2016考研數(shù)學(一二三)真題解析

1、BornToWin2016考研數(shù)學（一）真題及答案分析考研復習最重要的就是真題，所以跨考教育數(shù)學教研室為考生供給2016考研數(shù)學一的真題、答案及部分分析，希望考生能夠在最后沖刺階段經(jīng)過真題查漏補缺，迅速有效的備考。一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項切合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定地點上.（1）設xn是數(shù)列以下命題中不正確的選項是（）（A）若limxna，則limx2nlimx2n1annn（B）若limx2nlimx2n1a，則limxnannn（C）若limxna，則limx3nlimx2n1annn（D）若limx3nlimx3n1

2、a，則limxnannn【答案】（D）（2）設y1e2x(x1)ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yaybycex的一個23特解，則（A）a3,b2,c1（B）a3,b2,c1（C）a3,b2,c1（D）a3,b2,c1【答案】（A）【分析】將特解代入微分方程，利用待定系數(shù)法，得出a3,b2,c1。應選A。（3）若級數(shù)anxn在x2處條件收斂，則x3與x3挨次為冪級數(shù)nan(x1)n的n1n1（）（A）收斂點，收斂點（B）收斂點，發(fā)散點（C）發(fā)散點，收斂點（D）發(fā)散點，發(fā)散點【答案】（A）【分析】因為級數(shù)anxn在x2處條件收斂，所以R2，有冪級數(shù)的性質，n1nan(x1)n的收斂半徑也為R2

3、，即x13，收斂區(qū)間為1x3，則收斂域為n1BornToWin1x3，從而x3與x3挨次為冪級數(shù)n1nan(x1)n的收斂點，收斂點，應選A。（4）以下級數(shù)發(fā)散的是（）（A）n18nn（B）11)nln(1n1n（C）(1)n1lnnn2（D）n!1nnn【答案】（C）【分析】（A）Snu1u2.un12.n，8828n1(122.n711.1nSn81n)7nSn)838n1Sn8828n8n1(1()8n，888498limSn8存在，則收斂。n49(B)un1ln(11:11收斂，所以（B）收斂。)33nnn2n1n2（C）(1)n1(1)n1，因為(1)n,1分別是收斂和發(fā)散，所以n2

4、lnnn2lnnn2lnnn2lnnn2lnn(1)n1發(fā)散，應選（C)。n2lnnn!unnn（D)un1lime11，所以收斂。n,limnnunnn11111（5）設矩陣A12a,b，若會合1,2，則線性方程組Axb有無量14a22多解的充分必需條件為（）（A）a,（B）a,（C）a,（D）a,【答案】（D）【分析】Axb有無量多解rArA3,A0，即(a2)(a1)0，從而BornToWina1或a2111M1111M1當a1時，A121M010M1141M2000M232從而232=0=1或=2時Axb有無量多解11M111M111當a2時，A122M011M1144M2000M23

5、2從而232=0=1或=2時Axb有無量多解所以選D.（6）二次型f(x1,x2,x3)在正交變換xPy下的標準形為2y12y22y32，此中P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，f(x1,x2,x3)在正交變換xQy下的標準型為（）（A）2y12y22y32（B）2y12y22y32（C）2y12y22y32（D）2y12y22y32【答案】（A）【分析】由已知得f(x1,x2,x3)YTPTAPY2y12y22y32，QPE23E2(1)，從而f(x1,x2,x3)YTQTAQYYTE2T(1)E23TPTAPE23E2(1)Y100YTE2(1)E23PTAPE23E2(1)

6、Y2y12y22y32，此中E23001，010100E2(1)010均為初等矩陣，所以選A。001（7）若A,B為隨意兩個隨機事件，則（A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B)（C）P(AB)P(A)P(B)2（D）P(AB)P(A)P(B)2【答案】（C）BornToWin【分析】清除法。若AB，則P(AB)0，而P(A),P(B)未必為0，故P(A)P(B)P(AB),P(A)P(B)P(AB)，故B,D錯。2若AB，則P(AB)P(A)P(A)P(B)，故A錯。（8）設整體XB(m,),X1,X2,X3為來自該總的簡單隨機樣本，X為樣本均值，則nX)2E(Xii1

7、（A）(m1)n(1)（B）m(n1)(1)（C）(m1)(n1)(1)（D）mn(1)【答案】（B）【分析】1En1n2XiXDXm(1)ES2i1n2EXiX1)(1)m(ni1二、填空題(914小題，每題4分，共24分請將答案寫在答題紙指定地點上)ln(cosx)_.（9）limx2x0【答案】12lncosxsinx1sinx1【分析】limcosxx2lim2xlim2x0 x02x0 xcosx(10)2sinxxdx_.12cosx2【答案】4【分析】sinx2sinxsinxdx222xdxdx2xdx202xdx21cosx21cosx221cosx4(11)若函數(shù)zzxyz

