大學數(shù)學(高數(shù)微積分)第四章矩陣第六節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容第六節(jié) 初 等 矩 陣初等矩陣的定義初等矩陣的性質兩個矩陣的等價關系求逆矩陣的初等行變換法三種初等變換對應著三種初等矩陣.一 、初等矩陣的定義定義 13 由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.這一節(jié)我們來建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系，并在這個基礎上，給出用初等變換求逆矩陣的方法.等矩陣, 記為 P( i , j ) .第 i 行第 j 行1. 對調兩行或對調兩列把單位矩陣中第 i , j 兩行對調 ( ri rj ), 得初得初等矩陣, 記為 P( i(c) ) .2. 以數(shù) c 0 乘某行或某列以數(shù) c 0 乘單位矩陣 E 的第 i 行 ( ri c ) ,第

2、 i 行初等矩陣, 記為 P( i , j(k) ) .3. 以數(shù) k 乘某行(列)加到另一行(列)上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj )或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) , 得第 i 行第 j 行第 i 列第 j 列的右邊乘以相應的 n 級初等矩陣.二、初等矩陣的性質引理 設 A 是一個 s n 矩陣, 對 A 施行一次初等行變換, 相當于在 A 的左邊乘以相應的 s 級初等矩陣;對 A 施行一次初等列變換, 相當于在 A 證明我們只看行變換的情形，列變換的情形可同樣證明.令 B = ( bij ) 為任意一個 s

3、s 矩陣,A1 , A2 , , As 為 A 的行向量.由矩陣的分塊乘法,第 i 行第 j 行特別，令 B = P( i , j ) , 得這相當于把 A 的 i 行與 j 行互換.第 i 行第 j 行令 B = P( i (c) ) , 得第 i 行這相當于用 c 乘 A 的第 i 行.令 B = P( i , j(k) ) , 得這相當于把 A 的 j行的 k 倍加到 i 行.1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2) 3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ).推論 初等矩陣都是可逆知陣, 且 在第二章第五節(jié)我們看到，用初等變換可以化簡矩陣

4、.如果同時用行與列的初等變換，那么還可以進一步化簡.為了方便，我們引入：定義 14 矩陣 A 與 B 稱為等價，如果 B 可以由 A 經(jīng)過一系列初等變換得到.三、兩個矩陣的等價關系1. 定義 2. 等價關系的性質 (i) 反身性 A A; (ii) 對稱性 若 A B, 則 B A; (iii) 傳遞性 若 A B, B C, 則 A C.記為 A B .4. 矩陣與其標準形的關系定理 5 任意一個 s n 矩陣 A 都與它的標準形等價，并且其標準形的主對角線上 1 的個數(shù)等于矩陣 A 的秩 ( 1 的個數(shù)可以是零) .證明如果 A = O，那么它已經(jīng)是標準形了.以下無妨假設 A O .經(jīng)過初

5、等變換，A 一定可以變成一左上角元素不為零的矩陣.當 a11 0 時，把其余的行減去第一行的( i = 2, 3, , s ) 倍，其余的列減去第一列的( j = 2, 3, , s ) 倍.然后，用乘第一行，A就變成A1 是一個 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩陣.對 A1 再重復以上的步驟.這樣下去就可得出所要的標準形.顯然，標準形矩陣的秩就等于它主對角線上 1的個數(shù).而初等變換不改變矩陣的秩，所以 1 的個數(shù)也就是矩陣 A 的秩.證畢例 1 任意輸入一個矩陣，用初等變換把它化為標準形.單 擊 這 里 開 始5. 兩個矩陣等價的充要條件根據(jù)引理，對一矩陣作初等變換相當于用相應的

6、初等矩陣去乘這個矩陣.因此，矩陣 A，B 等價的充分必要條件是有初等矩陣 P1 , , Pl , Q1,Qt使A = P1 P2 Pl B Q1 Q2 Qt . (1)n 級可逆矩陣的秩為 n ，所以可逆矩陣的標準形為單位矩陣；反過來顯然也是對的.由 (1) 即得定理 6 n 級矩陣 A 為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：A = Q1 Q2 Qm . (2) 由此即得推論 1 兩個 s n 矩陣 A，B 等價的充分必要條件是，存在可逆的 s 級矩陣 P 與可逆的 n 級矩陣 Q 使A = PBQ .推論 2 可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列的初等行變換化成單位矩陣.證明設 A 為可逆矩

7、陣，則由定理 6 知，存在初等矩陣 Q1 , Q2 , , Qm 使A = Q1 Q2 Qm ,把它改寫一個，有Qm-1 Qm -1-1 Q1-1A = E .因為初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，同時在矩陣 A 的左邊乘初等矩陣就相當于對 A 作初等行變換，所以結論得證.證畢用分塊矩陣形式, (i)、(ii) 兩式可合并為:四、求逆矩陣的初等行變換法當 |A| 0 時, 由 A = P1P2 . Pl , 有Pl-1Pl-1-1 . P1-1A = E, (i)及 Pl-1Pl-1-1 . P1-1E = A-1. (ii)(i) 式表明 A 經(jīng)一系列初等行變換可變成 E , (ii)式表明 E

8、 經(jīng)這同一系列初等行變換即變成 A-1 . Pl-1Pl-1-1 . P1-1(A E) = ( E A-1) ,求矩陣 A-1B. 由 A-1(A B) = (E A-1B)可知, 若對矩陣(A B)施行初等行變換, 當把A 變?yōu)?E 時, B 就變?yōu)?A-1B.A變成 E 時, 原來的 E 就變成 A-1 .即對 n 2n 矩陣 (A E) 施行初等行變換, 當把利用初等行變換求逆矩陣的方法, 還可用于 例 2 設矩陣用初等行變換法, 判斷 A 是否可逆? 若可逆, 求 A-1. 解單 擊 這 里 開 始所以 例 3 任意輸入一個 3 級矩陣 A , 判斷其是否可逆, 若可逆, 求其逆矩陣

9、 A-1 . 解所以單 擊 這 里 開 始 例 4 任意輸入一個 4 級矩陣 A , 判斷其是否可逆, 若可逆, 求其逆矩陣 A-1 . 解所以單 擊 這 里 開 始 例 5 用初等行變換法解矩陣方程 AX = B ,解初等行變換故其中本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.

10、本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按