現(xiàn)代控制理論在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、現(xiàn)代控制論在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用王翼自動化學(xué)會前理事長宋健教授在自動化雜志的發(fā)刊詞中寫了這樣一段話來描述控制理論應(yīng)用的廣泛性：“ 凡是能用定量方法描述的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，只要可能由人進(jìn)行控制的，都可以用控制論的方法進(jìn)行研究，并能得到人們預(yù)想不到的結(jié)果”（見教材第2 頁，第 17 行） 。這一段話深刻地描繪了現(xiàn)代控制理論的廣闊的應(yīng)用前景，控制論誕生以來的事實證明了它有強(qiáng)大的生命力，它的發(fā)展不僅對自動化學(xué)科，對很多其他學(xué)科（包括經(jīng)濟(jì)和管理科學(xué)）的發(fā)展都作出了重要的貢獻(xiàn)，甚至對促進(jìn)人們的思維方式的變革也產(chǎn)生了重大的影響。反饋的思想、最優(yōu)化的思想在很多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用就是例證。 因此有人提出廣大的自然

2、科學(xué)和社會科學(xué)工作者，都必須具備一定的現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，這對拓展思路、提高工作水平是大有裨益的。經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為經(jīng)濟(jì)變量是隨時間變化的，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是動態(tài)的，對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的研究也應(yīng) 該是進(jìn)行動態(tài)分析。對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)分析包括穩(wěn)定性分析、能控性、能觀測性分析和動 態(tài)最優(yōu)化?？刂普撜Q生以后很快就有人研究控制論在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用，并在第一屆IFAC 大會上正式稱這一領(lǐng)域為經(jīng)濟(jì)控制論。對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)分析的研究一直與控制論的發(fā)展緊密相連。事實上，在維納（N.Wiener）的專著控制論問世之前，反饋、調(diào)節(jié)、穩(wěn)定等概念已經(jīng)在一些經(jīng)濟(jì)學(xué)的文獻(xiàn)中出現(xiàn)，此后經(jīng)典控制論中的PID 調(diào)解器曾經(jīng)于20 世紀(jì) 50 年代中期被

3、用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。 說明經(jīng)濟(jì)學(xué)與控制論的發(fā)展緊密相連的另一個突出的例子是LQG 問題中的分離定理（見教材第10 章） ， 它 首先由經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出，稱為 確定性等價原理， 后來在控制論中得到證明。經(jīng)濟(jì)學(xué)家H.A.Simon 和 H.Theil 分別與1956、 1957 年獨(dú)立提出，1960 年由控制論專家證明 。 美國的經(jīng)濟(jì)學(xué)家和控制論專家在20 世紀(jì) 70 年代通力合作研究控制論在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用對這個領(lǐng)域的發(fā)展做出了重大的貢獻(xiàn)。麥克康耐爾（McConnell ）和布魯伊（Brue）在經(jīng)濟(jì)學(xué)一書中定義：經(jīng)濟(jì)學(xué)是為了在最大 程度上滿足人類的物質(zhì)需要而有效地利用有限 或稀缺資源的社會科學(xué)。并指

4、出“經(jīng)濟(jì)學(xué)是建筑在每個人為了實現(xiàn) 最大 滿足，或最大 限度地實現(xiàn)其目標(biāo)，而進(jìn)行理性的決策。例如將自己有限的收入用于購買能使它們獲得最大利益的物品或服務(wù)。對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)分析很自然地引出“動態(tài)最優(yōu)化問題”，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常稱為“跨期最優(yōu)化問題”，即最優(yōu)控制問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家samuelson 曾說經(jīng)濟(jì)問題可以動態(tài)地處理已為人們熟知。他強(qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)生如果沒有掌握一定的動態(tài)系統(tǒng)的理論，常常影響他對現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的理解。動態(tài)系統(tǒng)的理論應(yīng)該包含微分方程和差分方程的求解，穩(wěn)定性分析，能控性、能觀測性分析和最優(yōu)控制。為了對經(jīng)濟(jì)學(xué)進(jìn)行深入研究，掌握這些基本內(nèi)容是非常重要的。換一個角度來說，自動化專業(yè)的學(xué)生都有較好的動態(tài)

5、系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，因此我們有條 件對這個領(lǐng)域感興趣，有條件對這個領(lǐng)域的問題進(jìn)行研究。這方面不乏成功的實力?，F(xiàn)僅就以下幾方面向大家介紹現(xiàn)代控制論在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。對宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)分析可以追溯到薩繆爾森(Samuelson) 1939年和?？怂?Hicks )1950年的著名的經(jīng)濟(jì)周期模型。隨后就是20世紀(jì)50年代和60年代期間對經(jīng)濟(jì)增長問題的密集地研究。此后羅默(Romer)1986年關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長的論文發(fā)表又發(fā)起對新的經(jīng)濟(jì)增長理論 的研究高潮，至此長盛不衰。目前對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)分析已經(jīng)滲透到微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和宏觀經(jīng)濟(jì) 學(xué)的很多領(lǐng)域，成為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的一類重要的方法。動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)也成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個十分

6、重 要的領(lǐng)域。近20年來，大批歐美的大學(xué)的經(jīng)濟(jì)類的研究生開設(shè)了動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)課，講授對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng) 進(jìn)行動態(tài)分析的理論和方法，與此相應(yīng)的是出版了大量的動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的教材。見參考文獻(xiàn) 4-20,僅參考文獻(xiàn)中列出的2000年以后出版的教材就有 13種。動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要基礎(chǔ)是微分方程、差分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計和現(xiàn)代控制理論。所涉及的這幾個領(lǐng)域，自動化專業(yè)的學(xué)生 都有較好的基礎(chǔ)的，因此我們 有條件對這個領(lǐng)域感興趣，有條件對這個領(lǐng)域的問題進(jìn)行研究?，F(xiàn)僅就以下幾方面向大家介紹現(xiàn)代控制論在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。1.穩(wěn)定性、能控性與能觀測性在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用能控性和能觀測性與穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的三個非常重要的性質(zhì)，對

7、于研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 分析與控制，這三個性質(zhì)也是非常重要的。下面介紹經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性和能觀測性與穩(wěn)定性。(1)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性能控性是研究控制變量對系統(tǒng)的狀態(tài)能否產(chǎn)生影響的問題。對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)來說，它的能控性是政策變量或決策變量對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)生狀態(tài)能否產(chǎn)生影響的問題。這里政策變量、決策變量就是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的控制變量，例如政府支出，利率、貨幣發(fā)行 量、消費(fèi)策略都可以作為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的控制變量。1)典型經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性分析【例1線性價格調(diào)整模型的能控性考慮n種商品的價格調(diào)整模型Pi = iEDi(p1, Pn) i =1, ,n其中R是商品i的價格，Di(P1,，Pn)和S(Pi,，Pn)分別是商品i的需求函數(shù)和

