專升本《高等數(shù)學(xué)》精選練習(xí)強(qiáng)化試卷04

1、專升本高等數(shù)學(xué)精選練習(xí)強(qiáng)化試卷04一、選擇題1函數(shù)內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)a，b滿足（D）（A）； （B）；（C）； （D）。解：要使內(nèi)連續(xù)，必須保證的分母沒有零點(diǎn)，故要求，從而排除（A）和（C）。但當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，這時(shí)（B）使，所以排除（B），故應(yīng)選（D）。2設(shè)其中在處可導(dǎo)， ，則（B）（A）連續(xù)點(diǎn)； （B）第一類間斷點(diǎn)；（C）第二類間斷點(diǎn)；（D）連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定。解：，而， ，是的第一類間斷點(diǎn)。3其中是有界函數(shù)，則在處（D）（A）極限不存在；（B）極限存在但不連續(xù)；（C）連續(xù)但不可導(dǎo)；（D）可導(dǎo)。解：，（等價(jià)無窮小代換） （有界函數(shù)乘無窮?。?， 故 ，應(yīng)選（D）。4設(shè)，則（ ）（A）處處不

2、可導(dǎo)； （B）處處可導(dǎo)；（C）有且僅有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)； （D）有且僅有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。解：，。, ，在點(diǎn)不可導(dǎo)。故 有且僅有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。二、填空題1已知，在所定義的區(qū)間上連續(xù)，則a=；b=。解：只要考慮， ，故，。2已知，則 1 。解：。 故。3已知，則。 解：。4設(shè)，則。解：， 。三、證明題1證明方程至少有一個(gè)正實(shí)根。證明：設(shè)，則。 ， 由零點(diǎn)定理可知， ，使得， 故方程至少有一個(gè)正實(shí)根。2證明方程，其中，在和內(nèi)至少各有一個(gè)實(shí)根。證法1：令，則在和內(nèi)均連續(xù)。，必有，使得，由零點(diǎn)定理知，使得。 同理，必有，使得，由零點(diǎn)定理知，使得。 故方程在和內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根。證法2：令則與在和內(nèi)同解。是二次多項(xiàng)

3、式，上必連續(xù)，由零點(diǎn)定理知，使得；，使得。因此在和內(nèi)至少各有一個(gè)實(shí)根，又二次方程至多有兩個(gè)實(shí)根，故在和內(nèi)各有且僅有一個(gè)實(shí)根，從而，即在和內(nèi)各有且僅有一個(gè)實(shí)根。3按定義證明：（1）若偶函數(shù)可導(dǎo)，則它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)；（2）若奇函數(shù)可導(dǎo)，則它的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；（3）若周期函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)仍是周期函數(shù)，且周期不變。證明：（1）若是偶函數(shù)，則故為奇函數(shù)。（2）若是奇函數(shù)， ，則 故為偶函數(shù)。（3）若是周期函數(shù)，且周期為，則故是周期函數(shù)，且周期不變。四、解答題1設(shè)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。 解： 。2設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線交x軸于點(diǎn)，求。解：， ，切線方程為。 切線過點(diǎn)， ，解之得， 從而， 。3設(shè)函數(shù)（1）求的表達(dá)式；（2）討論的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解：，。又由初等函數(shù)的連續(xù)性知，。，。4設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，