8、xcosx2確立，則dz(0,1)_.z(x,y)有方程e【答案】dx【分析】對ezxyzxcosx2兩邊分別對于x,y,z求偏導，并將(0,1)這個代入，獲得z1,zBornToWin(0,1)(0,1)0，所以dz(0,1)dx。xy（12）設是由xyz1與三個坐標平面所圍成的空間地區(qū)，則x2y3zdxdydz【答案】14【分析】由對稱性，1x2y3zdxdydz6zdxdydz6zdzdxdy,0DZ此中Z為平面zz截空間地區(qū)所得的截面D其面積為1(1z)22所以：x2y3zdxdydz6zdxdydz112dz1z32z216z(1z)3zdz020420L0212L02(13)n階隊

9、列式MMOMM_00L2200L12【答案】2n12【分析】按第一行睜開得BornToWin20L0212L02DnMMOMM00L2200L122Dn1(1)n12(1)n12Dn122(2Dn22)222Dn22222n2n1L22n12（14）設二維隨機變量X,Y聽從正態(tài)散布N(1,0;1,1;0),則PXYY0.【答案】1.2PXYY0PX1Y0PX10,Y0PX10,Y0【分析】由XY0,故X,Y獨立。PX10PY0PX10PY0.11111.22222三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定地點上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）設函數(shù)f(x)xa

10、ln(1x)bxsinx,g(x)kx3,若f(x)與g(x)在x0時為等價無量小，求a,b,k的值?！痉治觥坑深}意，f(x)lim10g(x)xaln(1x)bxsinx1lim3x0kxxa(xx2/2x3/3o(x3)bx(xx3/6o(x3)limx3kx0(a1)x(ba/2)x2ax3/3bx4/6o(x3)o(x4)limx3kx0a1,b1/2,k1/3BornToWin（16）計算二重積分x(xy)dxdy，此中D(x,y)x2y22,yx2。D【分析】Ix(xy)dxdyx2dxdyxydxdy2x2dxdy，DDDD1此中D1(x,y)x2y22,yx2,x0，x2dxd

11、y12x22。則Ix(xy)dxdy22dx2x2dyDD10 x45（17）已知函數(shù)f(x,y)xyxy,曲線C:x2y2xy3,求f(x,y)在曲線C上的最大方導游數(shù)【分析】因為f(x,y)沿著梯度的方向的方導游數(shù)最大，且最大值為梯度的模fx(x,y)1y,fy(x,y)1x,gradf(x,y)1y,1x,模為(1y)2(1x)2,本題目轉變?yōu)閷瘮?shù)g(x,y)(1y)2(1x)2在拘束條件C:x2y2xy3,下的最大值，即為條件極值問題。本問題能夠轉變?yōu)閷(x,y)(1y)2(1x)2在拘束條件C:x2y2xy3,下的最大值，結構函數(shù)f(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3

12、)Fx2(1x)(2xy)0Fy2(1y)(2yx)0Fx2y2xy30M1(1,1),M2(1,1),M3(2,1),M4(1,2),d(M1)8,d(M2)0,d(M3)9,d(M4)9,93.故最大值為3.（18）設函數(shù)f(x)在定義域I上的導數(shù)大于0，若對隨意的x0I，曲線yf(x)在點(x0,f(x0)處的切線與直線xx0及x軸所圍成地區(qū)的面積恒為4，且f(0)2，求f(x)的表達式?！痉治觥縴f(x0)f(x0)(xx0)BornToWinyf(x0)(xx0)f(x0)x0 x0f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)dx4f(x0)解得：3y2dydx分別變量可得：13xcy因

13、為y(0)2所以1c22綜上f(x)16x19、已知曲線L的方程為z2x2y2，起點為A(0,2,0)，終點為B(0,2,0),計zx算曲線積分IL(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dzxcos【分析】由題意假定參數(shù)方程y2sin,:2zcos22(2sincos)sin2sincos1sin2sind222sin2cossin1sin2sind2222sin2d202（20）向量組a1,a2,a3是R3的一個基，b1=2a1+2ka3,b2=2a2,b3=a1+(k+1)a3,（）證明b1,b2,b3為R3的一個基；（）當k為什么值時，存在非零向量e在基a1,a2,a3與基b1,b2

14、,b3下的坐標同樣，并求所有的e.【分析】（）證明：BornToWin2011,2,3212k3,22,1k13=1,2,30202k0k1a1,a2,a3是R3的一個基a1,a2,a3線性沒關，即r(a1,a2,a3)=3201r1,2,3r0202k0k1201又Q020=4?02k0k+1201r1,2,3r020=32k0k1b1,b2,b3線性沒關，為R3的一個基（）由已知設e=k1a1+k2a2+k3a3=k1b1+k2b2+k3b3,e?0k1(b1-a1)+k2(b2-a2)+k3(b3-a3)=k1(a1+2ka3)+k2a2+k3(a1+ka3)=0k1有非零解，即12k3

15、,2,1k3k20有非零解k3101所以a1+2ka3,a2,a1+ka3=a1,a2,a3010=02k0k101010=0k02k0k從而k1a1+k2a2+k3a1=0BornToWink2=0,k1=-k3k11k130,k10023120（21）設矩陣A133相像于矩陣B0b0。12a0311）求a,b的值。2）求可逆矩陣P，使P1AP為對角矩陣?！痉治觥浚?）120BE0b0(1)2(b)0031121,3b23AE13312a由(1)2(a2)2a3ABA,B特點值同樣2(a2)2a3（）(2a3),1得a4,35,故b5023（2）由（1）得A133，此中特點值121,35，1