8、供給函 數(shù)，EDi(P1, ,Pn) =Di(P1, , Pn)-Si(P1, , Pn)是商品i的過度需求，工是描述反應(yīng)速度的常數(shù)。Pi = iEDi(p1, , Pn) = Di(p1, , Pn) - Si(p1, , Pn) i = 1, ,n現(xiàn)假設(shè)需求函數(shù)和供給函數(shù)都是價格的線性函數(shù)。nDi(Pi, Pn) =、aj Pjaioj=1 nSi（Pi, , Pn） =bij Pj bi0j坦aio, bo-an。1bio9aio, bo-an。1bio9，n01 TOC o 1-5 h z Piip=： , A =aj, B =a,r=,:Pn -n-則n種商曲的亦格調(diào)整模型寫成矩陣形

9、式為p= r(A B) p+ ao - bo至此模型中還沒有引進(jìn)政策變量。如果在需求函數(shù)中引入一個能影響需求量的策略變量u,即假設(shè)nDi（d，, Pn）- aj Pj aio Uij =1比如目前的家電下鄉(xiāng)的優(yōu)惠政策就是一種能影響需求的策略變量。記U = UiUn T ,則價格調(diào)整模型化為P= r( AP= r( A)P aobou或者P= r(a B)p+ r(ao - bo)+ ru由參考文獻(xiàn)23的推論5-1 （教材現(xiàn)代控制理論 61頁第5題）只需討論系統(tǒng)p= r（a- B）p+ ru的能控性。對應(yīng)于該系統(tǒng)的能控性矩陣為U =（a- b）r （a - b）n-1 r如果工o i =1,，n

10、,則rank r = n ,因此U的秩為n,這個系統(tǒng)完全能控。【例2】寡頭壟斷模型的能控性設(shè)有N個公司壟斷某種產(chǎn)品的生產(chǎn)，設(shè)公司 i在周期k內(nèi)的產(chǎn)量為qi（k）,初始產(chǎn)量 qi（o）已知，i =1,，N。公司i以利潤最大化的原則決定自己的產(chǎn)量，在解公司i的利潤最大化問題時，公司i假設(shè)其他公司將保持前一周期的產(chǎn)量。這一假設(shè)稱為Cournot預(yù)期。公司i的利潤函數(shù)為i（q, ） = Pqi -弓式中p是商品的價格，Ci是公司i的成本函數(shù)。設(shè)Ci (qi ) = biq i - cip = aSq aCi (qi ) = biq i - cip = aSq a。bi . 0NSq 八 qiij于是公

11、司i的利潤最大化問題為：Nmax =a% qi (k) qi (k 1) a0qi(k 1) -bqi(k 1) g 11 l d這個利潤最大化問題的一階必要條件為:二 i，(k 1)N= 2aqi(k 1) aq ql(k) a0 -bi =011由上式可解出1 N b - anqi(k 1)、ql (k) -0i =1, ,N2 12al-i它是利潤最大化問題的解 q1,，qN必須滿足的差分方程組。為分析政府對寡頭壟斷市場控制的可能性，設(shè)政府可以依靠一個決策變量 場,例如稅收政策，出口補(bǔ)貼等，它可以使公司的單位產(chǎn)出的成本下降，這時公司 數(shù)改為：u(k)影響市i的成本函Ci(q) = (bi

12、 -u)qCi這時5,，qN滿足的差分方程組化為N b - u - anqi(k 1)ql(k)i =1, , Ny2a記x =(q1,，qn)T ,則得到寡頭壟斷系統(tǒng)的狀態(tài)方程組x(k 1) = Ax (k)其中一0_1 2IL-2b1 a0f =2a9N 一 a0-11 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark807 o Current Document 1,、系統(tǒng)x (k 1) = Ax (k)1u(t)系統(tǒng)2a的能控性矩陣為A NF1) HYPERLINK l bookmark830 o Current Document 11A NF1)，A(U1)2a2a

13、1 - N1-N1 21 d 1 1-N dU = -112a 2a 2即對公司i可以引進(jìn)策略變量ui 即對公司i可以引進(jìn)策略變量ui ,使其成本函數(shù)為Ci(qi) =(bi -Ui)qi Ci則模型修改為：1x(k 1) = Ax(k) f - u(k) 2a其中u(k)=U1(k) uN(k)，系統(tǒng)1x(k 1) = Ax(k)-u(k)2a的能控性矩陣為U - - I A AN2a 2a2aU的秩為N,該系統(tǒng)完全能控。這表明如果能對每個公司引進(jìn)一個策略變量影響它的成本函 數(shù)，就可以對寡頭壟斷系統(tǒng)進(jìn)行控制。2)使系統(tǒng)能控的最小政策手段集合設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為并假設(shè)它是能控的，其中 u =

14、u1,，UmT是政策手段向量，也就是說 政策手段有 m個。如 TOC o 1-5 h z 果政策手段減少到 m-1個，減少到m-2個，甚至減少地1個，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)還能控嗎？因為在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中使用政策手段是需要成本的，因此討論這個問題是有現(xiàn)實意義的。在以上系統(tǒng)中假設(shè)系統(tǒng)矩陣 A有n個線性無關(guān)的特征向量 1，% ,則1P = V1, vn0 I使得PAP= 三A0一于是微分方程組(3-2),經(jīng)變換y(t) =Px(t)化為1y = Px = P Ax + Bu = PAP y + PBu = Ay + PBu即y=阿+ PBu記F = PB = - fj ,于是上式可改寫為y1 -1 y1f11u1f

15、1 mu myn - nynfn1u1fnmum這個方程組中，每個方程只有一個狀態(tài)變量，稱為解耦形式。從這個解耦形式可以看出：該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是能控的充分必要條件是矩陣F沒有一個行向量為 0向量。由此出發(fā)，可以求使系統(tǒng)能控的最小政策手段集合。首先考慮一個政策手段 ui ,為檢驗單用ui時經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是否能控，考慮x = Ax b ui式中bi是矩陣B的第i歹U。這時方程 y=Ay+ PBu化為yi =必fiiuiyn n yn fni Ui由以上分析可以得出結(jié)論：如果矩陣F的第i列沒有0元素，那么該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是可以由一個政策手段U能控的。如果矩陣 F的所有列都有0元素，那么該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不能由一個政策手 段能

