,恒有f（） 1,問常 數(shù)最小應(yīng)取什么值？（19）（本題滿分10分）將/（x） = 2xarctanX-ln（x（3）求矩陣A +1） + 1展成（3）求矩陣A（20）（本題滿分 10分）設(shè) A = （）,nx f = （ypy2*兒）7，=（勺*2,如，X = （Xl,x2,.,x）7 ,證明：方程組Ay = h有解的充分必

21、要條件是方程組7. A = 無(wú)解b 丿 V ;（其中O是HX1矩陣）（21）（本題滿分12分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為0,1,1 , q =a0=-1W 是A的兩個(gè)不同的特征向量，且A（1 +a2） = a2(本題滿分11分)假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無(wú)故障工作時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故 障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下 工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y)(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為X1,X2,-,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，乂是樣本均值求參數(shù)&的矩估計(jì)量丄判斷4無(wú)2是否為少的無(wú)偏估計(jì)量，并說(shuō)明理

22、由.模擬五一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題Ll要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.當(dāng)XTo是地，下列無(wú)窮小中階數(shù)最高的是()l + x2-l-x2(B) 3x3 -44 52、 l-COSX Sin(C) ex -COSX(D) dt函數(shù)y = x2 -X2 sin2xx2(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3設(shè)曲為/3的一個(gè)原函數(shù)，且心0,貝町土巴厶等于()XJ a(A)Sinal 廠(B)SinaXT+c(C)SInaX C(A)Sinal 廠(B)SinaXT+c(C)SInaX COX(D)Sin ax設(shè)f(xiy)

23、是閉區(qū)域X2 + /2上的連續(xù)函數(shù)，則極限Iim-(x,yMy為()(A) O(B)(C)/(0,0)(D)1設(shè)A為階方陣，B是A經(jīng)過若干次初等變換后所得到的矩陣，則有()(A) IAI=IBI(B) IAIIBI(C)若 A=0,則一定有IBI = O(D)若 A0,則一定有 B0設(shè)人3為階方陣，且r(A) = r(B),則()(A) r(A-B) = O(A) r(A-B) = O(C) r(AB) = 2r(A)(D) r(AB)r(A) + r(B)(7)下列函數(shù)能作為分布函數(shù)的是(0,(A) F(X) =丄,XV-I-lx21, X 2)r 0,X 0(B) F(X) =ln(l +

24、 x)x0I 1 + x0, x -1r 4- 9F(X)=-.-1 x 2 1 0,XVo(D) F(X) =Sin X,0 x1,x（8）設(shè)隨機(jī)變量XBgPx對(duì)任意Ov2n J ()(A)-PllX -n/?| 2n J ()(A)-(B)-24(C)(D)1?6二、填空題：914二、填空題：914小題，每小題4分,共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上(9)已知IimO(9)已知IimO昨)3v-l則 IimZW =-t JT(IO)曲線y = x2(1-)在點(diǎn)(1,0)處的曲率k =（11）山方程Ayz + y2 + y2 +z2 =近所確定的函數(shù)Z = ZcEy）在點(diǎn)（1,0,-1）

25、處的全微分Jz =（12）若級(jí)數(shù)（4+2）2收斂，則膽 =H-I 1 12、0,若A-I證明:IimMn存在n（16）（本題滿分10分）求f（x,y） = xy在圓周: （X-I）2 + y2-1 = O上的最大值和最小值（17）（本題滿分10分）過點(diǎn)且滿足關(guān)系式（arcsin）y+-= = 1的曲線方程12l-x（18）（本題滿分10分）求幕級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)(19)（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)/（x）連續(xù)且恒大于零，F(xiàn)（）=；U(19)（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)/（x）連續(xù)且恒大于零，F(xiàn)（）=；+ y1d0（/）（x2+y2）tGa）=-；,J （x2）dx其中C= (,y,z2 +y2 +z

