一元二次方程錯例探究優(yōu)秀獲獎科研論文

1、一元二次方程錯例探究優(yōu)秀獲獎科研論文 一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，牽涉的知識點(diǎn)較多，也是各地中考考題中重點(diǎn)考查的一個(gè)知識點(diǎn).然而在解題過程中，學(xué)生常會因?yàn)楦拍畈磺濉⒖紤]不周而出現(xiàn)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0、對未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實(shí)際問題中檢驗(yàn)方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯誤解法進(jìn)行分析，以求提高學(xué)生的解題能力. 一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0 例1已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)根，求k的取值范圍. 錯解：方程有實(shí)根， =b2-4ac0， 即（-2）2-4k0，解得k1. 分析：對于一元二次方程來講，

2、學(xué)生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”的條件，即a0.如果忽視了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，那么當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程也就成了一個(gè)一元一次方程了.而本題已點(diǎn)明是一個(gè)一元二次方程，所以本題的正解應(yīng)為k1且k0. 二、對未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周 例2關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值. 錯解：=b2-4ac0， （-3）2-4m20，解得m98. 二次項(xiàng)系數(shù)m0， m98且m0. 分析：此題中，學(xué)生考慮到了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關(guān)于x的二次方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)

3、根，求m的值”，那么學(xué)生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學(xué)生默認(rèn)了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為-3x+2=0，有實(shí)數(shù)根x=23.因此，本題的正解應(yīng)為m98即可. 三、忽視一元二次方程根的判別式 例3關(guān)于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值. 錯解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2. 根據(jù)題意得x12+x22=11.（1） x1+x2=-ba， x1+x2=m+3.（2） x1x2=-ca， x1x2=-（2m+3）.（3） 根據(jù)（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4. 分析：此

4、方程雖有二項(xiàng)系數(shù)10，但由于題目中已明確有實(shí)數(shù)根，那么必須符合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的先決條件0.當(dāng)m=2時(shí)，= （m+3）2-4（2m+3） =-30，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此在本題中，m只能等于-4. 四、忽視檢驗(yàn)方程解的合理性 例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長的圍墻材料，請您為李奶奶設(shè)計(jì)一下這個(gè)矩形花園的長和寬吧. 錯解：假設(shè)截取原本已有圍墻的長度為x.矩形花園的另一條長度應(yīng)為（50-x）2. 根據(jù)題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20. 當(dāng)x=30時(shí)，另一邊長

5、為10m； 當(dāng)x=20時(shí)，另一邊長為15m. 答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長，圍成長為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長為20m、寬為15m的矩形花園. 分析：很多學(xué)生做題做到這一步后就算完成了，他們關(guān)注的只是將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實(shí)際意義.本題中，長為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長度為30m，顯然與題目不符，應(yīng)舍去. 上述一元二次方程題型是筆者在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的學(xué)生較易犯錯的幾個(gè)案例.為了讓學(xué)生能很好地掌握和應(yīng)用一元二次方程這部分知識，教師應(yīng)該幫助學(xué)生以錯為鑒，才能減

6、少解題時(shí)的失誤，從而提高數(shù)學(xué)解題能力. 一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，牽涉的知識點(diǎn)較多，也是各地中考考題中重點(diǎn)考查的一個(gè)知識點(diǎn).然而在解題過程中，學(xué)生常會因?yàn)楦拍畈磺?、考慮不周而出現(xiàn)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0、對未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實(shí)際問題中檢驗(yàn)方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯誤解法進(jìn)行分析，以求提高學(xué)生的解題能力. 一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0 例1已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)根，求k的取值范圍. 錯解：方程有實(shí)根， =b2-4ac0， 即（-2）2-4k0，解得k1. 分析：對于一元二次方程來講

7、，學(xué)生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”的條件，即a0.如果忽視了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，那么當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程也就成了一個(gè)一元一次方程了.而本題已點(diǎn)明是一個(gè)一元二次方程，所以本題的正解應(yīng)為k1且k0. 二、對未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周 例2關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值. 錯解：=b2-4ac0， （-3）2-4m20，解得m98. 二次項(xiàng)系數(shù)m0， m98且m0. 分析：此題中，學(xué)生考慮到了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關(guān)于x的二次方程mx2-3x+2=0有實(shí)