16、控。這時我們可以 用類似的方法討論能否用兩個政策手段進(jìn)行控制。3)輸出能控性和路徑能控性設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是x 二 Ax Bu輸出方程是y(t) =Cx (t)系統(tǒng)的輸出可以理解為我們能夠觀測到的經(jīng)濟(jì)變量，方程方程是這些經(jīng)濟(jì)變量用狀態(tài)變量表示的方程式。定義設(shè)yo是初始輸出向量，如果存在策略變量u(t)在有限時間tf將yo轉(zhuǎn)移到任意事先給定的輸出向量 y(tf) = yf,則稱yo是輸出能控的。如果對任意y0都是輸出能控的則稱 該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是 完全輸出能控的。關(guān)于輸出能控性有如下定理：定理經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax Buy(t) =Cx (t)輸出能控的充分必要條件是矩陣CB CAB CA2BCAn、

17、B的秩為r , r是輸出向量的維數(shù)。例2的寡頭壟斷模型中，其實控制總產(chǎn)量y = q +qn就可以了。這相當(dāng)于y =Cx, C=(1，,1),x =(qj，qn)T這時矩陣CB CAB CA2BCAn4B的秩為1,等于輸出向量的維數(shù)，因此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是輸出能控的。就是說，政府可以依靠一個決策變量u(k),例如稅收政策，出口補(bǔ)貼等，使公司的單位產(chǎn)出的成本下降，從而控制該產(chǎn)品的總產(chǎn)量。與輸出能控性相對應(yīng)前面定義的能控性稱為狀態(tài)能控性。狀態(tài)能控性和輸出能控性都是將系統(tǒng)控制到一個點，稱為點到點的能控性。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來看這是不夠的。 經(jīng)濟(jì)調(diào)控 的目的不僅是把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)控制到某一點，而且要求在一個時間區(qū)間

18、內(nèi)保持這一點， 或者進(jìn)一步使經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)按預(yù)定的路徑運(yùn)行，因為如果xf這不是均衡狀態(tài)，將經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)控制到這個狀態(tài)后，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)還會離開這個狀態(tài)。例如就業(yè)問題中，我們不僅要把就業(yè)水平控制到了一個理想的水平，而且要將它保持下去，這就提出了 路徑能控性 的問題。路徑能控性要求嚴(yán)格跟蹤已給的軌線。關(guān)于路徑能控性有如下定理：定理經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax Buy(t) =Cx (t)路徑能控的充分必要條件是矩陣 CB CABCA2nB0CBCA2T B00CBCAn-1 B的秩為(n 1)r , r是輸出向量的維數(shù)。【例3】Phillips模型為Y ,(:g，；)Y，:退二 Y - . - (?式中a是產(chǎn)出對超

19、額需求的調(diào)節(jié)速度，P是政府支出G對它的理想值(？的調(diào)節(jié)速度，0是邊際消費(fèi)傾向，a 0, P 0,0 s 1。引進(jìn)新的變量% =Y,X2 =Y,記x = & X2，u = (?,化為等價的一階微分方程組x = Ax Bu即x=01 ： x 0 u_(_:/;)該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的出變量為 x1 =Y ,因此輸出方程為y = Cx C = 1 01對于這個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)輸出能控就是能否通過政府支出能不能控制產(chǎn)出x1 =Y的問題。能控性矩陣0IU =B AB= I R R R yP otP (a co + P)的秩為2 (=n),由定理，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是能控的。矩陣CB CAB =0 I:娟(、小 - I：)aP0:

20、娟(、小 - I：)aP0:娟門一：娟(：心一 F)2一 o(P (a + P )aPCB CAB CA 2 B CA3 B 0 :0 CB CAB CA2 B =0 000CB CAB 0 0秩為3( = (n +1)r)，由定理，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是路徑能控的結(jié)論：Phillips模型對任何非0的參數(shù)a , P和任何國都是狀態(tài)能控，輸出能控和路徑能控的。即通過對公共支出的操縱可以不僅可以達(dá)到要求的產(chǎn)出水平，而且可以在有限時間內(nèi)保 持這一要求的水平。而且因為該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是路徑能控的可以依靠對公共支出的操縱使產(chǎn)出 沿任意要求的路徑運(yùn)動。例如要求產(chǎn)出的路徑為Yd(t) =Ye t正數(shù)6是要求的增長率，求一

21、個公共支出軌線(?(t)，使得在它的作用下由Phillips模型決定的產(chǎn)出Y(t) = Yd (t)。這樣我們的問題是求G?(t)使得微分方程Y ,(:紅，；)Y 、律u Y = ： : G?的解為Y(t) =Yd(t) =Y0e顯然G?(t)具有佻)=郵，的形式，將Y(t) =Y0e8和G?(t) =&e伊代入以上微分方程得到Y(jié)0e t 2:，:：(、：)、 = ；： G0e取P = 5 ,則由上式解得& =卜2 -噌：)：廣：Y0于是修=卜 2 : (;) ; /： -Y0et4)有約束條件時經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能控性定義設(shè)X0是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)初始狀態(tài)，如果存在策略變量U(t)wu使得在有限時間tf將它轉(zhuǎn)

22、移X(tf)=0,則稱x0是在約束條件下能控的。定理如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax Bu漸近穩(wěn)定并且能控性矩陣U =B AB A2B，An,B的秩為n,那么該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是在約束條件下能控的。Austria和Nigeria的小模型 x = Ax Bu這里Y,R,M分別是產(chǎn)出、利率和貨幣供給量。Austria：_ 0.2693 -17.404Austria：_ 0.2693 -17.404Tg 9.450-0-132.876B =1-1.30 -95.658矩陣 A 的特征值為 k = -0.3022, 2 = -8.8785 , rankBAB = 2Nigeria：A _ 0.535 -3110.50

23、71Nigeria：A _ 0.535 -3110.50710.191-189.610_010926.226| -1.30 1565.854矩陣 A 的特征值為 = 0.2264, % = -1.8643 , rankB AB = 2結(jié)論：兩個模型都是在約束條件下能控的(2)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測性在實際經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，狀態(tài)向量不一定能測量，能直接測量的是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸出。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測性是研究能否通過對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸出的觀測確定經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)的問題，因此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測性將涉及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸出方程。下面給出經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的能觀測性的定義：例4相關(guān)市場的能觀測性已給出相關(guān)市場的模型為p = r( A -B) p