26、2 r b D(O = (y)IX2+ y2 t2.（1）討論F在區(qū)間（0,+oo）內(nèi)的單調(diào)性;7（2）證明當(dāng)F0時(shí)，F(xiàn) 二G. （20）（本題滿分10分）假設(shè)A = =（20）（本題滿分10分）假設(shè)A = =111一11 如果是方程組AT = -1的一個(gè)解，試求Ax = b的通解.（21）（本題滿分10（21）（本題滿分10分）設(shè)矩陣A =322P10232,P =101223.001,B=Pm 求B + 2E的特征值與特征向量，其中t為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.r 1 2、0.3 0.7；（23）（本題滿分12分）設(shè)總體X的概率密度為r 1 2、 = min(XpX2,.,XJ,（1

27、）求總體X的分布函數(shù)F（X）求統(tǒng)計(jì)量0的分布函數(shù)FF）；（3）如果用&作為&的佔(zhàn)訃量,討論它是否具有無(wú)偏性.（22）（本題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為X Y的概率分布為/（y）,試求隨機(jī)變量U = X + Y的概率密度S（II）數(shù)一?？?答案一、選擇題(1) B (2)C (3) D (4) B(5) D (6) B (7) B(8) A(1) B (2)C (3) D (4) B(5) D (6) B (7) B(8) A二、填空題37(IO) 9()匚(-(13)3(14) -1三、解答題:15-23小題，共94分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說(shuō)三、解答

28、題:明、證明過程或演算步驟(15)求極限 linI & + JX十下-VXj【解】：Iim-00【解】：Iim-00(求微分方程爲(wèi)爲(wèi)的解【解】：令y=【解】：令y=則廠=P叟得到KWIX = O = Zr(O) = LV(O)P = I令P2=uKWIX = O = Zr(O) = LV(O)P = I解得所以 I = H=y(0)-l + c八=2-1 + “巴 C = o.Ix = O于是 =y -1, P = Jy_l= dXi 2y-l =x + c1,-l =f+ yy(0) = 2,得到牛=1,得解 71=1厶厶(17)設(shè)函數(shù)/(X)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間1)內(nèi)大于零，并滿

29、足Xf(X) = f(x) + -x2(a為常數(shù))，又曲線y = f(x)與zl,y = 0所圍的圖形S的面積值為2, 求函數(shù)y = /(X),并問a為何值時(shí)，圖形S弦軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.【解】由題設(shè)知，當(dāng)0W,d /(x)d /(x)ClX X3aT根據(jù)此并由/(X)在點(diǎn)X=O處的連續(xù)性，得C=4-a3f(x) = C=4-a3f(x) = ax2 +(4- ax.因此旋轉(zhuǎn)體的體積為得又因故。=-5時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最小.(18)就k的不同取值情況，確定方程蘭SinX = R在開區(qū)間(Ot)內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明2 2你的結(jié)論.【解】設(shè)/(x) = x-SinX,則/3在0,弓1上連續(xù)

30、.由廣(X) = I-彳CoSZ 0,得/(x)在(0,內(nèi)的唯一的駐點(diǎn)x()=CirCCQS-2r由于當(dāng) X (0, %)時(shí),fx) 0.所以/(X)在0, 上單調(diào)減少，在-o, f上單調(diào)增加, 因此是/在(Of )內(nèi)的唯一的最小值點(diǎn)， 最小值為,y = /() = -jsin .又因, 故在（0冷）內(nèi)/（X）的取值范圍為y,0）.故當(dāng)k電（心0）,職 yo0,原方程在（0,）內(nèi)沒有根;當(dāng)k = y0時(shí)，原方程在（。,彳）內(nèi)有唯一根入；當(dāng)2（兒,0）時(shí)，原方程在（0,勺）秋兒,彳）內(nèi)各恰有一根， 即原方程在（0,彳）內(nèi)恰有兩個(gè)不同的根。/ I -l（19）求基級(jí)數(shù)YV-X2w的收斂域及和函數(shù).