8、數(shù)根，求m的值”，那么學(xué)生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學(xué)生默認(rèn)了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為-3x+2=0，有實(shí)數(shù)根x=23.因此，本題的正解應(yīng)為m98即可. 三、忽視一元二次方程根的判別式 例3關(guān)于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值. 錯解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2. 根據(jù)題意得x12+x22=11.（1） x1+x2=-ba， x1+x2=m+3.（2） x1x2=-ca， x1x2=-（2m+3）.（3） 根據(jù)（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4. 分析：

9、此方程雖有二項(xiàng)系數(shù)10，但由于題目中已明確有實(shí)數(shù)根，那么必須符合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的先決條件0.當(dāng)m=2時(shí)，= （m+3）2-4（2m+3） =-30，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此在本題中，m只能等于-4. 四、忽視檢驗(yàn)方程解的合理性 例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長的圍墻材料，請您為李奶奶設(shè)計(jì)一下這個(gè)矩形花園的長和寬吧. 錯解：假設(shè)截取原本已有圍墻的長度為x.矩形花園的另一條長度應(yīng)為（50-x）2. 根據(jù)題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20. 當(dāng)x=30時(shí)，另一邊

10、長為10m； 當(dāng)x=20時(shí)，另一邊長為15m. 答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長，圍成長為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長為20m、寬為15m的矩形花園. 分析：很多學(xué)生做題做到這一步后就算完成了，他們關(guān)注的只是將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實(shí)際意義.本題中，長為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長度為30m，顯然與題目不符，應(yīng)舍去. 上述一元二次方程題型是筆者在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的學(xué)生較易犯錯的幾個(gè)案例.為了讓學(xué)生能很好地掌握和應(yīng)用一元二次方程這部分知識，教師應(yīng)該幫助學(xué)生以錯為鑒，才能

11、減少解題時(shí)的失誤，從而提高數(shù)學(xué)解題能力. 一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，牽涉的知識點(diǎn)較多，也是各地中考考題中重點(diǎn)考查的一個(gè)知識點(diǎn).然而在解題過程中，學(xué)生常會因?yàn)楦拍畈磺?、考慮不周而出現(xiàn)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0、對未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實(shí)際問題中檢驗(yàn)方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯誤解法進(jìn)行分析，以求提高學(xué)生的解題能力. 一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0 例1已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)根，求k的取值范圍. 錯解：方程有實(shí)根， =b2-4ac0， 即（-2）2-4k0，解得k1. 分析：對于一元二次方程來

12、講，學(xué)生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”的條件，即a0.如果忽視了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，那么當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程也就成了一個(gè)一元一次方程了.而本題已點(diǎn)明是一個(gè)一元二次方程，所以本題的正解應(yīng)為k1且k0. 二、對未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周 例2關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值. 錯解：=b2-4ac0， （-3）2-4m20，解得m98. 二次項(xiàng)系數(shù)m0， m98且m0. 分析：此題中，學(xué)生考慮到了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關(guān)于x的二次方程mx2-3x+2=0有

13、實(shí)數(shù)根，求m的值”，那么學(xué)生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學(xué)生默認(rèn)了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為-3x+2=0，有實(shí)數(shù)根x=23.因此，本題的正解應(yīng)為m98即可. 三、忽視一元二次方程根的判別式 例3關(guān)于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值. 錯解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2. 根據(jù)題意得x12+x22=11.（1） x1+x2=-ba， x1+x2=m+3.（2） x1x2=-ca， x1x2=-（2m+3）.（3） 根據(jù)（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4. 分析

14、：此方程雖有二項(xiàng)系數(shù)10，但由于題目中已明確有實(shí)數(shù)根，那么必須符合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的先決條件0.當(dāng)m=2時(shí)，= （m+3）2-4（2m+3） =-30，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此在本題中，m只能等于-4. 四、忽視檢驗(yàn)方程解的合理性 例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長的圍墻材料，請您為李奶奶設(shè)計(jì)一下這個(gè)矩形花園的長和寬吧. 錯解：假設(shè)截取原本已有圍墻的長度為x.矩形花園的另一條長度應(yīng)為（50-x）2. 根據(jù)題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20. 當(dāng)x=30時(shí)，另一邊長為10m； 當(dāng)x=20時(shí)，另一邊長為15m. 答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長，圍成長為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長為20m、寬為15m的矩形花園. 分析