24、+ a。-b0+u設(shè)該市場的觀測輸出為平均價格y(t)1T p(P1Pn)n n則能觀測性矩陣為V =- n1T11T r(a-b)-iT(r( a-b)V是一個n階方陣，該系統(tǒng)完全能觀測等價于方陣 V非奇異。當(dāng)V =- n1T11T r(a-b)-iT(r( a-b)V是一個n階方陣，該系統(tǒng)完全能觀測等價于方陣 V非奇異。當(dāng)1T 1( A-B)為一個常數(shù)乘 以1T時，V奇異，這時系統(tǒng)不完全能觀測。例5寡頭壟斷系統(tǒng)的能觀測性假設(shè)我們感興趣的只是產(chǎn)品的總產(chǎn)出量，選取y(k) =1T x：k) =Xi(k)Xn這時C=1 11T能觀測性矩陣為1T 1- N1T2A 2 J 一V的秩為1,系統(tǒng)不完全

25、能觀測。即由總產(chǎn)量的測量不能確定每個公司的產(chǎn)量。(3)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性經(jīng)濟(jì)學(xué)家希望所研究的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因為對于這樣的系統(tǒng)一旦偏離了它的均衡狀態(tài)可以返回均衡狀態(tài)。這相當(dāng)于要求經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 但是如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)能控，可以通過反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定， 系統(tǒng)穩(wěn)定化的問題。有些經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的，這是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的問題或稱經(jīng)濟(jì)在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題中，很多均衡狀態(tài)是鞍點。 對于二維系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)有兩個實特征值，一正一負(fù)，正特征值對應(yīng)的特征向量所在的過均衡點的直線稱為不穩(wěn)定臂,值對應(yīng)的特征向量所在的過均衡點的直線稱為穩(wěn)定臂。 沿著穩(wěn)定臂返回均衡狀態(tài)。當(dāng)初始狀態(tài)選在穩(wěn)定臂上時,負(fù)特征系統(tǒng)將1)二

26、維線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是由兩個常系數(shù)線性微分方程構(gòu)成的方程組描述的，下面就二維的情況進(jìn)一步討論關(guān)于動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的某些問題。設(shè)二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組為其中A二 a11_a21a22a)2顯然x = 0是它的均衡狀態(tài)，如果矩陣A可逆則x =0是該系統(tǒng)的唯一均衡狀態(tài)。設(shè)a有兩個不同的特征值八1人并假設(shè)V1, V2是與它們對應(yīng)的特征 向量，則二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組的通解為x=C1 v1e 1tC2v2e 2t下面僅對九i,九2為實數(shù)的幾種情況進(jìn)行分析：情況1兀，九2為不同的負(fù)實數(shù)當(dāng)tT8時，eT。，i =1,2。由解式知，當(dāng)tT8時，x(t)T0,即此時均衡 狀態(tài)x

27、=0是漸近穩(wěn)定的。這時所有從初始狀態(tài)出發(fā)的解都收斂到均衡狀態(tài)，這個均衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定結(jié)點。結(jié)點的特征是所有的軌線都通過這一點。情況2兀，九2為不同的正實數(shù)當(dāng)tT笛時，e為 T笛，i =1,2。由解式知當(dāng)tT笛時x (t)T笛，即此時均衡狀態(tài) X =0是不穩(wěn)定的。這個均衡狀態(tài)稱為 不穩(wěn)定結(jié)點。情況3九i為正實數(shù)，%為負(fù)實數(shù)前面關(guān)于穩(wěn)定性的定義要求從均衡狀態(tài)鄰近的任意初始狀態(tài)出發(fā)的的解都保持在均衡 狀態(tài)鄰近。由于 人為正實數(shù)，此時均衡狀態(tài)X = 0是不穩(wěn)定的。在二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組中經(jīng)常出現(xiàn)這種情況，這時經(jīng)濟(jì)學(xué) 家并不簡單地作出這個系統(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)論，而是做進(jìn)一步地分析。下面就對這一情況做進(jìn)一步的

28、分析。在通解x(t) = C1vle 1tC2v2e 2t中，由初始條件x (0) = C1vlC2v2決定C1C2 (兩個方程，兩個未知數(shù)的方程組)當(dāng)初始狀態(tài)x(0)位于v1所在的直線上時，由于從v1所在的直線出發(fā)的解滿足x (0) =C1v1 C2 v2而x(0)又位于vi所在的直線上，因此 C2 = 0,即解式化為x (t) = C1vle 1t這個解總保持在v 1所在的直線上，又由于 為正實數(shù)，所以當(dāng)t T g時e T 9 , 因此稱Vi所在的直線為該動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 不穩(wěn)定臂。當(dāng)初始狀態(tài)X位于V2所在的直線上時，由于從V2所在的直線出發(fā)的解滿足x (0) =CiVi C2 V2而x(0

29、)又位于V2所在的直線上，因此 Ci =0,即解式化為x(t) = C2v2e 2t這個解總保持在 V 2所在的直線上，并且由于九2為負(fù)實數(shù)，所以當(dāng)tT 8時e/T 0,因此 稱V2所在的直線為該動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 穩(wěn)定臂。對于從不在穩(wěn)定臂和不穩(wěn)定臂上的點(初始狀態(tài))出發(fā)的解由解式x(t) = C1 V1e 1tC2V2e 2t給出，在這個解中正特征值占優(yōu) 。從V1, V2上面出發(fā)的解的路徑和從 V1下面,上面出 發(fā)的解的路徑將趨向于 Vi的方向，這時解將趨向于正無限大； 從Vi, V 2下面出發(fā)的解的路徑 和從Vi上面,下面出發(fā)的解的路徑將趨向于 Vi相反的方向，這時解將趨向于負(fù)無限大。這 種情

30、況下經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點稱為 鞍點。圖i給出了相圖上各部位的點的走向，第一象限的粗箭頭是Vi ,另一個粗箭頭是 “。按穩(wěn)定性的定義，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點為鞍點時，由于有一個正的特征值，因而這個均衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。但對這種只有初始狀態(tài)在V 2所在的直線上時，解才返回均衡狀態(tài)的情況，常稱這個均衡狀態(tài)是 條件穩(wěn)定的。在研究這類經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)時，如果兩個變量中，一個變 量的初始值已給， 決策者能自由地選擇另一個變量的初始值，就可以選擇這個初始值，使得初始狀態(tài)在穩(wěn)定臂上，這時經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)就可以回到均衡狀態(tài)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中確有一些常見的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)是鞍點。例如在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長模型和投資模型中常出現(xiàn)均衡狀態(tài)是鞍點的情況。因此