31、t 2n-l解：因?yàn)?IinI M = Iimn If解：因?yàn)?IinI M = Iimn If x2n+2 (2/7-1)所以當(dāng)FVl即-Ivxvl時(shí)，原幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)x=時(shí)，級(jí)數(shù)為匸12二，由萊布尼茲判別法顯然收斂，故原幕級(jí)數(shù)的收斂 2 一 1域?yàn)?1,1又令則 2/7-1X / I Fl-I；r-l M-I域?yàn)?1,1又令則 2/7-1X / I Fl-I；r-l M-I(ZIrI2/7-1,(x) = (-iy,-1 X2(H-I) =-l11 + X2由于/(0) = 0,所以 /(x) = J,(r)6zz + (0) = arctanx從而幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)镮-IJI，和函數(shù)為

32、XarCtam曰-1,10ab(20)已知向量組A =1,02 =203 =1向量組與向量組e =2-110-33Ct3Ct2= 01且?guī)卓捎蒕i,冬,a且?guī)卓捎蒕i,冬,ay線性表示求a，b的值-7【解】方法一：因?yàn)楹?線性無(wú)關(guān)，a3 =3, 22,所以向量組QlSS線性相關(guān)，且秩為2,ai,a2為它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.由于向量組與具有相同的秩，故久幾S線性相關(guān).從而行列式由此解得U = 3b.又03可由W, c?2，E線性表示，從而可由0, $線性表示，于是隊(duì)線性相關(guān).因此有 化簡(jiǎn)得2b-10 = 0,于是 G = 15./? = 5.方法二: 因幾可由r2,3線性表示，故線性方程組有解

33、,對(duì)增廣矩陣施行初等行變換：由非齊次線性方程有解的條件知解得h = 5又因?yàn)?】,冬線性無(wú)關(guān)，a3 = 3 + 2a2所以向量組ess的秩為2,而題設(shè)QiSS與01，02”3同秩，從而有由此解得 = 15.(21)設(shè)二次型 /(x1,X2,x3) = x11 -a由二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是1,可知心) = 2, IAI= 1 U -1 =-( + 2)(-I)2 =O -a -11所以a = -2t或G = I又(/ = 1時(shí)，顯然心)= 1,故只取a = -2 此時(shí) 2E-A = (+3)(2 - 3)1 -a由二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是1,可知心) = 2, IAI= 1 U -1 =-(

34、+ 2)(-I)2 =O-a -11所以a = -2t或G = I又(/ = 1時(shí)，顯然心)= 1,故只取a = -2 此時(shí) 2E-A = (+3)(2 - 3)算的值并用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。 TOC o 1-5 h z 11-Cly【解】：二次型的矩陣為A= 1a-1-11 所以A的特征值是3,-3,0 當(dāng)人=3時(shí)，解方程&(3E-A)X=Ot得基礎(chǔ)解系為少=(l,O,l)7當(dāng)=-3時(shí)，解方程組(-3E-A)X=Ot得基礎(chǔ)解系為2= (1,-2,-l)r當(dāng)人=O時(shí)，解方程組(OE-A)X=O,得基礎(chǔ)解系為3=(U,-l)r將勺，勺單位化得 =(丄 O 丄F =(F =(J!)7，從(

35、近M尼心(屈6, QP c3,3,片因此所求的正交變換為所求的標(biāo)準(zhǔn)型為3)f-3y；4xv O x 1 O V 1 (22)已知隨機(jī)變量XV的聯(lián)合概率密度為0(3)=CH二 一，求XV的聯(lián)0,具匕合分布函數(shù)F(x,y)【解】：由分布函數(shù)的定義可知F(x,y) = PXxyYyt由于X只在區(qū)域osx,oy 上取值。因此，當(dāng)XnI,yH時(shí)，F(xiàn)(X,y) = PXx,yy = l,當(dāng) XV 0或y V 0 時(shí)，F(xiàn)(X, y) = PX 5 X, F y = 0。當(dāng)OsXVI,0SyVl 時(shí)， 當(dāng) 0 xl,y21 時(shí),當(dāng)Xnl.0y Vl 時(shí),OjvO或y 0則F（X） = J（）= 2y2 ,-h