16、2423當121時，解(AE)x0方程的基礎解系為11,20；011當35時，解(A5E)x0方程的基礎解系為31，11從而(A1,A2,A3)(1,2,53)A(1,2,3)(1,2,3)1，5BornToWin231因為1,2,3線性沒關，所以令P1,2,3可逆，即P101，使得0111P1Ap1。5（22）設隨機變量X的概率密度為f(x)2xln2x0，對X進行獨立重復的觀察，0 x0直到第2個大于3的觀察值出現(xiàn)為止，記Y的觀察次數(shù)。1）求Y的概率散布。2）求EY?！痉治觥浚?）f(x)2xln2,x0，0,x0pPX332xln2dx1817n22n2所以Y的概率散布為117PYnCn

17、188(n1)88,n2,3L127n217（2）EYn(n1)n(n1)n28864n28令x2S(x)n(n1)xn2S1(x)nxn2S2(x)S1(t)dtxnx，n2n2，0n21xx22xx221x22x(2x)S1(x)S(x)S1(x)2，31x1x1x17EYS166481（23）設整體X的概率密度為f(x;)1x1，此中為未知參數(shù)，0其余X1,X2,.,Xn為隨機樣本。BornToWin（1）求的矩陣預計量；2）求的最大似然預計量?！痉治觥?）111x21EXxf(x;)dxxdx01120（2）設X1,X2,.,Xn為觀察值，則1?2X1。2EX12nnL()f(xi;)

18、i1i111xi1,i1,2,.,n1(1)n0其余l(xiāng)nL()nln(1),xidlnL()1n1,i1,2,.,n，n10，取d1?minXi。BornToWin2016年考研數(shù)學二真題與分析一、選擇題18小題每題4分，共32分1當x0時，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高階的無量小，則的可能取值范圍是（）（A）(2,)（B）(1,2)（C）(1,1)（D）(0,1)221122【詳解】ln(12x)2x階無量小，(1x，是cosx)1是階無量小，由21題意可知21所以的可能取值范圍是(1,2)，應當選（B）2以下曲線有漸近線的是（A）yxsinx（B）yx2sinx（C）yxsin

19、1（D）yx2sin1xx【詳解】對于yxsin1，可知limy1且lim(yx)limsin10，所以有斜漸xxxxxx近線yx應當選（C）3設函數(shù)f(x)擁有二階導數(shù)，g(x)f(0)(1x)f(1)x，則在0,1上（）（A）當f(x)0時，f(x)g(x)（B）當f(x)0時，f(x)g(x)（C）當f(x)0時，f(x)g(x)（D）當f(x)0時，f(x)g(x)【剖析】本題考察的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】假如對曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義比較熟習的話，能夠直接做出判斷明顯g(x)f(0)(1x)f(1)x就是聯(lián)接(0,f(0),(1,f(1)兩點的直線方程故當f(x)0

20、時，曲線是凹的，也就是f(x)g(x)，應當選（D）BornToWin【詳解2】假如對曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義不熟習的話，可令F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，則F(0)F(1)0，且F(x)f(x)，故當f(x)0時，曲線是凹的，從而F(x)F(0)F(1)0，即F(x)f(x)g(x)0，也就是f(x)g(x)，應當選（D）4曲線xt27,上對應于t1）1的點處的曲率半徑是（yt24t（）10（）10(）1010（）51050100【詳解】曲線在點(x,f(x)處的曲率公式Ky，曲率半徑R1(1y2)3K，d2y21本題中dx2t,dy2t4，所以dy2t41

21、2t2，dtdtdx2ttdx22tt3對應于t1的點處y3,y1，所以Ky1，曲率半徑(1y2)3101011010RK應當選（C）25設函數(shù)f(x)arctanx，若f(x)xf()，則limx2（）x0（）1（）2（）1（）1323【詳解】注意（1）f(x)12，（2）x0時,arctanxx1x3o(x3)1x3因為f(x)xf()所以可知f()1f(x)arctanx2xarctanx12xx，(arctanx)2，2xarxtanxx(x1x3)o(x3)1limlim3limx)2x33x0 x2x0 x(arctanx0BornToWin6設u(x,y)在平面有界閉地區(qū)D上連續(xù)

22、，在D的內部擁有二階連續(xù)偏導數(shù)，且知足2u2u2u0，則（）0及x2y2xy（A）u(x,y)的最大值點和最小值點必然都在地區(qū)D的界限上；B）u(x,y)C）u(x,y)的最大值點和最小值點必然都在地區(qū)D的內部；的最大值點在地區(qū)D的內部，最小值點在地區(qū)D的界限上；（D）u(x,y)的最小值點在地區(qū)D的內部，最大值點在地區(qū)D的界限上【詳解】u(x,y)在平面有界閉地區(qū)D上連續(xù)，所以u(x,y)在D內必然有最大值和最小值并且假如在內部存在駐點(x0,y0)，也就是uu0，在這個點處xyA2u2,C2u2,B2u2u，由條件，明顯ACB20，明顯u(x,y)不是xyxyyx極值點，自然也不是最值點，