31、概念。鞍點是動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的一個重要以下通過實例做進(jìn)一步說明。經(jīng)濟(jì)學(xué)中確有一些常見的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)是鞍點。例如在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長模型和投資模型中常出現(xiàn)均衡狀態(tài)是鞍點的情況。因此 概念。鞍點是動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的一個重要【例6】已給動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型X =0是它的均衡狀態(tài)。下面分析該動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先求該微分方程組的解。系統(tǒng)的特征方程為2-4 1 -1特征值 及=3相對應(yīng)的特征向量是24-1V1 =02二1-4 1 -1特征值 及=3相對應(yīng)的特征向量是24-1V1 =02的解V1所在的直線11為不穩(wěn)定臂。特征值 = -1相對應(yīng)的特征向量是一 24 4V2V2-2v2所

32、在的直線12為穩(wěn)定臂。該例的相平面分析見圖 3-3,解的路徑由圖中的箭頭給出，圖中第一象限的粗肩頭代表 向量V1 ,第四象限的粗肩頭代表向量v2。下面進(jìn)一步分析二維線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X 二 a HaX 二 a Ha1121a12Xa22它的特征方程為特征值為aiidet1特征值為aiidet1a21a2 Ia a22(a -(aIi a22) &ia22 - a12 a21 = 0(an a22)二 (an a22)- 4 a)i a22 一 a12a212因此二維線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：i ： ；，2 = (a11 a22)= tr A :二

33、 0和a11a22 a12a21= det A 0其中tr A表示矩陣A的跡，它的定義是矩陣A的對角線元素的和。于是得到二維線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的如下命題：命題1二維定常線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(全局)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為tr A 0 d e A 0由于上面的兩個特征值又可以表示為trA士 ,.： (trA)2 -4det A1,2 二2這表明當(dāng)且僅當(dāng)det A 0時，儲,%一個為正的實根，一個為負(fù)的實根，由此得到關(guān)于二 維線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點是鞍點的如下結(jié)論：命題2二維線性動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡點是鞍點的充分必要條件是det A : 0注多變量線性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的鞍點關(guān)于畛點的分析可以推廣到一般的n維線性

34、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)x = Ax如果系統(tǒng)矩陣 A有k個具有負(fù)實部的特征值， 有n - k個具有正實部的特征值， 則存在 包含均衡狀態(tài)的k維穩(wěn)定流形使得當(dāng)初始狀態(tài)位于該流形上時，系統(tǒng)的狀態(tài)將收斂到均衡狀態(tài)。當(dāng)初始狀態(tài)位于這個 k維穩(wěn)定流形以外時系統(tǒng)發(fā)散。2)二維系統(tǒng)的相平面分析及在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)分析中的應(yīng)用對于二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以通過相平面分析經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為，方法是繪制相圖。相圖是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間的演化及調(diào)節(jié)到均衡狀態(tài)的過程的圖形表現(xiàn)。相圖定性地給出我們需要的有關(guān)動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為的所有信息對于二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)分析是很有用的。 相圖分析是在相平面上進(jìn)行的， 因此適用于 具有兩個狀態(tài)變量的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。 由于

35、我們遇到的大量實例僅含有兩個狀態(tài)變量， 而且常常有 些函數(shù)并未具體給出，相圖分析就更顯得重要了。二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有兩個狀態(tài)變量，它們隨時間的演化由兩個微分方程描述：X1 二fX1 二f1(X1,X2)X2 二f2(X1,X2)這個微分方程組寫成向量形式為、KI :f1（X1,X2） x = f （x）x =f （x）=%-2（Xi,X2）-這樣的方程組稱為獨(dú)立的，因為它的右端獨(dú)立于時間。數(shù)學(xué)中稱為自治系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、時 不變系統(tǒng)等。相平面分析在狀態(tài)空間進(jìn)行，即在X1-X2平面上進(jìn)行。在X1 - X2平面上橫坐標(biāo)表示X1 ,縱坐標(biāo)表X2 X2。為了通過繪制相圖分析狀態(tài)隨時間的演化，需找出狀態(tài)變量隨時

36、間上升或下降 的區(qū)域具體做法是：令x1 =0,得到曲線l1 ： f1（Xi, X2） = 0設(shè)想方程組是描述兩種相關(guān)商品的市場，看第一種商品的市場， 當(dāng)X1 =0時，這個市場達(dá)到均衡。fi（Xi，X2）=0給出了第一種商品達(dá)到均衡時X1X2間的關(guān)系。沿曲線li , Xi = 0 ,曲線li稱為Xi的平穩(wěn)軌線，它將 平面分成兩個區(qū)域，在一個區(qū)域中X1 0 ,因而X1隨時間的增加而上升?？吹诙N商品的市場，當(dāng) X2 =0時，這個市場達(dá)到均衡。f2（X）,X2）=0給出了第二種商品達(dá)到均衡時X1X2間的關(guān)系。在X1-X2平面上令X2=0,得到曲線12： f2（Xi,X2）=0沿曲線12, X2 =0

37、,曲線12稱為X2的平穩(wěn)軌線，它將平面 Xi- X2分成兩個區(qū)域，在一個區(qū)域 中X2 0 ,因而X2隨時間的增加而上升。曲線li和曲線12的交點Xi =0和X2 =0同時成立，兩個市場同時處于均衡狀態(tài)，因而是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)記為(Xi，X2)0判斷的在Il哪邊的區(qū)域內(nèi)Xi0;X1; X1則表明在li的右側(cè)X； 0 , Xi(t)隨時間遞增，在li的左側(cè)Xi 0 , Xi(t)隨時間遞減。如果沿著li導(dǎo)數(shù)絲=1。fXijXi則表明在li的右側(cè)X；0, X(t)隨時間遞增。類似地，判斷的在l2哪邊的區(qū)域內(nèi)x2 07X2；：X2則表面在l2的上側(cè)X2 0 , X2(t)隨時間遞增，在l2的下側(cè)X2

