現(xiàn)代控制理論在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、現(xiàn)代控制論在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用王翼自動(dòng)化學(xué)會(huì)前理事長(zhǎng)宋健教授在自動(dòng)化雜志的發(fā)刊詞中寫(xiě)了這樣一段話來(lái)描述控制理論應(yīng)用的廣泛性：“ 凡是能用定量方法描述的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，只要可能由人進(jìn)行控制的，都可以用控制論的方法進(jìn)行研究，并能得到人們預(yù)想不到的結(jié)果”（見(jiàn)教材第2 頁(yè)，第 17 行） 。這一段話深刻地描繪了現(xiàn)代控制理論的廣闊的應(yīng)用前景，控制論誕生以來(lái)的事實(shí)證明了它有強(qiáng)大的生命力，它的發(fā)展不僅對(duì)自動(dòng)化學(xué)科，對(duì)很多其他學(xué)科（包括經(jīng)濟(jì)和管理科學(xué)）的發(fā)展都作出了重要的貢獻(xiàn)，甚至對(duì)促進(jìn)人們的思維方式的變革也產(chǎn)生了重大的影響。反饋的思想、最優(yōu)化的思想在很多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用就是例證。 因此有人提出廣大的自然

2、科學(xué)和社會(huì)科學(xué)工作者，都必須具備一定的現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，這對(duì)拓展思路、提高工作水平是大有裨益的。經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為經(jīng)濟(jì)變量是隨時(shí)間變化的，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)的，對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的研究也應(yīng) 該是進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析包括穩(wěn)定性分析、能控性、能觀測(cè)性分析和動(dòng) 態(tài)最優(yōu)化?？刂普撜Q生以后很快就有人研究控制論在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用，并在第一屆IFAC 大會(huì)上正式稱這一領(lǐng)域?yàn)榻?jīng)濟(jì)控制論。對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析的研究一直與控制論的發(fā)展緊密相連。事實(shí)上，在維納（N.Wiener）的專著控制論問(wèn)世之前，反饋、調(diào)節(jié)、穩(wěn)定等概念已經(jīng)在一些經(jīng)濟(jì)學(xué)的文獻(xiàn)中出現(xiàn)，此后經(jīng)典控制論中的PID 調(diào)解器曾經(jīng)于20 世紀(jì) 50 年代中期被

3、用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。 說(shuō)明經(jīng)濟(jì)學(xué)與控制論的發(fā)展緊密相連的另一個(gè)突出的例子是LQG 問(wèn)題中的分離定理（見(jiàn)教材第10 章） ， 它 首先由經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出，稱為 確定性等價(jià)原理， 后來(lái)在控制論中得到證明。經(jīng)濟(jì)學(xué)家H.A.Simon 和 H.Theil 分別與1956、 1957 年獨(dú)立提出，1960 年由控制論專家證明 。 美國(guó)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家和控制論專家在20 世紀(jì) 70 年代通力合作研究控制論在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展做出了重大的貢獻(xiàn)。麥克康耐爾（McConnell ）和布魯伊（Brue）在經(jīng)濟(jì)學(xué)一書(shū)中定義：經(jīng)濟(jì)學(xué)是為了在最大 程度上滿足人類的物質(zhì)需要而有效地利用有限 或稀缺資源的社會(huì)科學(xué)。并指

4、出“經(jīng)濟(jì)學(xué)是建筑在每個(gè)人為了實(shí)現(xiàn) 最大 滿足，或最大 限度地實(shí)現(xiàn)其目標(biāo)，而進(jìn)行理性的決策。例如將自己有限的收入用于購(gòu)買能使它們獲得最大利益的物品或服務(wù)。對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析很自然地引出“動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題”，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常稱為“跨期最優(yōu)化問(wèn)題”，即最優(yōu)控制問(wèn)題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家samuelson 曾說(shuō)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題可以動(dòng)態(tài)地處理已為人們熟知。他強(qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)生如果沒(méi)有掌握一定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的理論，常常影響他對(duì)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的理解。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的理論應(yīng)該包含微分方程和差分方程的求解，穩(wěn)定性分析，能控性、能觀測(cè)性分析和最優(yōu)控制。為了對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)進(jìn)行深入研究，掌握這些基本內(nèi)容是非常重要的。換一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，自動(dòng)化專業(yè)的學(xué)生都有較好的動(dòng)態(tài)

5、系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，因此我們有條 件對(duì)這個(gè)領(lǐng)域感興趣，有條件對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題進(jìn)行研究。這方面不乏成功的實(shí)力?，F(xiàn)僅就以下幾方面向大家介紹現(xiàn)代控制論在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析可以追溯到薩繆爾森(Samuelson) 1939年和?？怂?Hicks )1950年的著名的經(jīng)濟(jì)周期模型。隨后就是20世紀(jì)50年代和60年代期間對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題的密集地研究。此后羅默(Romer)1986年關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的論文發(fā)表又發(fā)起對(duì)新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論 的研究高潮，至此長(zhǎng)盛不衰。目前對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析已經(jīng)滲透到微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和宏觀經(jīng)濟(jì) 學(xué)的很多領(lǐng)域，成為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的一類重要的方法。動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)也成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)十分

6、重 要的領(lǐng)域。近20年來(lái)，大批歐美的大學(xué)的經(jīng)濟(jì)類的研究生開(kāi)設(shè)了動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)課，講授對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng) 進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析的理論和方法，與此相應(yīng)的是出版了大量的動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的教材。見(jiàn)參考文獻(xiàn) 4-20,僅參考文獻(xiàn)中列出的2000年以后出版的教材就有 13種。動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要基礎(chǔ)是微分方程、差分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)和現(xiàn)代控制理論。所涉及的這幾個(gè)領(lǐng)域，自動(dòng)化專業(yè)的學(xué)生 都有較好的基礎(chǔ)的，因此我們 有條件對(duì)這個(gè)領(lǐng)域感興趣，有條件對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題進(jìn)行研究。現(xiàn)僅就以下幾方面向大家介紹現(xiàn)代控制論在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。1.穩(wěn)定性、能控性與能觀測(cè)性在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用能控性和能觀測(cè)性與穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的三個(gè)非常重要的性質(zhì)，對(duì)

7、于研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 分析與控制，這三個(gè)性質(zhì)也是非常重要的。下面介紹經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性與穩(wěn)定性。(1)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性能控性是研究控制變量對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)能否產(chǎn)生影響的問(wèn)題。對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，它的能控性是政策變量或決策變量對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)生狀態(tài)能否產(chǎn)生影響的問(wèn)題。這里政策變量、決策變量就是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的控制變量，例如政府支出，利率、貨幣發(fā)行 量、消費(fèi)策略都可以作為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的控制變量。1)典型經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性分析【例1線性價(jià)格調(diào)整模型的能控性考慮n種商品的價(jià)格調(diào)整模型Pi = iEDi(p1, Pn) i =1, ,n其中R是商品i的價(jià)格，Di(P1,，Pn)和S(Pi,，Pn)分別是商品i的需求函數(shù)和