23、所以u(x,y)的最大值點和最小值點必然都在地區(qū)D的界限上所以應當選（A）0ab0a00b7隊列式cd等于00c00d（A）(adbc)2（B）(adbc)2（C）a2d2b2c2（D）a2d2b2c2【詳解】0ab0a0ba0ba00badabbcaba0d0b0c0(adbc)20cd0c0dc0dcdcdc00d應當選（B）8設1,2,3是三維向量，則對隨意的常數(shù)k,l，向量1k3，2l3線性沒關是向量1,2,3線性沒關的（A）必需而非充分條件（B）充分而非必需條件BornToWin（C）充分必需條件（D）非充分非必需條件【詳解】若向量1,2,3線性沒關，則10（1k3，2l3）(1,2

24、,3)01(1,2,3)K，對隨意的常數(shù)k,l，矩kl陣K的秩都等于2，所以向量1k3，2l3必定線性沒關100而當10,21,30時，對隨意的常數(shù)k,l，向量1k3，2l3線性000沒關，但1,2,3線性有關；應選擇（A）二、填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）11dx922xx5【詳1arctan1|1解】11dx1dxx1()3x22x5(x1)2422242810設f(x)為周期為4的可導奇函數(shù)，且f(x)2(x1),x0,2，則f(7)【詳解】當x0,2時，f(x)2(x1)dxx22xC，由f(0)0可知C0，即f(x)x22x；f(x)為周期為4奇函

25、數(shù)，故f(7)f(1)f(1)111設zz(x,y)是由方程e2yzxy2z7確立的函數(shù)，則dz|1,1422【詳解】設F(x,y,z)e2yzxy2z7，F(xiàn)x1,Fy2ze2yz2y,Fz2ye2yz1，4BornToWin當xy1時，z0，zFx1，zFy1，所以2xFz2yFz2dz|1111dydx2,22212曲線L的極坐標方程為r，則L在點(r,),處的切線方程22為xr()coscos【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程yr()sin，于是在處，sin2x0,y，dy|sincos|2，則L在點(r,),處的切線方程2dx2cossin222為y2(x0)，即y2x2.2131的細棒

26、位于x軸的區(qū)間0,1上，若其線密度(x)x22x1，則該細一根長為棒的質心坐標x113211x(x)dx(x2xx)dx1211【詳解】質心坐標x0011(x250(x)dx02x1)dx20314設二次型f(x1,x2,x3)x12x222ax1x34x2x3的負慣性指數(shù)是1，則a的取值范圍是【詳解】由配方法可知f(x1,x2,x3)x12x222ax1x34x2x3(x1ax3)2(x22x3)2(4a2)x32因為負慣性指數(shù)為1，故一定要求4a20，所以a的取值范圍是2,2三、解答題15（本題滿分10分）BornToWinx12(et1)t)dt(t1求極限lim1x)x2ln(1x【剖

27、析】先用等價無量小代換簡化分母，而后利用洛必達法例求不決型極限【詳解】x21x1t2t1(t(e1)t)dt(e1)t)dt(tlim1lim1lim(x2(ex1)x)1xxx2ln(1xx)xlimx2(112o(12)x1xx2xx216（本題滿分10分）已知函數(shù)yy(x)知足微分方程x2y2y1y，且y(2)0，求y(x)的極大值和極小值【詳解】解：把方程化為標準形式獲得(1y2)dy1x2，這是一個可分別變量的一階微分方程，dx兩邊分別積分可得方程通解為：1y3yx1x3C，由y(2)0得C2，333即1y3yx1x32333令dy1x20，得x1，且可知d2y2x(1y2)22y(

28、1x2)2；dx1y2dx2(1y2)3當x1時，可解得y1，y10，函數(shù)獲得極大值y1；當x1時，可解得y0，y20，函數(shù)獲得極小值y017（本題滿分10分）設平面地區(qū)D(x,y)|1x2y24,x0.y0計算xsin(x2y2)dxdyDxy【詳解】由對稱性可得BornToWinxsin(x2y2)ysin(x2y2)1(xy)sin(x2y2)xydxdxydxd2xydxdyDDD1sin(x2y2)12d2rdr31dxdrsin2D201418（本題滿分10分）設函數(shù)f(u)擁有二階連續(xù)導數(shù)，zf(excosy)知足2z2z(4zexcosy)e2x若x2y2f(0)0,f(0)0

29、，求f(u)的表達式【詳解】設uexcosy，則zf(u)f(excosy)，zf(u)excosy,2zf(u)e2xcos2yf(u)excosy;xx2zf(u)exsiny,2zf(u)e2xsin2yf(u)excosy；yy22z2zf(u)e2xf(excosy)e2xx2y2由條件2z2z(4zexcosy)e2x，x2y2可知f(u)4f(u)u這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程對應齊次方程的通解為：f(u)C1e2uC2e2u此中C1,C2為隨意常數(shù)對應非齊次方程特解可求得為y1u*4故非齊次方程通解為f(u)C1e2uC2e2u1u4將初始條件f(0)0,f(0)0代入，