38、 0 , X2(t)隨時間遞減。如果沿著l2導(dǎo)數(shù)2 = 2 0；：X2：X2則表明在l2的右側(cè)X2 0 , X2(t)隨時間遞增。相圖是在相平面Xi-X2平面繪制的，步驟如下:(1)令x1 =0得到Xi的平穩(wěn)軌線li ；令X2 = 0得到X2的平穩(wěn)軌線120 11與12的交點 為該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的均衡狀態(tài)。(2)分析在Xi的平穩(wěn)軌線li兩側(cè)Xi變化的方向并用箭頭(稱為相箭頭)標(biāo)出；分析在X2的平穩(wěn)軌線12兩側(cè)X2變化的方向并用箭頭標(biāo)出。方法是計算 空,如果;:Xi90表明當(dāng)X增加時Xi減小，因此在Xi的平穩(wěn)軌線li的使Xi增加的一側(cè)為 0 ,即當(dāng)x2 -2X1 + 9時，x1上升；當(dāng) -2xi -X

39、2 +9 M0時Xi -2xi+9時，x1下降。同樣當(dāng)x1 X2+30 時，即當(dāng) X2 0, X2上升，；當(dāng) Xi X2 + 3 0時，即當(dāng) X2 A Xi +3時，x2 0 , X2下降。于是得到描述兩個相關(guān)市場的行為的相圖 -圖2-9。如果已給經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(相關(guān)市場的兩種商品的初始價格)，則可以應(yīng)用圖 2-9定性地描繪出經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的相軌跡。例如當(dāng)初始狀態(tài)為xi(0) =2,x2(0) =2時，按相圖的相箭0,是水平方向，當(dāng)2-9所示的相軌線。0,是水平方向，當(dāng)2-9所示的相軌線。00.511.522.533.544.55頭所指的方向，再結(jié)合上面導(dǎo)出的“當(dāng)相軌跡穿過l2 （x2 =0）時

40、斜率為相軌跡穿過11 （乂 =0）時斜率為 9，是垂直方向”的結(jié)論，可以畫出圖2.最優(yōu)控制在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中最大量的問題是跨期（隔時）最優(yōu)化的問題。這一類的問題中，當(dāng)前的決策影響到未來的決策， 因此必須跨期進(jìn)行研究。 最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長問題是最典型的例子，本期多消費(fèi)是以犧牲未來的消費(fèi)為代價的。因此最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長問題是一個跨期最優(yōu)化問題。很多動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)教程都是集中討論跨期最優(yōu)化問題?？缙谧顑?yōu)化問題可以在連續(xù)時間的框架下進(jìn)行討論，也可以在離散時間的框架下進(jìn)行討論，本文將在連續(xù)時間的框架下進(jìn)行討論。由于連續(xù)時間跨期最優(yōu)化問題的求解或進(jìn)行定性分析，最終都?xì)w結(jié)為微分方程（組）的求解或?qū)ξ⒎址匠蹋?/p>

41、組） 進(jìn)行定性分析。因此，本文以連續(xù)時間跨期最優(yōu)化問題的求解和定 性分析為主線，將動態(tài)分析這中需要的微分方程（組）的有關(guān)結(jié)果納入其中。(1)跨期最優(yōu)化(最優(yōu)控制)問題的提法設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為x = f (x, u,t),x(to) = Xo其中X =x，X2，XnT是n維狀態(tài)向量,u =Ui，U2,，UmT為m維控制向量 或決策向 量。反映對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行控制的目的的目標(biāo)函數(shù)為tfJ( u) = L( x, u,t)dttoto,ti是最優(yōu)化實施的區(qū)間?？缙谧顑?yōu)化問題是：求最優(yōu)策略u (t)使得u (t)WU并使J u最 大，其中U是決策變量允許的集合。因為目標(biāo)函數(shù)J u依賴于函數(shù)u(t),

42、是函數(shù)u(t)的函數(shù)，常稱為稱為 目標(biāo)泛函。這里經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量有n個，決策變量有 m個，為了敘述簡單我們僅以一個狀態(tài)變量一個決策變量的情況介紹對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)分析的基本方法和步驟?？紤]如下的跨期最優(yōu)化問題：Tmax Ju = L(x(t),u(t),t)dt TOC o 1-5 h z u(.)0s.t. X = f (x(t),u(t),t) x(0) = XoXo是給定的狀態(tài)變量的初始值。(2)跨期最優(yōu)化的問題的解由最大值原理11162o,可以導(dǎo)出上面的跨期最優(yōu)化問題的最優(yōu)解滿足的必要條件，為敘述必要條件，先引進(jìn)Hamilton(哈密頓)函數(shù)： HYPERLINK l bookmar

43、k221 o Current Document H (x,u,%) = L(x,u) + 哥(x,u)(1)最優(yōu)解滿足的必要條件為：-:H 八二 0fuX = f (x(t),u(t) x(0) = Xo:H.X九稱為協(xié)狀態(tài)變量，(4)稱為協(xié)狀態(tài)方程。由(3)、(4)構(gòu)成的微分方程組稱為 正則方程 組或正規(guī)方程組。如果最優(yōu)策略受到約束，問題是求uW U ,使得目標(biāo)函數(shù) J(u)最大，在上面的必要條件中，條件(2)應(yīng)以H (x*,H (x*,入*, u*, t)=_H(x*,入*, u,t)u U取代。這個跨期最優(yōu)化的問題中， 狀態(tài)變量的終值沒有給定，稱為終端自由的跨期最優(yōu)化問題。當(dāng)狀態(tài)變量的終

44、端值也給定時，需以條件x(T) = xT代替條件.(T) = 0o終端是自由的跨期最優(yōu)化問題，應(yīng)用最大值原理求最優(yōu)策略的具體步驟如下：第1步：構(gòu)造系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)：H (x，入，u,t) = L(x,u,t) + 入 T f (x, u,t)第2步：應(yīng)用(2),由H空=0 (當(dāng)U沒有約束時)；:u或應(yīng)用(2)，由Max/H (x*,入*, u*, t) =H(x*,入*, u,t)(當(dāng)約束 uw U 時)u U導(dǎo)出決策變量u與狀態(tài)變量x和協(xié)狀態(tài)變量 人的關(guān)系，記為u = u(x,入)。第3步：寫出以下正則(正規(guī))方程組：x = f (x, u,t),x(t0)=x(0二 H1 入=入(tf)