36、yi X2則F（X） = y hOy O是未知參數(shù).從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本XpX2,Xn,記 = min(XpX2,.,Xzr),求總體X的分布函數(shù)FM,求統(tǒng)計(jì)量&的分布函數(shù)P M ；如果用&作為&的估計(jì)量，討論它是否具有無(wú)偏性.【解】IF(X) =匸/d/,當(dāng)x, F(x) = 0;當(dāng) X &時(shí),F(A) = J； 2嚴(yán)dt = -e2i-i. = min(X1,X2.,Xn),所以t 亠t. f,x&的概率密度為fM = F(x) = 如“ Q，所以IlIe, X ex令令L(Xy ” Zy 兒 )=z2 + (x2 + y2-2z2) + (x + y + 3z - 5)令令L(Xy

37、 ” Zy 兒 )=z2 + (x2 + y2-2z2) + (x + y + 3z - 5)E =匚xfx)dx =廠x2ne1,t(X-dX = +丄，可見E t即0不是&的無(wú)偏估計(jì).數(shù)一?？级鸢敢弧⑦x擇題：18小題，每小題4分，共32分(1) D (2) C (3) C (4) B (5) A (6) D (7) D (8) B二、填空題：914小題，每小題4分，共24分(9) = f + yfn (Io) = 4-(11y = -xyf(12) -(13) 2(14) 1 一尸15三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明、證明過程或演算步

38、驟.“ 、 X I 八、一FEsinx-Sin(Sinx)SinX(本題滿分10分)求極限Iirn ；D Jr(I-CoSX)sin % _ sin (SinX) Sin XCSinX _ Sin(Sin .v)解:Ilm = IIm 2D (l-cosx)0XX2 + y2 2z2 = 0(本題滿分io分)已知曲線c： ,求曲線C距離Xoy面最遠(yuǎn)的點(diǎn)x+ y + 3z = 5和最近的點(diǎn).解：點(diǎn)(,y,z)到XOy面的距離為z,故求C上距離XQy面的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，等 價(jià)于求函數(shù)H = Z2在條件x2 + -2z2=0與X + y + 3z = 5下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).所以 2z-4z

39、 + 3 = 0所以 2z-4z + 3 = 0由得x = y,代入(4) (5)有宀才=02x + 3z = 5LrX = 2x + / = OL,v = 2y + / = 0X2 + y2 -2z2 =0X+ y + 3z = 5x = l=1x = l=1Z = I解得丿, = -5 或解得丿Z = 5(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)y(x)在閉區(qū)間-口上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(-1) = 0,/(1) = 1,/(0) = 0,證明：在開區(qū)間(-1,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)fW) = 3-解：方法一：在x = 0處，將/(X)按泰勒公式展開，得其中介于0與X之間，-ve-U分別令x = -l和兀=1

40、,并結(jié)合已知條件，得兩式相減，得由廠(X)的連續(xù)性，知r在閉區(qū)間在仏上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為M、m.則有再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知至少存在一點(diǎn)77172(-1J)方法二：令x = x2(x +1) + (1 + X)(I-X)/(0),則則 F(O) = F(I) = F(-1) = O, 由羅爾定理,知3 (70)屋 (U)知尸G) = Fr) = 0.又 F(O) = 0,由羅爾定理，知再由羅爾定理而礦(X) = 3,所以() = 3(本題滿分11分)將函數(shù)/(x) = 2 + ixl展開成以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù), 1并計(jì)算工丄解:由于/(x)是偶函數(shù)，所以Wr=OM = 1,2,5