30、可得C11,C211616BornToWin所以f(u)的表達式為f(u)1e2u1e2u1u1616419（本題滿分10分）設函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間a.b上連續(xù)，且f(x)單一增添，0g(x)1，證明：（1）0 xxa,xa,b；g(t)dtaabbg(t)dt（2）af(x)dxf(x)g(x)dxaa【詳解】0g(x)1xxg(t)dtxxa,b（1）證明：因為，所以0dx1dtaaa即0 xxa,xa,bg(t)dtaxxag(t)dt（2）令F(x)f(u)g(u)duaaaf(u)du，則可知F(a)0，且F(x)f(x)g(x)xg(x)fag(t)dt，a因為0 xxa,

31、且f(x)單一增添，g(t)dta所以fxg(t)dtf(axa)f(x)從而aaF(x)f(x)g(x)g(x)faxf(x)g(x)g(x)f(x)0g(t)dt，axa,b也是F(x)在a,b單一增添，則F(b)F(a)0，即獲得abbg(t)dtaf(x)dxf(x)g(x)dxaa20（本題滿分11分）設函數(shù)f(x)x,x0,1，定義函數(shù)列1xf1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，,fn(x)f(fn1(x),設Sn是曲線yfn(x)，直線x1,y0所圍圖形的面積求極限limnSnn【詳解】BornToWinxf1(x)xxxf1(x)1x，f3(x)，,f2(x)1f1(x

32、)x12x,1x113x1x利用數(shù)學概括法可得fn(x)x.nx1Sn11x111)dx1ln(1n)fn(x)dx01dxn(11nxn(1)，0nx0nlimnSnlimln(1n)11nnn21（本題滿分11分）已知函數(shù)f(x,y)知足f2(y1)，且f(y,y)(y1)2(2y)lny，求曲線yf(x,y)0所成的圖形繞直線y1旋轉所成的旋轉體的體積【詳解】因為函數(shù)f(x,y)知足f2(y1)，所以f(x,y)y22yC(x)，此中C(x)為待定y的連續(xù)函數(shù)又因為f(y,y)(y1)2(2y)lny，從而可知C(y)1(2y)lny，獲得f(x,y)y22yC(x)y22y1(2x)l

33、nx令f(x,y)0，可得(y1)2(2x)lnx且當y1時，x112,x2曲線f(x,y)0所成的圖形繞直線y1旋轉所成的旋轉體的體積為V22x)lnxdx(2ln25)(y1)2dx1(21422（本題滿分11分）1234設A0111，E為三階單位矩陣1203（1）求方程組AX0的一個基礎解系；（2）求知足ABE的所有矩陣BornToWin【詳解】（1）對系數(shù)矩陣A進行初等行變換以下：1234123412341001A01110111011101021203043100130013，獲得方程組AX0同解方程組x1x4x22x4x33x41獲得AX0的一個基礎解系2131x1y1z1（2）明

34、顯B矩陣是一個4x2y2z23矩陣，設By3z3x3x4y4z4對矩陣(AE)進前進行初等行變換以下：12341001234100(AE)0111010011101012030010431101123410010012610111010010213100131410013141由方程組可得矩陣B對應的三列分別為x121y161z111x21c12，y23c22，z21c32，x313y343z313x401y401z401即知足ABE的所有矩陣為2c16c21c3B12c132c212c313c143c213c3c1c2c3BornToWin此中c1,c2,c3為隨意常數(shù)23（本題滿分11分）

35、111001111002證明n階矩陣與相像11100n111001【詳解】證明：設A111002，B11100n分別求兩個矩陣的特點值和特點向量以下：111EA111(n)n1，111所以A的n個特點值為1n,23n0；并且A是實對稱矩陣，所以必定能夠對角化且A0；001E02n)n1B(00n所以B的n個特點值也為1n,23n0；對于n1重特點值0，因為矩陣(0EB)B的秩明顯為1，所以矩陣B對應n1重特點值0的特點向量應當有n1個線性沒關，進一步矩陣B存在n個線性沒關的特0征向量，即矩陣B必定能夠對角化，且B0BornToWin111001111002從而可知n階矩陣與相像11100nBo

36、rnToWin2016年考研數(shù)學（三）真題一、填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）(1)若limsinx(cosxb)5，則a=_，b=_.x0exa(2)設函數(shù)f(u,v)由關系式fxg(y),y=x+g(y)確立，此中函數(shù)g(y)可微，且g(y)0，則f.uvx2,1x1設f(x)xe22(3)1,x12，則1f(x1)dx.22(4)二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的秩為.(5)設隨機變量X聽從參數(shù)為的指數(shù)散布,則PXDX_.(6)設整體X聽從正態(tài)散布2Y2X,X,X和N(,),整體聽從正態(tài)散布N(,),2n1121Y1

37、,Y2,Yn2分別是來自整體X和Y的簡單隨機樣本,則n12n22(XiX)(YjY)Ei1n1j1.n22二、選擇題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.每題給出的四個選項中，只有一項切合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）函數(shù)f(x)|x|sin(x2)(7)x(x1)(x2)2在以下哪個區(qū)間內有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).10，則(8)設f(x)在(,+)內有定義，且limf(x)a，g(x)f(x),xx0,x0(A)x=0必是g(x)的第一類中斷點.(B)x=0必是g(x)的第二類中斷點.(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點.(D)g