8、供給函 數(shù)，EDi(P1, ,Pn) =Di(P1, , Pn)-Si(P1, , Pn)是商品i的過(guò)度需求，工是描述反應(yīng)速度的常數(shù)。Pi = iEDi(p1, , Pn) = Di(p1, , Pn) - Si(p1, , Pn) i = 1, ,n現(xiàn)假設(shè)需求函數(shù)和供給函數(shù)都是價(jià)格的線性函數(shù)。nDi(Pi, Pn) =、aj Pjaioj=1 nSi（Pi, , Pn） =bij Pj bi0j坦aio, bo-an。1bio9aio, bo-an。1bio9，n01 TOC o 1-5 h z Piip=： , A =aj, B =a,r=,:Pn -n-則n種商曲的亦格調(diào)整模型寫(xiě)成矩陣形

9、式為p= r(A B) p+ ao - bo至此模型中還沒(méi)有引進(jìn)政策變量。如果在需求函數(shù)中引入一個(gè)能影響需求量的策略變量u,即假設(shè)nDi（d，, Pn）- aj Pj aio Uij =1比如目前的家電下鄉(xiāng)的優(yōu)惠政策就是一種能影響需求的策略變量。記U = UiUn T ,則價(jià)格調(diào)整模型化為P= r( AP= r( A)P aobou或者P= r(a B)p+ r(ao - bo)+ ru由參考文獻(xiàn)23的推論5-1 （教材現(xiàn)代控制理論 61頁(yè)第5題）只需討論系統(tǒng)p= r（a- B）p+ ru的能控性。對(duì)應(yīng)于該系統(tǒng)的能控性矩陣為U =（a- b）r （a - b）n-1 r如果工o i =1,，n

10、,則rank r = n ,因此U的秩為n,這個(gè)系統(tǒng)完全能控?！纠?】寡頭壟斷模型的能控性設(shè)有N個(gè)公司壟斷某種產(chǎn)品的生產(chǎn)，設(shè)公司 i在周期k內(nèi)的產(chǎn)量為qi（k）,初始產(chǎn)量 qi（o）已知，i =1,，N。公司i以利潤(rùn)最大化的原則決定自己的產(chǎn)量，在解公司i的利潤(rùn)最大化問(wèn)題時(shí)，公司i假設(shè)其他公司將保持前一周期的產(chǎn)量。這一假設(shè)稱為Cournot預(yù)期。公司i的利潤(rùn)函數(shù)為i（q, ） = Pqi -弓式中p是商品的價(jià)格，Ci是公司i的成本函數(shù)。設(shè)Ci (qi ) = biq i - cip = aSq aCi (qi ) = biq i - cip = aSq a。bi . 0NSq 八 qiij于是公

11、司i的利潤(rùn)最大化問(wèn)題為：Nmax =a% qi (k) qi (k 1) a0qi(k 1) -bqi(k 1) g 11 l d這個(gè)利潤(rùn)最大化問(wèn)題的一階必要條件為:二 i，(k 1)N= 2aqi(k 1) aq ql(k) a0 -bi =011由上式可解出1 N b - anqi(k 1)、ql (k) -0i =1, ,N2 12al-i它是利潤(rùn)最大化問(wèn)題的解 q1,，qN必須滿足的差分方程組。為分析政府對(duì)寡頭壟斷市場(chǎng)控制的可能性，設(shè)政府可以依靠一個(gè)決策變量 場(chǎng),例如稅收政策，出口補(bǔ)貼等，它可以使公司的單位產(chǎn)出的成本下降，這時(shí)公司 數(shù)改為：u(k)影響市i的成本函Ci(q) = (bi

12、 -u)qCi這時(shí)5,，qN滿足的差分方程組化為N b - u - anqi(k 1)ql(k)i =1, , Ny2a記x =(q1,，qn)T ,則得到寡頭壟斷系統(tǒng)的狀態(tài)方程組x(k 1) = Ax (k)其中一0_1 2IL-2b1 a0f =2a9N 一 a0-11 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark807 o Current Document 1,、系統(tǒng)x (k 1) = Ax (k)1u(t)系統(tǒng)2a的能控性矩陣為A NF1) HYPERLINK l bookmark830 o Current Document 11A NF1)，A(U1)2a2a

13、1 - N1-N1 21 d 1 1-N dU = -112a 2a 2即對(duì)公司i可以引進(jìn)策略變量ui 即對(duì)公司i可以引進(jìn)策略變量ui ,使其成本函數(shù)為Ci(qi) =(bi -Ui)qi Ci則模型修改為：1x(k 1) = Ax(k) f - u(k) 2a其中u(k)=U1(k) uN(k)，系統(tǒng)1x(k 1) = Ax(k)-u(k)2a的能控性矩陣為U - - I A AN2a 2a2aU的秩為N,該系統(tǒng)完全能控。這表明如果能對(duì)每個(gè)公司引進(jìn)一個(gè)策略變量影響它的成本函 數(shù)，就可以對(duì)寡頭壟斷系統(tǒng)進(jìn)行控制。2)使系統(tǒng)能控的最小政策手段集合設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為并假設(shè)它是能控的，其中 u =

14、u1,，UmT是政策手段向量，也就是說(shuō) 政策手段有 m個(gè)。如 TOC o 1-5 h z 果政策手段減少到 m-1個(gè)，減少到m-2個(gè)，甚至減少地1個(gè)，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)還能控嗎？因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)系統(tǒng)中使用政策手段是需要成本的，因此討論這個(gè)問(wèn)題是有現(xiàn)實(shí)意義的。在以上系統(tǒng)中假設(shè)系統(tǒng)矩陣 A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 1，% ,則1P = V1, vn0 I使得PAP= 三A0一于是微分方程組(3-2),經(jīng)變換y(t) =Px(t)化為1y = Px = P Ax + Bu = PAP y + PBu = Ay + PBu即y=阿+ PBu記F = PB = - fj ,于是上式可改寫(xiě)為y1 -1 y1f11u1f

15、1 mu myn - nynfn1u1fnmum這個(gè)方程組中，每個(gè)方程只有一個(gè)狀態(tài)變量，稱為解耦形式。從這個(gè)解耦形式可以看出：該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是能控的充分必要條件是矩陣F沒(méi)有一個(gè)行向量為 0向量。由此出發(fā)，可以求使系統(tǒng)能控的最小政策手段集合。首先考慮一個(gè)政策手段 ui ,為檢驗(yàn)單用ui時(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是否能控，考慮x = Ax b ui式中bi是矩陣B的第i歹U。這時(shí)方程 y=Ay+ PBu化為yi =必fiiuiyn n yn fni Ui由以上分析可以得出結(jié)論：如果矩陣F的第i列沒(méi)有0元素，那么該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是可以由一個(gè)政策手段U能控的。如果矩陣 F的所有列都有0元素，那么該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不能由一個(gè)政策手 段能