41、4 x 1所以E=廠尹占莎帀cos(2k + l)rx令54 x 1所以E=廠尹占莎帀cos(2k + l)rx令X = O,則可求出Xr=O1(2k + l)27 TrT所以=t-0 n J D1(2k + l)2TrT(本題滿分11分)求半球面？ = 3727及旋轉(zhuǎn)拋物面26/z = X2 + y2所圍幾何 體的表面積。解：先求兩曲面的交線: 由 2 = y3a2 -X2 -y2 y2az = x2 + y2 解得 z = a,x2 + y2 =a2 o -13-13-13-13因此，我們可以將該曲面分為兩部分：1 :(;)IZ = 36-x2-r,X2 + y2 和 2: (x, ”Z)

42、 12血= x2 + y2,x2 + y2 2。它們的面積分別為則總面積為5則總面積為51+S2 =1642-2632 -3(本題滿分10(本題滿分10分)設(shè)矩陣A= -14 -3的特征方程有一個(gè)二重根，求d的值，并討論A是否可相似對(duì)角化.解：A并討論A是否可相似對(duì)角化.解：A的特征多項(xiàng)式為1 -1= (-2) 12-403=(2-2)(2 -82 + 18 + 3).2-52-5當(dāng)2 = 2是特征方程的二重根，貝!有22-16 + 18 + 3 = O,解得a = _2.1當(dāng)a = -2時(shí)，1當(dāng)a = -2時(shí)，A的特征值為2, 2, 6,矩陣IE-A= 1-1-2 3-23的秩為1,故2 =

43、 2對(duì)應(yīng)2 一3的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而4可相似對(duì)角化.若 = 2不是特征方程的二重根，則A2 82 + 18 + 36/為完全平方，從而18 + 3d = 16,解得2a =332當(dāng)。=一二時(shí)，A32當(dāng)。=一二時(shí)，A的特征值為2, 4, 4,矩陣4E-A= 1-20233-1秩為2,故2 = 4對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而A不可相似對(duì)角化（21）（本題滿分10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（Xf ）的密度函數(shù)為-,-lxl,O設(shè)A的特征值為l,2t則存在正交矩陣0,使得QIAQ= A2 ,即二次型 = A+A,2+A,3所以要使二次曲面 = K+yj7 = i為橢球面，必須均大于零或都

44、小于零，又A的順序主子式為I = I0, ； ；=10,所以A只能是正定陣11 X所以IAl= 120 =y-2X20XOr故二次曲面/ = 0為橢球面的概率為（22）（本題滿分11分）一個(gè)電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個(gè)部件的 壽命（單位：千小時(shí)），已知X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)為：（-eG5X -e-5y + 嚴(yán)E（若X0,0）r（x,y） = s0（其他）（1）問X和丫是否獨(dú)立;求兩個(gè)部件的壽命都超過IOO小時(shí)的概率.5 Z、1_嚴(yán)心0解：(1) FX(X) = F(; +)= 1 = I-Fv(IOO) = -5,PK 100 = -v(i) = 5由于 X 與 Y獨(dú)立,可知 p

45、x loo, oo = px oo py 100=嚴(yán)。(7未(本題滿分11分)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N 72、其中參數(shù)“已知, 知，xpx2,.,X2,是來(lái)自總體X(7未-“|是b的無(wú)偏估計(jì)量嗎?-“|是b的無(wú)偏估計(jì)量嗎? =In解：令Y = Xi解：令Y = Xi 則r-(0.2),其概率密度為/(y) =o y +0Irl = IX-Al的數(shù)學(xué)期望為于是盹)=畤毎郭訶T股(郭T)=龍嚴(yán)= 所以b是CT的無(wú)偏估計(jì)量數(shù)一?？既鸢敢?、選擇題：B (2) C (3) B (4) B (5) A (6) C (7) D (8) A二、填空題 1 -尹(10) 0(Il) y = (x-2)ex +x