38、(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關.(9)設f(x)=|x(1x)|，則x=0是f(x)的極值點，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點.x=0不是f(x)的極值點，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.x=0是f(x)的極值點，且(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.(D)x=0不是f(x)的極值點，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點.BornToWin設有以下命題：(1)若(u2n1u2n)收斂，則un收斂.n1n1(2)若un收斂，則un1000收斂.n1n1(3)若limun11，則u發(fā)散.nunnn1(4)若(unvn)收斂，則un，vn都收斂.n1n1n1則以上命題中正確的

39、選項是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).(11)設f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0，則以下結論中錯誤的選項是(A)起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)f(a).(B)起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)f(b).起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)=0.D設n階矩陣A與B等價,則必有(A)當|A|a(a0)時,|B|a.(B)當|A|a(a0)時,|B|a.(C)當|A|0時,|B|0.(D)當|A|0時,|B|0.(13)設n階矩陣A的陪伴矩陣A*0,若,是非齊

40、次線性方程組Axb的1234互不相等的解，則對應的齊次線性方程組Ax0的基礎解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性沒關的解向量.(D)含有三個線性沒關的解向量.(14)設隨機變量X聽從正態(tài)散布N(0,1),對給定的(0,1),數(shù)u知足PXu,若P|X|x,則x等于(A)u.(B)u1.(C)u1.(D)u1.222三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分)BornToWin求lim1cos2x).(2xx2x0sin(本題滿分8分)求(x2y2y)d，此中D是由圓x2y24和(x1)2y21所圍成的D平面地區(qū)

41、(如圖).(本題滿分8分)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且知足xxg(t)dt，xbbaf(t)dta,b)，f(t)dtg(t)dt.aaabb證明：xf(x)dxxg(x)dx.aa(本題滿分9分)設某商品的需求函數(shù)為Q=1005P，此中價錢P(0,20)，Q為需求量.(I)求需求量對價錢的彈性Ed(Ed0)；(II)推導dRQ(1Ed)(此中R為利潤)，并用彈性Ed說明價錢在何范圍內變化時，dP降廉價錢反而使利潤增添.(19)(本題滿分9分)設級數(shù)x4x6x8(x)242462468的和函數(shù)為S(x).求：S(x)所知足的一階微分方程；S(x)的表達式.(20)(本題滿分13分)設(

42、1,2,0)T,(1,2,3)T,(1,b2,2b)T,(1,3,3)T,123試議論當a,b為什么值時,()不可以由,線性表示;123()可由,獨一地線性表示,并求出表示式;123()可由,線性表示,但表示式不獨一,并求出表示式.123BornToWin(本題滿分13分)n階矩陣1bbAb1b.bb1()求A的特點值和特點向量;()求可逆矩陣P,使得P1AP為對角矩陣.(22)(本題滿分13分)111設A，B為兩個隨機事件,且P(A),P(B|A),P(A|B),令4321,發(fā)生，1,發(fā)生，X，不發(fā)生，Y不發(fā)生.，0A0B求()二維隨機變量(X,Y)的概率散布;()X與Y的有關系數(shù);XY()

43、ZX2Y2的概率散布.(本題滿分13分)設隨機變量X的散布函數(shù)為(,)1,x，F(xiàn)xxx，0此中參數(shù)0,1.設X1,X2,Xn為來自整體X的簡單隨機樣本,()當1時,求未知參數(shù)的矩預計量;()當1時,求未知參數(shù)的最大似然預計量;()當2時,求未知參數(shù)的最大似然預計量.BornToWin2016年考研數(shù)學（三）真題分析一、填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）(1)若limsinx(cosxb)5，則a=1，b=4.x0exa【剖析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為limsinx(cosxb)5，且limsinx(cosxb)0，所以x0exax0lim(e

44、xa)0，得a=1.極限化為x0limsinx(cosxb)limx(cosxb)1b5，得b=4.x0exax0 x所以，a=1，b=4.【評注】一般地，已知limf(x)A，g(x)(1)若g(x)0，則f(x)0；(2)若f(x)0，且A0，則g(x)0.(2)設函數(shù)f(u,v)由關系式fxg(y),y=x+g(y)確立，此中函數(shù)g(y)可微，且g(y)0，2fg(v).則vg2(v)u【剖析】令u=xg(y)，v=y，可獲得f(u,v)的表達式，再求偏導數(shù)即可.【詳解】令u=xg(y)，v=y，則f(u,v)=ug(v)，g(v)所以，f12fg(v)ug(v)，vg2.u(v)x21

45、1xe,x21(3)設f(x)22，則1)dx1f(x.1,x1222【剖析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x1=t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質即可.211【詳解】令x1=t，1f(x1)dx1f(t)dt1f(x)dt222BornToWin1211.21xexdx1(1)dx0(1)2222【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點區(qū)分積分區(qū)間進行求解.(4)二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的秩為2.【剖析】二次型的秩即對應的矩陣的秩,亦即標準型中平方項的項數(shù),于是利用初等變換或配方法均可獲得答案.【詳解一】因為f(x1,x2,x3)