16、控。這時(shí)我們可以 用類似的方法討論能否用兩個(gè)政策手段進(jìn)行控制。3)輸出能控性和路徑能控性設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是x 二 Ax Bu輸出方程是y(t) =Cx (t)系統(tǒng)的輸出可以理解為我們能夠觀測(cè)到的經(jīng)濟(jì)變量，方程方程是這些經(jīng)濟(jì)變量用狀態(tài)變量表示的方程式。定義設(shè)yo是初始輸出向量，如果存在策略變量u(t)在有限時(shí)間tf將yo轉(zhuǎn)移到任意事先給定的輸出向量 y(tf) = yf,則稱yo是輸出能控的。如果對(duì)任意y0都是輸出能控的則稱 該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是 完全輸出能控的。關(guān)于輸出能控性有如下定理：定理經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax Buy(t) =Cx (t)輸出能控的充分必要條件是矩陣CB CAB CA2BCAn、

17、B的秩為r , r是輸出向量的維數(shù)。例2的寡頭壟斷模型中，其實(shí)控制總產(chǎn)量y = q +qn就可以了。這相當(dāng)于y =Cx, C=(1，,1),x =(qj，qn)T這時(shí)矩陣CB CAB CA2BCAn4B的秩為1,等于輸出向量的維數(shù)，因此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是輸出能控的。就是說(shuō)，政府可以依靠一個(gè)決策變量u(k),例如稅收政策，出口補(bǔ)貼等，使公司的單位產(chǎn)出的成本下降，從而控制該產(chǎn)品的總產(chǎn)量。與輸出能控性相對(duì)應(yīng)前面定義的能控性稱為狀態(tài)能控性。狀態(tài)能控性和輸出能控性都是將系統(tǒng)控制到一個(gè)點(diǎn)，稱為點(diǎn)到點(diǎn)的能控性。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來(lái)看這是不夠的。 經(jīng)濟(jì)調(diào)控 的目的不僅是把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)控制到某一點(diǎn)，而且要求在一個(gè)時(shí)間區(qū)間

18、內(nèi)保持這一點(diǎn)， 或者進(jìn)一步使經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)按預(yù)定的路徑運(yùn)行，因?yàn)槿绻鹸f這不是均衡狀態(tài)，將經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)控制到這個(gè)狀態(tài)后，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)還會(huì)離開(kāi)這個(gè)狀態(tài)。例如就業(yè)問(wèn)題中，我們不僅要把就業(yè)水平控制到了一個(gè)理想的水平，而且要將它保持下去，這就提出了 路徑能控性 的問(wèn)題。路徑能控性要求嚴(yán)格跟蹤已給的軌線。關(guān)于路徑能控性有如下定理：定理經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax Buy(t) =Cx (t)路徑能控的充分必要條件是矩陣 CB CABCA2nB0CBCA2T B00CBCAn-1 B的秩為(n 1)r , r是輸出向量的維數(shù)?！纠?】Phillips模型為Y ,(:g，；)Y，:退二 Y - . - (?式中a是產(chǎn)出對(duì)超

19、額需求的調(diào)節(jié)速度，P是政府支出G對(duì)它的理想值(？的調(diào)節(jié)速度，0是邊際消費(fèi)傾向，a 0, P 0,0 s 1。引進(jìn)新的變量% =Y,X2 =Y,記x = & X2，u = (?,化為等價(jià)的一階微分方程組x = Ax Bu即x=01 ： x 0 u_(_:/;)該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的出變量為 x1 =Y ,因此輸出方程為y = Cx C = 1 01對(duì)于這個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)輸出能控就是能否通過(guò)政府支出能不能控制產(chǎn)出x1 =Y的問(wèn)題。能控性矩陣0IU =B AB= I R R R yP otP (a co + P)的秩為2 (=n),由定理，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是能控的。矩陣CB CAB =0 I:娟(、小 - I：)aP0:

20、娟(、小 - I：)aP0:娟門一：娟(：心一 F)2一 o(P (a + P )aPCB CAB CA 2 B CA3 B 0 :0 CB CAB CA2 B =0 000CB CAB 0 0秩為3( = (n +1)r)，由定理，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是路徑能控的結(jié)論：Phillips模型對(duì)任何非0的參數(shù)a , P和任何國(guó)都是狀態(tài)能控，輸出能控和路徑能控的。即通過(guò)對(duì)公共支出的操縱可以不僅可以達(dá)到要求的產(chǎn)出水平，而且可以在有限時(shí)間內(nèi)保 持這一要求的水平。而且因?yàn)樵摻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)是路徑能控的可以依靠對(duì)公共支出的操縱使產(chǎn)出 沿任意要求的路徑運(yùn)動(dòng)。例如要求產(chǎn)出的路徑為Yd(t) =Ye t正數(shù)6是要求的增長(zhǎng)率，求一

21、個(gè)公共支出軌線(?(t)，使得在它的作用下由Phillips模型決定的產(chǎn)出Y(t) = Yd (t)。這樣我們的問(wèn)題是求G?(t)使得微分方程Y ,(:紅，；)Y 、律u Y = ： : G?的解為Y(t) =Yd(t) =Y0e顯然G?(t)具有佻)=郵，的形式，將Y(t) =Y0e8和G?(t) =&e伊代入以上微分方程得到Y(jié)0e t 2:，:：(、：)、 = ；： G0e取P = 5 ,則由上式解得& =卜2 -噌：)：廣：Y0于是修=卜 2 : (;) ; /： -Y0et4)有約束條件時(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性定義設(shè)X0是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)初始狀態(tài)，如果存在策略變量U(t)wu使得在有限時(shí)間tf將它轉(zhuǎn)

22、移X(tf)=0,則稱x0是在約束條件下能控的。定理如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax Bu漸近穩(wěn)定并且能控性矩陣U =B AB A2B，An,B的秩為n,那么該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是在約束條件下能控的。Austria和Nigeria的小模型 x = Ax Bu這里Y,R,M分別是產(chǎn)出、利率和貨幣供給量。Austria：_ 0.2693 -17.404Austria：_ 0.2693 -17.404Tg 9.450-0-132.876B =1-1.30 -95.658矩陣 A 的特征值為 k = -0.3022, 2 = -8.8785 , rankBAB = 2Nigeria：A _ 0.535 -3110.50

23、71Nigeria：A _ 0.535 -3110.50710.191-189.610_010926.226| -1.30 1565.854矩陣 A 的特征值為 = 0.2264, % = -1.8643 , rankB AB = 2結(jié)論：兩個(gè)模型都是在約束條件下能控的(2)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測(cè)性在實(shí)際經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，狀態(tài)向量不一定能測(cè)量，能直接測(cè)量的是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸出。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測(cè)性是研究能否通過(guò)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸出的觀測(cè)確定經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)的問(wèn)題，因此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測(cè)性將涉及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸出方程。下面給出經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測(cè)性的定義：例4相關(guān)市場(chǎng)的能觀測(cè)性已給出相關(guān)市場(chǎng)的模型為p = r( A -B) p