46、 + 2(12)-3/2l(13) J3(出三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明、證明過程或演算步驟.+l-l + x2(本題滿分9分)求極限Iim 7r-* I cos XISinX2解：0時(shí)，hl +才討ex 解：0時(shí)，hl +才討ex 1 + /+ 1 - 1 + 2所以 Iim jOCoSX-ISin X2=Iim01 ,一.8/ 3 7(-尹曠112(本題滿分10分)在拋物線込(0 x8)上求一點(diǎn),使得該點(diǎn)的切線與直線=O與X = 8所圍成的三角形面積最大。解：過拋物線上一點(diǎn)(,/)的切線斜率為U2).=2,于是切線方程為y-/=2,

47、心_“)。將y = O代入直線方程得直線與y = O交點(diǎn)的橫坐標(biāo)牛 類似得到直線與 厶x = 8交點(diǎn)的縱坐標(biāo)16-d? O 于是三角形面積S=丄(8-3)(16-/) = 64d-8 + 224先找極值點(diǎn)。S = 0解得G = f ,代入得S(T)J51.7再找端點(diǎn)。S(O) = O,S(8) = 128 o于是使得三角形面積最大的點(diǎn)為(,普)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)/()在閉區(qū)間心上連續(xù)，在開區(qū)間(M)內(nèi)可導(dǎo)，且 ,M0,若極限Iim心一)存在,證明：t X-Cl在(d,b)內(nèi) f(x) 0 J在(Gb)內(nèi)存在S使b2-a2 _ 2打Wx /點(diǎn))在Sb)內(nèi)存在與(2)中纟相異的點(diǎn)，使證明：(

48、1)因?yàn)锽m zl2l-1存在，故lim(2x-) = 0,由/在肚對(duì)上連續(xù)，從而I X 一 CIYTo知/在仏b)內(nèi)單調(diào)增加,故W() = 0 xw(a,b)(2)設(shè) F(X) = X2 9 g(x)=(/W(GH)則ZM=/()0,故F(X), g(x)滿足柯西中值定理的條件，于是在(心)內(nèi)存在點(diǎn)纟，使b2-a2 _ 2If(X)CiX /G)(3)因G) = G)-o = G)-3),在仏創(chuàng)上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在仏幻內(nèi)存在一點(diǎn)，使/(纟)=廣(祕(mì)加心 從而由(2)的結(jié)論得決-/ _ 2gI f()- i ,(,X- a)即有 廣(77加-a2)=-if(x)dx。(本題滿分10)

49、設(shè)S為橢球面斗+ 7+zl的上半部分，點(diǎn)P(x,ya)eSf兀為S在點(diǎn)P處的切平面,Q(X,”Z)為原點(diǎn)到龍的距離，求ff-r/5S Q(X9”z)解：先求出Qgy設(shè)(XyZ)為龍上任一點(diǎn)，則龍的方程為即 zZ-l = 0由S的方程Z =由S的方程Z =于是這樣”7心抑4)區(qū)域 D .x1 +y2 (yJ2所以原式= &) (4-r2)rr = -(本題滿分11分)設(shè)幕級(jí)數(shù)在負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮內(nèi)收斂，其和函數(shù))0)幕級(jí)數(shù)為工,且和函數(shù) yH- 2xy -4y = O, y(0) = 0, (0) = 1證明：, n = l,2.37? + 1求y(x)的表達(dá)式解：(1)由 y(x) = IanXn

50、,得 y,(x) = YJnanXn, -0-l代入yff-2xy,-4y = 09 得比較X的系數(shù)可得(n + 2)(n + l)w+2 -2nan -4an =O 化簡(jiǎn)即得 嚴(yán)二M = I,2,3.H + 1又由 y(0)=0, y(o)= I,可得到 5 = o1 = 1所以料是奇所以是偶5 XI2nI 62因此 y() = x-.-.=(l-.-.) = x,(本題滿分11分)設(shè)A = y)3x3是實(shí)矩陣，滿足：(1) () = (Ay)(Z,y = 1,2,3),其中Aij為元素列的代數(shù)余子式;(2)如=一1;IAI = IO求非齊次線性方程組Ax= 0的解J解：因?yàn)?訃(每)(ij