45、= 0 x，將u =u(x,入)代入正則方程組解出x =x*(t),入=入*。)。第4步：將x = x * (t),入=入* (t)代入u =u (x，入)得到最優(yōu)策略u* =u(x* (t),入* (t) ) = u*(t)如果決策問題還要求滿足邊界條件x(tf) = xf ,則以x(tf) = xf取代正則方程組中條件Mtf) =0。為了具體說明以上方法，我們應(yīng)用最大值原理解一個基金會的最優(yōu)策略問題?！纠?】基金會的最優(yōu)策略問題某基金會獲得一筆基金 20萬元，準(zhǔn)備存入銀行在60年內(nèi)獎勵某些方面有特殊貢獻(xiàn)的人?；饡?zhǔn)備在第 60年留下3000元處理基金會的結(jié)束事務(wù)。假設(shè)每年取用的獎金在 1

46、.5萬元至4萬元之間，已知銀行的利率為年利10%,設(shè)計一個使用獎金的最優(yōu)策略，使基金會在60年內(nèi)從銀行取走作獎金的錢的總和最多。設(shè)基金會在銀行的存款數(shù)為x(t),每年取用的錢數(shù)為 u(t),則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x = 0.1x-u,x(0) = 2 0問題為求u(t)使x(60) =0.3,并使基金會內(nèi)從銀行取走作獎金的錢的總和60J(u) = u(t)dt 0 最大。這里u(t)是決策變量，它是定義在 (0,60)上的函數(shù)，J(u)是目標(biāo)泛函，這是一個典型 的跨期最優(yōu)化問題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常把這個問題簡記為：60Max1.5u(t)4Max1.5u(t)4J(u) = u(t)dt0st. x=

47、0.1x-u x(0) = 20 x(60)= 0.3下面應(yīng)用最大值原理解這個跨期最優(yōu)化問題：第1步：先寫出哈密頓函數(shù)H = u 0.1x - u = 0.1x1(1 - ,)u第2步：由最大值原理，u應(yīng)使哈密頓函數(shù)最大，為此應(yīng)取1.5當(dāng)1九0時，即九1時u* =4當(dāng)1 一九 0寸，即兒1時第3步：由于第二步中u只依賴于九，該問題的協(xié)狀態(tài)方程又不依賴于x ,因此我們可以直接解協(xié)狀態(tài)方程：, - -0.1,它的解為 (t) = -“下面分析 Mt)何時小于1,何時大于1。由以上(t)的解式知：如果九(0) 1 ,則在(0, 60)區(qū)間內(nèi)九(t)1,因此在(0, 60)區(qū)間內(nèi)u(t) =4 ,這時

48、 狀態(tài)方程的初始問題x=0.1x-4x(0)=20的解為x(t) u20e0.1t 40對于這個解，顯然 x(60) 1,因此開始時應(yīng)取u=1.5，解初始問題x =0.1x -1.5x(0) =20應(yīng)用MATLAB函數(shù) dsoke(Dx1=0.1*x1-1.5,x1(0)=20) ans = 15+5*exp(1/10*t) 得到軌線: x(t) =5(e0.1t 3)對于這個解 x(60) 0.3 ,因此最優(yōu)解必須在適當(dāng)?shù)臅r刻(記為 ts)由u* = 1.5切換到u* = 4,即最優(yōu)控制為:u*1.50 u*1.50 t tsts :二 t dsoke(Dx2=0.1*x2-4,x2(60)

49、=0.3) ans =40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)得到上面的終值問題解的軌線: x(t) =-39.7e00) 40下面求1i與12的交點對應(yīng)的時間ts ,為此需解方程5(e0.1ts 3) -39.7e0.1(20)40可以用MATLAB函數(shù)解這個方程： solve(15+5*exp(1/10*t)=40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6) ans =10*log(250/(50*exp(6)+397)+60這個式子的值可以直接由MATLAB算出： 10*log(250/(50*exp(6)+397)+60ans =15.8995u*問題的解表明切

50、換時間ts上16年，于是得到這個跨期最優(yōu)化問題的最優(yōu)策略 1.50 t 16u*、416t 60應(yīng)用此策略基金會從銀行取走的錢的總數(shù)為J =16父1.5 + 44父4 = 200 萬元應(yīng)用MATLAB的繪圖功能繪出的該例求切換時間的示意圖： TOC o 1-5 h z 200,180、.160 -I140 -120 -x 100 、.8060 -40 -r20,0 1EE1J0102030405060t例7表明，在跨期最優(yōu)化問題的求解過程中，實質(zhì)的運(yùn)算是求微分方程組的滿足初始條件和終端條件的解，有時輔以適當(dāng)?shù)膱D形，這些工作都可以由MATLAB完成。這個例就是依據(jù)最大值原理給出的必要條件，應(yīng)用M

51、ATLAB,采用人-機(jī)交互的方式完成的。應(yīng)用Matlab完成了 4件事：1求微分方程的初值問題的解，即求曲線 | 2求微分方程的終值問題的 解，即求曲線3解代數(shù)方程組，求Ii和l2的交點；4繪圖。哈密頓函數(shù)和協(xié)狀態(tài)變量在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動態(tài)最優(yōu)化問題中有明 顯的經(jīng)濟(jì)意義：如果目標(biāo)函數(shù)是總利潤，狀態(tài)變量是資本存量，則協(xié)狀態(tài)變量九為資本的影子價值(shadow value、邊際價值或影子價格。影子價值入的含義是在t時刻資本存量增加一個單位所引起的 利潤的最大值的增量。哈密頓函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義是瞬時利潤函數(shù)，即H(x,%u,t)N是系統(tǒng)達(dá)到最 優(yōu)時在區(qū)間t,t + &上的總的利潤增量。因此最大值原理要求使利潤

52、 最大的策略必使哈密頓函數(shù)達(dá)最大值，即MaxH(x*, 2*,u*,t)= H(x*,*u,t)u U由于很多跨期最優(yōu)化的問題的目標(biāo)函數(shù)中帶有貼現(xiàn)因子，我們考慮如下的跨期最優(yōu)化 的問題：max Ju =L(x(t),u(t)e-tdtu(.)0st. x = f (x(t), u(t) x(0) =Xo x(T)= Xt其中P是貼現(xiàn)率。Xo和Xt是給定的狀態(tài)變量的初始值和終端值。由最大值原理111620,可以導(dǎo)出這個問題的最優(yōu)解滿足的必要條件，為敘述必要條件引進(jìn)當(dāng)值Hamilton(哈密頓)函數(shù):H (x,u,九)=L(x,u) + 知(x,u)(5)則最優(yōu)解滿足的必要條件為:(6).:H:u