24、+ a。-b0+u設(shè)該市場(chǎng)的觀測(cè)輸出為平均價(jià)格y(t)1T p(P1Pn)n n則能觀測(cè)性矩陣為V =- n1T11T r(a-b)-iT(r( a-b)V是一個(gè)n階方陣，該系統(tǒng)完全能觀測(cè)等價(jià)于方陣 V非奇異。當(dāng)V =- n1T11T r(a-b)-iT(r( a-b)V是一個(gè)n階方陣，該系統(tǒng)完全能觀測(cè)等價(jià)于方陣 V非奇異。當(dāng)1T 1( A-B)為一個(gè)常數(shù)乘 以1T時(shí)，V奇異，這時(shí)系統(tǒng)不完全能觀測(cè)。例5寡頭壟斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性假設(shè)我們感興趣的只是產(chǎn)品的總產(chǎn)出量，選取y(k) =1T x：k) =Xi(k)Xn這時(shí)C=1 11T能觀測(cè)性矩陣為1T 1- N1T2A 2 J 一V的秩為1,系統(tǒng)不完全

25、能觀測(cè)。即由總產(chǎn)量的測(cè)量不能確定每個(gè)公司的產(chǎn)量。(3)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性經(jīng)濟(jì)學(xué)家希望所研究的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因?yàn)閷?duì)于這樣的系統(tǒng)一旦偏離了它的均衡狀態(tài)可以返回均衡狀態(tài)。這相當(dāng)于要求經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 但是如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)能控，可以通過(guò)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定， 系統(tǒng)穩(wěn)定化的問(wèn)題。有些經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的，這是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的問(wèn)題或稱經(jīng)濟(jì)在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題中，很多均衡狀態(tài)是鞍點(diǎn)。 對(duì)于二維系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)有兩個(gè)實(shí)特征值，一正一負(fù)，正特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所在的過(guò)均衡點(diǎn)的直線稱為不穩(wěn)定臂,值對(duì)應(yīng)的特征向量所在的過(guò)均衡點(diǎn)的直線稱為穩(wěn)定臂。 沿著穩(wěn)定臂返回均衡狀態(tài)。當(dāng)初始狀態(tài)選在穩(wěn)定臂上時(shí),負(fù)特征系統(tǒng)將1)二

26、維線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是由兩個(gè)常系數(shù)線性微分方程構(gòu)成的方程組描述的，下面就二維的情況進(jìn)一步討論關(guān)于動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的某些問(wèn)題。設(shè)二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組為其中A二 a11_a21a22a)2顯然x = 0是它的均衡狀態(tài)，如果矩陣A可逆則x =0是該系統(tǒng)的唯一均衡狀態(tài)。設(shè)a有兩個(gè)不同的特征值八1人并假設(shè)V1, V2是與它們對(duì)應(yīng)的特征 向量，則二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組的通解為x=C1 v1e 1tC2v2e 2t下面僅對(duì)九i,九2為實(shí)數(shù)的幾種情況進(jìn)行分析：情況1兀，九2為不同的負(fù)實(shí)數(shù)當(dāng)tT8時(shí)，eT。，i =1,2。由解式知，當(dāng)tT8時(shí)，x(t)T0,即此時(shí)均衡 狀態(tài)x

27、=0是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)所有從初始狀態(tài)出發(fā)的解都收斂到均衡狀態(tài)，這個(gè)均衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的特征是所有的軌線都通過(guò)這一點(diǎn)。情況2兀，九2為不同的正實(shí)數(shù)當(dāng)tT笛時(shí)，e為 T笛，i =1,2。由解式知當(dāng)tT笛時(shí)x (t)T笛，即此時(shí)均衡狀態(tài) X =0是不穩(wěn)定的。這個(gè)均衡狀態(tài)稱為 不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。情況3九i為正實(shí)數(shù)，%為負(fù)實(shí)數(shù)前面關(guān)于穩(wěn)定性的定義要求從均衡狀態(tài)鄰近的任意初始狀態(tài)出發(fā)的的解都保持在均衡 狀態(tài)鄰近。由于 人為正實(shí)數(shù)，此時(shí)均衡狀態(tài)X = 0是不穩(wěn)定的。在二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組中經(jīng)常出現(xiàn)這種情況，這時(shí)經(jīng)濟(jì)學(xué) 家并不簡(jiǎn)單地作出這個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)論，而是做進(jìn)一步地分析。下面就對(duì)這一情況做進(jìn)一步的

28、分析。在通解x(t) = C1vle 1tC2v2e 2t中，由初始條件x (0) = C1vlC2v2決定C1C2 (兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)的方程組)當(dāng)初始狀態(tài)x(0)位于v1所在的直線上時(shí)，由于從v1所在的直線出發(fā)的解滿足x (0) =C1v1 C2 v2而x(0)又位于vi所在的直線上，因此 C2 = 0,即解式化為x (t) = C1vle 1t這個(gè)解總保持在v 1所在的直線上，又由于 為正實(shí)數(shù)，所以當(dāng)t T g時(shí)e T 9 , 因此稱Vi所在的直線為該動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 不穩(wěn)定臂。當(dāng)初始狀態(tài)X位于V2所在的直線上時(shí)，由于從V2所在的直線出發(fā)的解滿足x (0) =CiVi C2 V2而x(0

29、)又位于V2所在的直線上，因此 Ci =0,即解式化為x(t) = C2v2e 2t這個(gè)解總保持在 V 2所在的直線上，并且由于九2為負(fù)實(shí)數(shù)，所以當(dāng)tT 8時(shí)e/T 0,因此 稱V2所在的直線為該動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 穩(wěn)定臂。對(duì)于從不在穩(wěn)定臂和不穩(wěn)定臂上的點(diǎn)(初始狀態(tài))出發(fā)的解由解式x(t) = C1 V1e 1tC2V2e 2t給出，在這個(gè)解中正特征值占優(yōu) 。從V1, V2上面出發(fā)的解的路徑和從 V1下面,上面出 發(fā)的解的路徑將趨向于 Vi的方向，這時(shí)解將趨向于正無(wú)限大； 從Vi, V 2下面出發(fā)的解的路徑 和從Vi上面,下面出發(fā)的解的路徑將趨向于 Vi相反的方向，這時(shí)解將趨向于負(fù)無(wú)限大。這 種情

30、況下經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)稱為 鞍點(diǎn)。圖i給出了相圖上各部位的點(diǎn)的走向，第一象限的粗箭頭是Vi ,另一個(gè)粗箭頭是 “。按穩(wěn)定性的定義，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)時(shí)，由于有一個(gè)正的特征值，因而這個(gè)均衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。但對(duì)這種只有初始狀態(tài)在V 2所在的直線上時(shí)，解才返回均衡狀態(tài)的情況，常稱這個(gè)均衡狀態(tài)是 條件穩(wěn)定的。在研究這類經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)時(shí)，如果兩個(gè)變量中，一個(gè)變 量的初始值已給， 決策者能自由地選擇另一個(gè)變量的初始值，就可以選擇這個(gè)初始值，使得初始狀態(tài)在穩(wěn)定臂上，這時(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)就可以回到均衡狀態(tài)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中確有一些常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)是鞍點(diǎn)。例如在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型和投資模型中常出現(xiàn)均衡狀態(tài)是鞍點(diǎn)的情況。因此