51、 = l,2,3),所以有Ar=A4,又 Iql =314j1 +a3232 +34j3 =Clil +a32 +a33即 1 = + al2 +1,于是 “31 =色2 = 0根據(jù)A可逆知Ar= 0有唯一解，且1丿(本題滿分10)設(shè)有”元實(shí)二次型，/(-1,x2,.,XM) = (XI +61x2)2 +(-2 +a2x5)2 +. + (V, +.1)2 +( +Vi/，其中/ = 1,2”)為實(shí)數(shù)。試問：當(dāng)5吆耳滿足何種條件時(shí)，二次型/(1,x2,.,xw)為正定二次型。解：由二次型的形式,我們可以作代換寫成矩陣形式為此時(shí)原二次型 f(xl ,X2,., Xn)變形為/(XpX2 Xn)

52、 = y2 + + + 因此上式為正定陣，要求原二次型正定的充要條件為替換陣是可逆的即即aia2.,an (-1/時(shí)，原二次型為正定二次型.(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X和F的聯(lián)合分布是正方形G = (x, y) X 3,ly3的均勻分布。試求隨機(jī)變量U =X-Y的概率密度P(U) 解：X和Y的聯(lián)合概率密度為/(,y) = 4,x,30,其它設(shè) U 的分布函數(shù)為 F(U),則 F(U) = PUu = PX-Y u由于0X-F2,可知當(dāng)UVo時(shí)，F(xiàn)(U) = 0J 當(dāng)u2時(shí)，F(xiàn)(U) = 1當(dāng)02時(shí)，F(xiàn)(II) = PUu = PX -Yu= -VJy = I-(2-)2l-!isl-!is0

53、w220,其它可知F(M) = 1-(2-h)2,0w O 知X”單調(diào)遞增 故兀收斂即塑X”存在 設(shè)IimXn =I ,?！?卜(2-心)兩邊取極限得/ = J(2-/),解之得/=O或/ = 1,又兀單 調(diào)遞增，故心0不合題意，舍去，因此Iimy=Ix(本題滿分10分)設(shè)/(“)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足孕+孕=1,r vgH扇求器+守解：U = Xyt V = (X2 -y2)=A,聖=衛(wèi)一止x u 內(nèi) y u v故: = 2xvx,故:x ruv v所以:=(-)(-2r)=-r(本題滿分10分)設(shè)幾工)在(M上連續(xù)，在(M)內(nèi)可導(dǎo)(OaO,恒有/(x)l ,問常數(shù)最小應(yīng)取什么值？解：由

54、 f (x) = PeX +x2 -x 1,(X 0) J 得 PeX -x2 +x+1令 /1(X)= pex ,f2(x) = -x2 +x+15I-丄 55 丄由厶喚(羽=乙$)=，知 /1(-)= / 2-,得”所以1() = Pe-X在(0,+S)上是是單調(diào)遞減的設(shè) /1 (),2()相切于點(diǎn)(X0, P 嚴(yán)) = (,- +X0+l)又 ZVV) = -pex J； (x) = -IX +1所以 /Qo) = ,()，即-Pef = 2 +1,聯(lián)立pex =-x +1 ,可得Xo = 1,或 = -2 (舍去)Xo = I時(shí)，可得卩=0所以的最小值為幺(19)(本題滿分10分)將f

55、(x) = 2xarctanX- In(X2 + 1) + 1展成x的幕極數(shù)2 YO 解: (19)(本題滿分10分)將f(x) = 2xarctanX- In(X2 + 1) + 1展成x的幕極數(shù)2 YO 解: f M = 2 arctan x + 一 = 2 arctan X x +1 x +1 = - = 2f(-ir x(-l,l)X +1-()XX 1 ,() = (x)-(0) =(t)dt = 2(-1), = 2工二Vn00 1X2+, , (-1J)Xz 1 -=-(0)rw=2I2(一1)”X(-1J)嚴(yán)2J7-O (2 +1)(2 + 2)故有十唁麗/7 +唱Q0 , y