53、(6)X = f (x(t),u(t) X(0)=X0 X(T)=Xt(7)X如果已知函數(shù) L(.)和f (.)的具體形式，我們可以用上面給出的四步解法求出最優(yōu)策 略。但是在很多經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，并沒有給出函數(shù)L(.)和f(.)的具體形式，只是由它們的經(jīng)濟(jì)含義，可以得知它們具有某些性質(zhì)。這時我們雖然不能象例1那樣求出跨期最優(yōu)化問題的解，但是我們?nèi)匀荒軌驈暮瘮?shù)L(.)和f (.)的這些性質(zhì)出發(fā)得到跨期最優(yōu)化問題的解的某些定性的結(jié)果。(3)局部穩(wěn)定性分析對以上跨期最優(yōu)化問題的定性分析是在關(guān)于函數(shù)L(.)和f (.)的某些假設(shè)下進(jìn)行的，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中常遇到的函數(shù)L(.)和f(.)經(jīng)常滿足這些假設(shè)條件。這些條件

54、是：函數(shù)L(.)和f (.)連續(xù)可微，并且滿足以下條件Lxx(x,u)：二0 Luu(X,u)；0 Lux(x,u)=0fXX(X,u) 0 fuu(x,u) 0 fux(x,u)=0在現(xiàn)代控制論第6章的例(p.16,p.135)中講了最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長問題： 狀態(tài)方程為k = f (k)-c(t) -(、 r)k x(0) = X0 目標(biāo)函數(shù)為效用的貼現(xiàn)值J(C)= 0 6一%(則)出消費(fèi)C(t)應(yīng)滿足約束條件0 c(t) f (k) 最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長問題是求c(t)使效用的貼現(xiàn)值 J(c)最大。U (C)是消費(fèi)的效用函數(shù)，它具有邊際效用遞減的性質(zhì)，即 U (C) 0 ,在這里相當(dāng)于 條件Luu(x,

55、u) 0,并且被積函數(shù)不依賴于狀態(tài)變量，這相當(dāng)于條件Lux(x,u) = 0。f(k)是生產(chǎn)函數(shù)，它也具有邊際產(chǎn)出遞減的性質(zhì)，即 f(k)0,因此狀態(tài)方程的右端函數(shù)滿足fxx(x,u) 0o再由于假設(shè)了 Luu(x,u)0和 Lu(x,u)0,得到Huu(x,u, ) = Luu(x,u)u(x,u)：二 0這是跨期最優(yōu)化問題的充分條件，這個條件滿足時由必要條件(5)-(8)導(dǎo)出的解必是跨期最優(yōu)化問題的解。對于跨期最優(yōu)化問題進(jìn)行定性分析主要依賴于x-K平面上的相圖或 x - u平面上的相圖。為了畫出X-九平面上的相圖，首先需要在正則方程組(7)、(8)中消去U,得到關(guān)于X、%的方程組或者關(guān)于

56、X、u的方程組。由于它們都是源自必要條件(5) - (8),因此進(jìn)行分析時，不論從哪個方程組出發(fā)都會得到相同的結(jié)果。由假設(shè)Lux(x,u)=0和fux(x,u) =0,條件(6)化為二 H二 L二f一.= Lu(u) +Mu(u) =0(6):ufufu由于Huu(x,u,九)0 ,因此對方程(6)可以應(yīng)用隱函數(shù)定理，得到u=u?(入)，代入正則方程組(7)、(8)中消去u ,即得到關(guān)于x、兒的方程組。由假設(shè)Lux(x,u)=0和fux(x,u) =0,方程(8)可以改寫為H1- =- - fx(x) , - Lx(x)二 x于是得到正則方程組 TOC o 1-5 h z HYPERLINK

57、l bookmark229 o Current Document x = f (x(t),u?(九)x(0)=x。 x(T)=xt(9)?：=B fx(x)口 Lx(x)(10)下面的問題是：假設(shè)正則方程組存在穩(wěn)態(tài)解，分析穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性。求正則方程組的穩(wěn)態(tài)解，是在(9)中令x = 0,在(10)中令4 = 0得到代數(shù)方程組(11)(10)。線f(x(t)M,)=0- fx(x)-L(11)(10)。線代數(shù)方程組(11)、(12)的解就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解 ，記為xs、Zso分析方程組(9)、 的穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性的方法是 在穩(wěn)態(tài)解鄰近線性化，然后分析得到的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 性化以后得到的線性方程組的系數(shù)

58、矩陣是代數(shù)方程組(11)、(12)的雅可比矩陣：(13)_fx(xs)fu (乳 s)l?s)(13)b-sfxx(xs)-Lxx(xs)-fx(xs)x=xs,九步可以利用以下定理進(jìn)行穩(wěn)定性分析：局部穩(wěn)定性定理假設(shè)二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程組x = f (x)x = x1 x2Tf = f1 f2T如果對該方程組在均衡狀態(tài)附近線性化得到的線性微分方程組，均衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則原非線性系統(tǒng)的均衡狀態(tài)是(局部)漸近穩(wěn)定的。tr A 0 d e A 0局部鞍點定理假設(shè)二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程組Tx = f (x)x =xi X2設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可微，那么在某均衡點 x

59、的鄰近可以做Taylor展開，得到線性化的微分方 程組x = A(x - X)式中_421aaijXi 三_421aaijXi 三XiX2 =X2i, j =1,2如果det A 0 ,則存在解xi(t), X2 (t)收斂到均衡狀態(tài) x ,與過點x平行于對應(yīng)于負(fù)特征值 的特征向量的直線相切。對于這里的動態(tài)最優(yōu)化問題均衡鐵機(jī)條件是局部鞍點的條件是：A= fX堂det A 0一漢 丸-Xd,7TsOlech (奧利奇)定理已給二維經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)Tx = f (x) x =X1 X2如果對所有x , tr A 0 , a11a22豐0或者a12a21豐0 ,則原非線性系統(tǒng)的均 衡狀態(tài)是(全局)漸近穩(wěn)定的

60、。這里 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark331 o Current Document A/ ,an電tfi( x).A( x)=, aj1, j =1,2 HYPERLINK l bookmark333 o Current Document 21 a22_/上對于這里的動態(tài)最優(yōu)化問題均衡鐵機(jī)條件是局部鞍點的條件是：|1X.Xa = a.諉.生旦J&Xa一進(jìn)一步假設(shè)fX(XS)0,則J(XS,九)的(1, 1)元素為負(fù)，(2, 2)元素為正。由Lxx(x,u) 0 fXX(X,u) 0,得出(2, 1)元素為正，式(6)關(guān)于九求導(dǎo)數(shù)，得到(?() =-九(我)