31、概念。鞍點(diǎn)是動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的一個(gè)重要以下通過(guò)實(shí)例做進(jìn)一步說(shuō)明。經(jīng)濟(jì)學(xué)中確有一些常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)是鞍點(diǎn)。例如在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型和投資模型中常出現(xiàn)均衡狀態(tài)是鞍點(diǎn)的情況。因此 概念。鞍點(diǎn)是動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的一個(gè)重要【例6】已給動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型X =0是它的均衡狀態(tài)。下面分析該動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先求該微分方程組的解。系統(tǒng)的特征方程為2-4 1 -1特征值 及=3相對(duì)應(yīng)的特征向量是24-1V1 =02二1-4 1 -1特征值 及=3相對(duì)應(yīng)的特征向量是24-1V1 =02的解V1所在的直線11為不穩(wěn)定臂。特征值 = -1相對(duì)應(yīng)的特征向量是一 24 4V2V2-2v2所

32、在的直線12為穩(wěn)定臂。該例的相平面分析見(jiàn)圖 3-3,解的路徑由圖中的箭頭給出，圖中第一象限的粗肩頭代表 向量V1 ,第四象限的粗肩頭代表向量v2。下面進(jìn)一步分析二維線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X 二 a HaX 二 a Ha1121a12Xa22它的特征方程為特征值為aiidet1特征值為aiidet1a21a2 Ia a22(a -(aIi a22) &ia22 - a12 a21 = 0(an a22)二 (an a22)- 4 a)i a22 一 a12a212因此二維線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：i ： ；，2 = (a11 a22)= tr A :二

33、 0和a11a22 a12a21= det A 0其中tr A表示矩陣A的跡，它的定義是矩陣A的對(duì)角線元素的和。于是得到二維線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的如下命題：命題1二維定常線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(全局)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為tr A 0 d e A 0由于上面的兩個(gè)特征值又可以表示為trA士 ,.： (trA)2 -4det A1,2 二2這表明當(dāng)且僅當(dāng)det A 0時(shí)，儲(chǔ),%一個(gè)為正的實(shí)根，一個(gè)為負(fù)的實(shí)根，由此得到關(guān)于二 維線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)的如下結(jié)論：命題2二維線性動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)的充分必要條件是det A : 0注多變量線性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的鞍點(diǎn)關(guān)于畛點(diǎn)的分析可以推廣到一般的n維線性

34、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax如果系統(tǒng)矩陣 A有k個(gè)具有負(fù)實(shí)部的特征值， 有n - k個(gè)具有正實(shí)部的特征值， 則存在 包含均衡狀態(tài)的k維穩(wěn)定流形使得當(dāng)初始狀態(tài)位于該流形上時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)將收斂到均衡狀態(tài)。當(dāng)初始狀態(tài)位于這個(gè) k維穩(wěn)定流形以外時(shí)系統(tǒng)發(fā)散。2)二維系統(tǒng)的相平面分析及在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用對(duì)于二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以通過(guò)相平面分析經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為，方法是繪制相圖。相圖是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的演化及調(diào)節(jié)到均衡狀態(tài)的過(guò)程的圖形表現(xiàn)。相圖定性地給出我們需要的有關(guān)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為的所有信息對(duì)于二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析是很有用的。 相圖分析是在相平面上進(jìn)行的， 因此適用于 具有兩個(gè)狀態(tài)變量的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。 由于

35、我們遇到的大量實(shí)例僅含有兩個(gè)狀態(tài)變量， 而且常常有 些函數(shù)并未具體給出，相圖分析就更顯得重要了。二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有兩個(gè)狀態(tài)變量，它們隨時(shí)間的演化由兩個(gè)微分方程描述：X1 二fX1 二f1(X1,X2)X2 二f2(X1,X2)這個(gè)微分方程組寫(xiě)成向量形式為、KI :f1（X1,X2） x = f （x）x =f （x）=%-2（Xi,X2）-這樣的方程組稱為獨(dú)立的，因?yàn)樗挠叶霜?dú)立于時(shí)間。數(shù)學(xué)中稱為自治系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、時(shí) 不變系統(tǒng)等。相平面分析在狀態(tài)空間進(jìn)行，即在X1-X2平面上進(jìn)行。在X1 - X2平面上橫坐標(biāo)表示X1 ,縱坐標(biāo)表X2 X2。為了通過(guò)繪制相圖分析狀態(tài)隨時(shí)間的演化，需找出狀態(tài)變量隨時(shí)

36、間上升或下降 的區(qū)域具體做法是：令x1 =0,得到曲線l1 ： f1（Xi, X2） = 0設(shè)想方程組是描述兩種相關(guān)商品的市場(chǎng)，看第一種商品的市場(chǎng)， 當(dāng)X1 =0時(shí)，這個(gè)市場(chǎng)達(dá)到均衡。fi（Xi，X2）=0給出了第一種商品達(dá)到均衡時(shí)X1X2間的關(guān)系。沿曲線li , Xi = 0 ,曲線li稱為Xi的平穩(wěn)軌線，它將 平面分成兩個(gè)區(qū)域，在一個(gè)區(qū)域中X1 0 ,因而X1隨時(shí)間的增加而上升。看第二種商品的市場(chǎng)，當(dāng) X2 =0時(shí)，這個(gè)市場(chǎng)達(dá)到均衡。f2（X）,X2）=0給出了第二種商品達(dá)到均衡時(shí)X1X2間的關(guān)系。在X1-X2平面上令X2=0,得到曲線12： f2（Xi,X2）=0沿曲線12, X2 =0

37、,曲線12稱為X2的平穩(wěn)軌線，它將平面 Xi- X2分成兩個(gè)區(qū)域，在一個(gè)區(qū)域 中X2 0 ,因而X2隨時(shí)間的增加而上升。曲線li和曲線12的交點(diǎn)Xi =0和X2 =0同時(shí)成立，兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)處于均衡狀態(tài)，因而是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)記為(Xi，X2)0判斷的在Il哪邊的區(qū)域內(nèi)Xi0;X1; X1則表明在li的右側(cè)X； 0 , Xi(t)隨時(shí)間遞增，在li的左側(cè)Xi 0 , Xi(t)隨時(shí)間遞減。如果沿著li導(dǎo)數(shù)絲=1。fXijXi則表明在li的右側(cè)X；0, X(t)隨時(shí)間遞增。類似地，判斷的在l2哪邊的區(qū)域內(nèi)x2 07X2；：X2則表面在l2的上側(cè)X2 0 , X2(t)隨時(shí)間遞增，在l2的下側(cè)X2