56、)(-Dz,當(dāng)Z時(shí)級(jí)數(shù)首絕對(duì)收斂X知/3 = 1 + 2 Fl-I(-1)2/(2/7-1)-U無(wú)解(20)(本題滿分 10分)設(shè) = (au),nxn , y = ()、幾Y b = (bj、也Y , X = (Xl,X2,.,Xn)7 ,證明：方程組Ay = b有解的充分必要條件是方程組/J =無(wú)解(其中0是“X1矩陣)【證明】：必要性：設(shè)方程組旳，有解，則對(duì)滿足AL=O的向量心，bx0 =(An(rQ= /0 = 0,從而有X= ,可見方程組 X= I無(wú)解I。丿WU充分性：設(shè)方程組：；卜I無(wú)解，則線性方程組的增廣矩陣的秩另一方面,(ATr T0另一方面,(ATr T0所以有廠h-rr(7

57、 ) + l = r(A ) + l = r(A) + l,+ lr(A) + l o又由于廠 ( A) o可知r(A) = r(A),從而方程組Ay = b有解(21)(本題滿分12分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為0,1,1, 1 =aS =-1W 是A的兩個(gè)不同的特征向量，且A(al+a2) = a2求參數(shù)的值;求方程AX = a2的通解;求矩陣A 解：(1)若s均為入=0的特征向量，則有A(al+a2) = Aal+Aa2 =0a2,矛盾 若GS均為z=l 的特征向量，則有 A(Xl+a2) = Aal +Aa2 = al +a2 a2,矛盾可見色S是屬于實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值

58、的特征向量，且勺是屬于特征值人=0的特征向量，勺是屬于特征值=A = 的特征向量，根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，ES必正交，故有r172 = a = 9 得a = O 、因?yàn)锳可以對(duì)角化，且1,可見r(A) = 2于是齊次線性方程組Ar = O的 基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3-r(A) = l,而A, =0,因此q可作為AX = O的基礎(chǔ)解解：由題意可知X-E ,其分布函數(shù)15解：由題意可知X-E ,其分布函數(shù)FV(X) =O,XVoIY x0Y 的分布函數(shù) F(y) = PY y = PminX,2 y?？芍? 當(dāng)y2時(shí),F(y) = PminX,2y = l;3VO當(dāng) yv2時(shí)，F(xiàn)(y) = Pm

59、in X, 2 y = PX y = FX (刃=I。1Y 1,0y20, y0y因此，Y的分布函數(shù)F(y) = h-y,0y2ol,y2(23)(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為X/，之”為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，天是樣本均值.求參數(shù)&的矩估計(jì)量&.判斷4無(wú)是否為滬的無(wú)偏估計(jì)量，并說(shuō)明理由.解：(1) EX = xfx)dx= CX-!dx = - + -t 得X=? + 丄，參數(shù)&的JYJO 20j 2(l-0f可知E(4X2)2,所以4亍不是否為滬的無(wú)偏估計(jì).數(shù)一模考五答案一、選擇題(1) D (2) A (3) A (4) C (5) C (6) D (7) C (8) C二、填空題(9) IOln3(10) 2(11) (9) IOln3(10) 2(11) dx - y2dy(12) -2(13)-2(14) -l-(l-2pf2三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說(shuō) 明、證明過程或演算步驟.(本題滿分10分)設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在1,+S)單調(diào)減少，且/(X) 0,若厶，證明：！理”存在證明：伙)-乞/伙)-/(勸必+/(勸必1k )由/(x)在xl時(shí)連續(xù)且單調(diào)減小知f(n + l)f(),即+1 0時(shí)，F(xiàn)t)-G(t).解：(1)因?yàn)閄W(PClrXW(PClr 2