46、(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)22x22x22x22xx2xx32xx31231212211于是二次型的矩陣為A121,112112112由初等變換得A033033,033000從而r(A)2,即二次型的秩為2.【詳解二】因為f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)22x122x222x322x1x22x1x32x2x32(x11x21x3)23(x2x3)22222322y1y2,21x21x3,此中y1x1y2x2x3.22所以二次型的秩為2.(5)設隨機變量X聽從參數(shù)為的指數(shù)散布,則PXDX1.e【剖析】依據(jù)指數(shù)散布的散布函數(shù)和方差立刻得正確答案.【詳解】

47、因為DX1X的散布函數(shù)為2,F(x)1ex,x0,0,x0.故BornToWinPXDX1PXDX1PX11F(1)1.e【評注】本題是對重要散布,即指數(shù)散布的考察,屬基本題型.(6)設整體X聽從正態(tài)散布12Y22N(,),整體聽從正態(tài)散布N(,),X1,X2,Xn1和Y1,Y2,Yn2分別是來自整體X和Y的簡單隨機樣本,則n12n22(XiX)(YjY)Ei1j12.n1n22【剖析】利用正態(tài)整體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特點即可得答案.1n1221n222【詳解】因為E1i1(XiX),E1j(YjY),n1n212故應填.【評注】本題是對常用統(tǒng)計量的數(shù)字特點的考察.二、選擇題（本題共6小題，每題

48、4分，滿分24分.每題給出的四個選項中，只有一項切合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）(7)函數(shù)f(x)|x|sin(x2)x(x1)(x2)2在以下哪個區(qū)間內有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).A【剖析】如f(x)在(a,b)內連續(xù)，且極限limf(x)與limf(x)存在，則函數(shù)f(x)xaxb(a,b)內有界.【詳解】當x0,1,2時，f(x)連續(xù)，而limf(x)sin3，limf(x)sin2，x118x04limf(x)sin2，limf(x)，limf(x)，x04x1x2所以，函數(shù)f(x)在(1,0)內有界，應選(A).【評注

49、】一般地，如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在閉區(qū)間a,b上有界；如函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)，且極限limf(x)與limf(x)存在，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)xaxb內有界.(8)設f(x)在(,+)內有定義，且limf(x)a，x1BornToWing(x)f(x),x0，則0,x0(A)x=0必是g(x)的第一類中斷點.(B)x=0必是g(x)的第二類中斷點.(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點.(D)g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關.D【剖析】考察極限limg(x)能否存在，如存在，能否等于g(0)即可，經(jīng)過換元1，ux0 x可將極限limg(x)

50、轉變?yōu)閘imf(x).x0 x【詳解】因為limg(x)limf(1)limf(u)=a(令u1)，又g(0)=0，所以，x0 x0 xux當a=0時，limg(x)g(0)，即g(x)在點x=0處連續(xù)，當a0時，x0limg(x)g(0)，即x=0是g(x)的第一類中斷點，所以，g(x)在點x=0處的連續(xù)性x0與a的取值有關，應選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考察分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性.(9)設f(x)=|x(1x)|，則x=0是f(x)的極值點，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點.x=0不是f(x)的極值點，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.x=0是f(x)的極值點，且

51、(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.(D)x=0不是f(x)的極值點，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點.C【剖析】因為f(x)在x=0處的一、二階導數(shù)不存在，可利用定義判斷極值狀況，考察f(x)在x=0的左、右雙側的二階導數(shù)的符號，判斷拐點狀況.【詳解】設00，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的極小值點.明顯，x=0是f(x)的不行導點.當x(,0)時，f(x)=x(1x)，f(x)20，當x(0,)時，f(x)=x(1x)，f(x)20，所以(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.應選(C).【評注】對于極值狀況，也可考察f(x)在x=0的某空心鄰域內的一階導數(shù)的符號來判斷.(10)設

52、有以下命題：(1)若(u2n1u2n)收斂，則un收斂.n1n1(2)若un收斂，則un1000收斂.n1n1(3)若limun11，則u發(fā)散.nunnn1BornToWin(4)若(unvn)收斂，則un，vn都收斂.n1n1n1則以上命題中正確的選項是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).B【剖析】能夠經(jīng)過舉反例及級數(shù)的性質來說明4個命題的正確性.【詳解】(1)是錯誤的，如令u(1)n，明顯，u分別，而(uu)收斂.nn2n12nn1n1(2)是正確的，因為改變、增添或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因為由limun11可獲得

53、u不趨勢于零(n)，所以u發(fā)散.nunnn1n(4)un1,vn1un，vn都發(fā)散，而是錯誤的，如令n，明顯，nn1n1(unvn)收斂.應選(B).n1【評注】本題主要考察級數(shù)的性質與收斂性的鑒別法，屬于基本題型.(11)設f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0，則以下結論中錯誤的選項是(A)起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)f(a).(B)起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)f(b).起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)起碼存在一點x0(a,b)，使得f(x0)=0.D【剖析】利用介值定理與極限的保號性可獲得三個正確的選項，由清除法可選犯錯誤選項.【