38、 0 , X2(t)隨時(shí)間遞減。如果沿著l2導(dǎo)數(shù)2 = 2 0；：X2：X2則表明在l2的右側(cè)X2 0 , X2(t)隨時(shí)間遞增。相圖是在相平面Xi-X2平面繪制的，步驟如下:(1)令x1 =0得到Xi的平穩(wěn)軌線li ；令X2 = 0得到X2的平穩(wěn)軌線120 11與12的交點(diǎn) 為該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)。(2)分析在Xi的平穩(wěn)軌線li兩側(cè)Xi變化的方向并用箭頭(稱為相箭頭)標(biāo)出；分析在X2的平穩(wěn)軌線12兩側(cè)X2變化的方向并用箭頭標(biāo)出。方法是計(jì)算 空,如果;:Xi90表明當(dāng)X增加時(shí)Xi減小，因此在Xi的平穩(wěn)軌線li的使Xi增加的一側(cè)為 0 ,即當(dāng)x2 -2X1 + 9時(shí)，x1上升；當(dāng) -2xi -X

39、2 +9 M0時(shí)Xi -2xi+9時(shí)，x1下降。同樣當(dāng)x1 X2+30 時(shí)，即當(dāng) X2 0, X2上升，；當(dāng) Xi X2 + 3 0時(shí)，即當(dāng) X2 A Xi +3時(shí)，x2 0 , X2下降。于是得到描述兩個(gè)相關(guān)市場(chǎng)的行為的相圖 -圖2-9。如果已給經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(相關(guān)市場(chǎng)的兩種商品的初始價(jià)格)，則可以應(yīng)用圖 2-9定性地描繪出經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的相軌跡。例如當(dāng)初始狀態(tài)為xi(0) =2,x2(0) =2時(shí)，按相圖的相箭0,是水平方向，當(dāng)2-9所示的相軌線。0,是水平方向，當(dāng)2-9所示的相軌線。00.511.522.533.544.55頭所指的方向，再結(jié)合上面導(dǎo)出的“當(dāng)相軌跡穿過(guò)l2 （x2 =0）時(shí)

40、斜率為相軌跡穿過(guò)11 （乂 =0）時(shí)斜率為 9，是垂直方向”的結(jié)論，可以畫(huà)出圖2.最優(yōu)控制在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中最大量的問(wèn)題是跨期（隔時(shí)）最優(yōu)化的問(wèn)題。這一類的問(wèn)題中，當(dāng)前的決策影響到未來(lái)的決策， 因此必須跨期進(jìn)行研究。 最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題是最典型的例子，本期多消費(fèi)是以犧牲未來(lái)的消費(fèi)為代價(jià)的。因此最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題是一個(gè)跨期最優(yōu)化問(wèn)題。很多動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)教程都是集中討論跨期最優(yōu)化問(wèn)題?？缙谧顑?yōu)化問(wèn)題可以在連續(xù)時(shí)間的框架下進(jìn)行討論，也可以在離散時(shí)間的框架下進(jìn)行討論，本文將在連續(xù)時(shí)間的框架下進(jìn)行討論。由于連續(xù)時(shí)間跨期最優(yōu)化問(wèn)題的求解或進(jìn)行定性分析，最終都?xì)w結(jié)為微分方程（組）的求解或?qū)ξ⒎址匠蹋?/p>

41、組） 進(jìn)行定性分析。因此，本文以連續(xù)時(shí)間跨期最優(yōu)化問(wèn)題的求解和定 性分析為主線，將動(dòng)態(tài)分析這中需要的微分方程（組）的有關(guān)結(jié)果納入其中。(1)跨期最優(yōu)化(最優(yōu)控制)問(wèn)題的提法設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為x = f (x, u,t),x(to) = Xo其中X =x，X2，XnT是n維狀態(tài)向量,u =Ui，U2,，UmT為m維控制向量 或決策向 量。反映對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行控制的目的的目標(biāo)函數(shù)為tfJ( u) = L( x, u,t)dttoto,ti是最優(yōu)化實(shí)施的區(qū)間。跨期最優(yōu)化問(wèn)題是：求最優(yōu)策略u(píng) (t)使得u (t)WU并使J u最 大，其中U是決策變量允許的集合。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)J u依賴于函數(shù)u(t),

42、是函數(shù)u(t)的函數(shù)，常稱為稱為 目標(biāo)泛函。這里經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量有n個(gè)，決策變量有 m個(gè)，為了敘述簡(jiǎn)單我們僅以一個(gè)狀態(tài)變量一個(gè)決策變量的情況介紹對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析的基本方法和步驟。考慮如下的跨期最優(yōu)化問(wèn)題：Tmax Ju = L(x(t),u(t),t)dt TOC o 1-5 h z u(.)0s.t. X = f (x(t),u(t),t) x(0) = XoXo是給定的狀態(tài)變量的初始值。(2)跨期最優(yōu)化的問(wèn)題的解由最大值原理11162o,可以導(dǎo)出上面的跨期最優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解滿足的必要條件，為敘述必要條件，先引進(jìn)Hamilton(哈密頓)函數(shù)： HYPERLINK l bookmar

43、k221 o Current Document H (x,u,%) = L(x,u) + 哥(x,u)(1)最優(yōu)解滿足的必要條件為：-:H 八二 0fuX = f (x(t),u(t) x(0) = Xo:H.X九稱為協(xié)狀態(tài)變量，(4)稱為協(xié)狀態(tài)方程。由(3)、(4)構(gòu)成的微分方程組稱為 正則方程 組或正規(guī)方程組。如果最優(yōu)策略受到約束，問(wèn)題是求uW U ,使得目標(biāo)函數(shù) J(u)最大，在上面的必要條件中，條件(2)應(yīng)以H (x*,H (x*,入*, u*, t)=_H(x*,入*, u,t)u U取代。這個(gè)跨期最優(yōu)化的問(wèn)題中， 狀態(tài)變量的終值沒(méi)有給定，稱為終端自由的跨期最優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)狀態(tài)變量的終

44、端值也給定時(shí)，需以條件x(T) = xT代替條件.(T) = 0o終端是自由的跨期最優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)用最大值原理求最優(yōu)策略的具體步驟如下：第1步：構(gòu)造系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)：H (x，入，u,t) = L(x,u,t) + 入 T f (x, u,t)第2步：應(yīng)用(2),由H空=0 (當(dāng)U沒(méi)有約束時(shí))；:u或應(yīng)用(2)，由Max/H (x*,入*, u*, t) =H(x*,入*, u,t)(當(dāng)約束 uw U 時(shí))u U導(dǎo)出決策變量u與狀態(tài)變量x和協(xié)狀態(tài)變量 人的關(guān)系，記為u = u(x,入)。第3步：寫(xiě)出以下正則(正規(guī))方程組：x = f (x, u,t),x(t0)=x(0二 H1 入=入(tf)

45、= 0 x，將u =u(x,入)代入正則方程組解出x =x*(t),入=入*。)。第4步：將x = x * (t),入=入* (t)代入u =u (x，入)得到最優(yōu)策略u(píng)* =u(x* (t),入* (t) ) = u*(t)如果決策問(wèn)題還要求滿足邊界條件x(tf) = xf ,則以x(tf) = xf取代正則方程組中條件Mtf) =0。為了具體說(shuō)明以上方法，我們應(yīng)用最大值原理解一個(gè)基金會(huì)的最優(yōu)策略問(wèn)題?！纠?】基金會(huì)的最優(yōu)策略問(wèn)題某基金會(huì)獲得一筆基金 20萬(wàn)元，準(zhǔn)備存入銀行在60年內(nèi)獎(jiǎng)勵(lì)某些方面有特殊貢獻(xiàn)的人?；饡?huì)準(zhǔn)備在第 60年留下3000元處理基金會(huì)的結(jié)束事務(wù)。假設(shè)每年取用的獎(jiǎng)金在 1

46、.5萬(wàn)元至4萬(wàn)元之間，已知銀行的利率為年利10%,設(shè)計(jì)一個(gè)使用獎(jiǎng)金的最優(yōu)策略，使基金會(huì)在60年內(nèi)從銀行取走作獎(jiǎng)金的錢的總和最多。設(shè)基金會(huì)在銀行的存款數(shù)為x(t),每年取用的錢數(shù)為 u(t),則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x = 0.1x-u,x(0) = 2 0問(wèn)題為求u(t)使x(60) =0.3,并使基金會(huì)內(nèi)從銀行取走作獎(jiǎng)金的錢的總和60J(u) = u(t)dt 0 最大。這里u(t)是決策變量，它是定義在 (0,60)上的函數(shù)，J(u)是目標(biāo)泛函，這是一個(gè)典型 的跨期最優(yōu)化問(wèn)題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常把這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)記為：60Max1.5u(t)4Max1.5u(t)4J(u) = u(t)dt0st. x=

47、0.1x-u x(0) = 20 x(60)= 0.3下面應(yīng)用最大值原理解這個(gè)跨期最優(yōu)化問(wèn)題：第1步：先寫(xiě)出哈密頓函數(shù)H = u 0.1x - u = 0.1x1(1 - ,)u第2步：由最大值原理，u應(yīng)使哈密頓函數(shù)最大，為此應(yīng)取1.5當(dāng)1九0時(shí)，即九1時(shí)u* =4當(dāng)1 一九 0寸，即兒1時(shí)第3步：由于第二步中u只依賴于九，該問(wèn)題的協(xié)狀態(tài)方程又不依賴于x ,因此我們可以直接解協(xié)狀態(tài)方程：, - -0.1,它的解為 (t) = -“下面分析 Mt)何時(shí)小于1,何時(shí)大于1。由以上(t)的解式知：如果九(0) 1 ,則在(0, 60)區(qū)間內(nèi)九(t)1,因此在(0, 60)區(qū)間內(nèi)u(t) =4 ,這時(shí)

48、 狀態(tài)方程的初始問(wèn)題x=0.1x-4x(0)=20的解為x(t) u20e0.1t 40對(duì)于這個(gè)解，顯然 x(60) 1,因此開(kāi)始時(shí)應(yīng)取u=1.5，解初始問(wèn)題x =0.1x -1.5x(0) =20應(yīng)用MATLAB函數(shù) dsoke(Dx1=0.1*x1-1.5,x1(0)=20) ans = 15+5*exp(1/10*t) 得到軌線: x(t) =5(e0.1t 3)對(duì)于這個(gè)解 x(60) 0.3 ,因此最優(yōu)解必須在適當(dāng)?shù)臅r(shí)刻(記為 ts)由u* = 1.5切換到u* = 4,即最優(yōu)控制為:u*1.50 u*1.50 t tsts :二 t dsoke(Dx2=0.1*x2-4,x2(60)

49、=0.3) ans =40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)得到上面的終值問(wèn)題解的軌線: x(t) =-39.7e00) 40下面求1i與12的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間ts ,為此需解方程5(e0.1ts 3) -39.7e0.1(20)40可以用MATLAB函數(shù)解這個(gè)方程： solve(15+5*exp(1/10*t)=40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6) ans =10*log(250/(50*exp(6)+397)+60這個(gè)式子的值可以直接由MATLAB算出： 10*log(250/(50*exp(6)+397)+60ans =15.8995u*問(wèn)題的解表明切

50、換時(shí)間ts上16年，于是得到這個(gè)跨期最優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)策略 1.50 t 16u*、416t 60應(yīng)用此策略基金會(huì)從銀行取走的錢的總數(shù)為J =16父1.5 + 44父4 = 200 萬(wàn)元應(yīng)用MATLAB的繪圖功能繪出的該例求切換時(shí)間的示意圖： TOC o 1-5 h z 200,180、.160 -I140 -120 -x 100 、.8060 -40 -r20,0 1EE1J0102030405060t例7表明，在跨期最優(yōu)化問(wèn)題的求解過(guò)程中，實(shí)質(zhì)的運(yùn)算是求微分方程組的滿足初始條件和終端條件的解，有時(shí)輔以適當(dāng)?shù)膱D形，這些工作都可以由MATLAB完成。這個(gè)例就是依據(jù)最大值原理給出的必要條件，應(yīng)用M

51、ATLAB,采用人-機(jī)交互的方式完成的。應(yīng)用Matlab完成了 4件事：1求微分方程的初值問(wèn)題的解，即求曲線 | 2求微分方程的終值問(wèn)題的 解，即求曲線3解代數(shù)方程組，求Ii和l2的交點(diǎn)；4繪圖。哈密頓函數(shù)和協(xié)狀態(tài)變量在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題中有明 顯的經(jīng)濟(jì)意義：如果目標(biāo)函數(shù)是總利潤(rùn)，狀態(tài)變量是資本存量，則協(xié)狀態(tài)變量九為資本的影子價(jià)值(shadow value、邊際價(jià)值或影子價(jià)格。影子價(jià)值入的含義是在t時(shí)刻資本存量增加一個(gè)單位所引起的 利潤(rùn)的最大值的增量。哈密頓函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義是瞬時(shí)利潤(rùn)函數(shù)，即H(x,%u,t)N是系統(tǒng)達(dá)到最 優(yōu)時(shí)在區(qū)間t,t + &上的總的利潤(rùn)增量。因此最大值原理要求使利潤(rùn)

52、 最大的策略必使哈密頓函數(shù)達(dá)最大值，即MaxH(x*, 2*,u*,t)= H(x*,*u,t)u U由于很多跨期最優(yōu)化的問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)中帶有貼現(xiàn)因子，我們考慮如下的跨期最優(yōu)化 的問(wèn)題：max Ju =L(x(t),u(t)e-tdtu(.)0st. x = f (x(t), u(t) x(0) =Xo x(T)= Xt其中P是貼現(xiàn)率。Xo和Xt是給定的狀態(tài)變量的初始值和終端值。由最大值原理111620,可以導(dǎo)出這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解滿足的必要條件，為敘述必要條件引進(jìn)當(dāng)值Hamilton(哈密頓)函數(shù):H (x,u,九)=L(x,u) + 知(x,u)(5)則最優(yōu)解滿足的必要條件為:(6).:H:u