54、詳解】第一，由已知f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0，則由介值定理，起碼存在一點x(a,b)，使得f(x)0；00此外，f(a)limf(x)f(a)0，由極限的保號性，起碼存在一點x0(a,b)xaxa使得f(x0)f(a)0，即f(x)f(a).同理，起碼存在一點x(a,b)x0a00使得f(x0)f(b).所以，(A)(B)(C)都正確，應選(D).BornToWin【評注】本題綜合考察了介值定理與極限的保號性，有必定的難度.設n階矩陣A與B等價,則必有(A)當|A|a(a0)時,|B|a.(B)當|A|a(a0)時,|B|a.(C)當|A|0時,|B|0.(D)當|A|0

55、時,|B|0.D【剖析】利用矩陣A與B等價的充要條件:r(A)r(B)立刻可得.【詳解】因為當|A|0時,r(A)n,又A與B等價,故r(B)n,即|B|0,應選(D).【評注】本題是對矩陣等價、隊列式的考察,屬基本題型.(13)設n階矩陣A的陪伴矩陣A*0,若1,2,3,4是非齊次線性方程組Axb的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組Ax0的基礎解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性沒關的解向量.(D)含有三個線性沒關的解向量.B【剖析】要確立基礎解系含向量的個數(shù),實質上只需確立未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】因為基礎解系含向量的個數(shù)=nr(A),并且n,r(A)

56、n,r(A*)1,r(A)n1,0,r(A)n1.依據(jù)已知條件A*0,于是r(A)等于n或n1.又Axb有互不相等的解,即解不唯一,故r(A)n1.從而基礎解系僅含一個解向量,即選(B).【評注】本題是對矩陣A與其陪伴矩陣A*的秩之間的關系、線性方程組解的結構等多個知識點的綜合考察.(14)設隨機變量X聽從正態(tài)散布N(0,1),對給定的(0,1),數(shù)知足PXu,u若P|X|x,則x等于(A)u.(B)u.(C)u1.(D)u1.C2122【剖析】利用標準正態(tài)散布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】由P|X|x,以及標準正態(tài)散布密度曲線的對稱性可得PXx1故正確答案為(C).2【評注】本題是

57、對標準正態(tài)散布的性質,嚴格地說它的上分位數(shù)觀點的考察.三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分)BornToWin求lim(1cos2x).x0sin2xx2【剖析】先通分化為“0”型極限，再利用等價無量小與羅必達法例求解即可.0【詳解】lim(1cos2xx2sin2xcos2xsin2xx2)limx2sin2xx0 x0 x21sin22x2x1sin4x1cos4x1(4x)2=lim4lim2lim24lim6x2.x0 x4x04x3x0 x06x23【評注】本題屬于求不決式極限的基本題型，對于“0”型極限，應充分利用等

58、價無量小0替代來簡化計算.(本題滿分8分)求(x2y2y)d，此中D是由圓x2y24和(x1)2y21所圍成的平面區(qū)D域(如圖).【剖析】第一，將積分地區(qū)D分為大圓D1(x,y)|x2y24減去小圓D2(x,y)|(x1)2y21，再利用對稱性與極坐標計算即可.【詳解】令D1(x,y)|x2y24,D2(x,y)|(x1)2y21，由對稱性，yd0.Dx2y2dx2y2dx2y2dDD1D222r2dr32cosr2dr.d2d0020163216(32)399所以，(x2y2y)d16(32).D9【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，常常利用對稱性及將一個復雜地

59、區(qū)區(qū)分為兩個或三個簡單地區(qū)來簡化計算.(本題滿分8分)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且知足BornToWinxxg(t)dt，xa,b)，bbf(t)dtf(t)dtg(t)dt.aaaabb證明：xf(x)dxxg(x)dx.aa【剖析】令F(x)=f(x)g(x)，G(x)xF(t)dt，將積分不等式轉變?yōu)楹瘮?shù)不等式即可.a【詳解】令F(x)=f(x)g(x)，G(x)xF(t)dt，a由題設G(x)0，xa,b，G(a)=G(b)=0，G(x)F(x).bbxG(x)babb從而axF(x)dxaxdG(x)aG(x)dxaG(x)dx，因為G(x)0，xa,b，故有bG(x)dx0

60、，abxF(x)dx0.abxf(x)dxb所以xg(x)dx.aa【評注】引入變限積分轉變?yōu)楹瘮?shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.(18)(本題滿分9分)設某商品的需求函數(shù)為Q=1005P，此中價錢P(0,20)，Q為需求量.(I)求需求量對價錢的彈性Ed(Ed0)；(II)推導dRQ(1Ed)(此中R為利潤)，并用彈性Ed說明價錢在何范圍內變化時，dP降廉價錢反而使利潤增添.【剖析】因為Ed0，所以EdPdQ；由Q=PQ及EdPdQ可推導QdPQdPdRQ(1Ed).dP【詳解】(I)EdPdQPQdP20.P(II)由R=PQ，得dRQPdQQ(1PdQ)Q(1Ed).dP