53、(6)X = f (x(t),u(t) X(0)=X0 X(T)=Xt(7)X如果已知函數(shù) L(.)和f (.)的具體形式，我們可以用上面給出的四步解法求出最優(yōu)策 略。但是在很多經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，并沒(méi)有給出函數(shù)L(.)和f(.)的具體形式，只是由它們的經(jīng)濟(jì)含義，可以得知它們具有某些性質(zhì)。這時(shí)我們雖然不能象例1那樣求出跨期最優(yōu)化問(wèn)題的解，但是我們?nèi)匀荒軌驈暮瘮?shù)L(.)和f (.)的這些性質(zhì)出發(fā)得到跨期最優(yōu)化問(wèn)題的解的某些定性的結(jié)果。(3)局部穩(wěn)定性分析對(duì)以上跨期最優(yōu)化問(wèn)題的定性分析是在關(guān)于函數(shù)L(.)和f (.)的某些假設(shè)下進(jìn)行的，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中常遇到的函數(shù)L(.)和f(.)經(jīng)常滿足這些假設(shè)條件。這些條件

54、是：函數(shù)L(.)和f (.)連續(xù)可微，并且滿足以下條件Lxx(x,u)：二0 Luu(X,u)；0 Lux(x,u)=0fXX(X,u) 0 fuu(x,u) 0 fux(x,u)=0在現(xiàn)代控制論第6章的例(p.16,p.135)中講了最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題： 狀態(tài)方程為k = f (k)-c(t) -(、 r)k x(0) = X0 目標(biāo)函數(shù)為效用的貼現(xiàn)值J(C)= 0 6一%(則)出消費(fèi)C(t)應(yīng)滿足約束條件0 c(t) f (k) 最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題是求c(t)使效用的貼現(xiàn)值 J(c)最大。U (C)是消費(fèi)的效用函數(shù)，它具有邊際效用遞減的性質(zhì)，即 U (C) 0 ,在這里相當(dāng)于 條件Luu(x,

55、u) 0,并且被積函數(shù)不依賴于狀態(tài)變量，這相當(dāng)于條件Lux(x,u) = 0。f(k)是生產(chǎn)函數(shù)，它也具有邊際產(chǎn)出遞減的性質(zhì)，即 f(k)0,因此狀態(tài)方程的右端函數(shù)滿足fxx(x,u) 0o再由于假設(shè)了 Luu(x,u)0和 Lu(x,u)0,得到Huu(x,u, ) = Luu(x,u)u(x,u)：二 0這是跨期最優(yōu)化問(wèn)題的充分條件，這個(gè)條件滿足時(shí)由必要條件(5)-(8)導(dǎo)出的解必是跨期最優(yōu)化問(wèn)題的解。對(duì)于跨期最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行定性分析主要依賴于x-K平面上的相圖或 x - u平面上的相圖。為了畫(huà)出X-九平面上的相圖，首先需要在正則方程組(7)、(8)中消去U,得到關(guān)于X、%的方程組或者關(guān)于

56、X、u的方程組。由于它們都是源自必要條件(5) - (8),因此進(jìn)行分析時(shí)，不論從哪個(gè)方程組出發(fā)都會(huì)得到相同的結(jié)果。由假設(shè)Lux(x,u)=0和fux(x,u) =0,條件(6)化為二 H二 L二f一.= Lu(u) +Mu(u) =0(6):ufufu由于Huu(x,u,九)0 ,因此對(duì)方程(6)可以應(yīng)用隱函數(shù)定理，得到u=u?(入)，代入正則方程組(7)、(8)中消去u ,即得到關(guān)于x、兒的方程組。由假設(shè)Lux(x,u)=0和fux(x,u) =0,方程(8)可以改寫(xiě)為H1- =- - fx(x) , - Lx(x)二 x于是得到正則方程組 TOC o 1-5 h z HYPERLINK

57、l bookmark229 o Current Document x = f (x(t),u?(九)x(0)=x。 x(T)=xt(9)?：=B fx(x)口 Lx(x)(10)下面的問(wèn)題是：假設(shè)正則方程組存在穩(wěn)態(tài)解，分析穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性。求正則方程組的穩(wěn)態(tài)解，是在(9)中令x = 0,在(10)中令4 = 0得到代數(shù)方程組(11)(10)。線f(x(t)M,)=0- fx(x)-L(11)(10)。線代數(shù)方程組(11)、(12)的解就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解 ，記為xs、Zso分析方程組(9)、 的穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性的方法是 在穩(wěn)態(tài)解鄰近線性化，然后分析得到的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 性化以后得到的線性方程組的系數(shù)

58、矩陣是代數(shù)方程組(11)、(12)的雅可比矩陣：(13)_fx(xs)fu (乳 s)l?s)(13)b-sfxx(xs)-Lxx(xs)-fx(xs)x=xs,九步可以利用以下定理進(jìn)行穩(wěn)定性分析：局部穩(wěn)定性定理假設(shè)二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程組x = f (x)x = x1 x2Tf = f1 f2T如果對(duì)該方程組在均衡狀態(tài)附近線性化得到的線性微分方程組，均衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則原非線性系統(tǒng)的均衡狀態(tài)是(局部)漸近穩(wěn)定的。tr A 0 d e A 0局部鞍點(diǎn)定理假設(shè)二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程組Tx = f (x)x =xi X2設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可微，那么在某均衡點(diǎn) x

59、的鄰近可以做Taylor展開(kāi)，得到線性化的微分方 程組x = A(x - X)式中_421aaijXi 三_421aaijXi 三XiX2 =X2i, j =1,2如果det A 0 ,則存在解xi(t), X2 (t)收斂到均衡狀態(tài) x ,與過(guò)點(diǎn)x平行于對(duì)應(yīng)于負(fù)特征值 的特征向量的直線相切。對(duì)于這里的動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題均衡鐵機(jī)條件是局部鞍點(diǎn)的條件是：A= fX堂det A 0一漢 丸-Xd,7TsOlech (奧利奇)定理已給二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)Tx = f (x) x =X1 X2如果對(duì)所有x , tr A 0 , a11a22豐0或者a12a21豐0 ,則原非線性系統(tǒng)的均 衡狀態(tài)是(全局)漸近穩(wěn)定的

60、。這里 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark331 o Current Document A/ ,an電tfi( x).A( x)=, aj1, j =1,2 HYPERLINK l bookmark333 o Current Document 21 a22_/上對(duì)于這里的動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題均衡鐵機(jī)條件是局部鞍點(diǎn)的條件是：|1X.Xa = a.諉.生旦J&Xa一進(jìn)一步假設(shè)fX(XS)0,則J(XS,九)的(1, 1)元素為負(fù)，(2, 2)元素為正。由Lxx(x,u) 0 fXX(X,u) 0,得出(2, 1)元素為正，式(6)關(guān)于九求導(dǎo)數(shù)，得到(?() =-九(我)