線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)提綱課件

1、（3） kA k A ；i 1aij Aij A，i j； （8） aij Aij 線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章行列式【主要內(nèi)容】1、行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、及其應(yīng)用克萊姆法則2、幾個重要公式：（1） A AT ； （2） A1A1；nn1（4） A * A； （5） AB A B ； （6）A *0 BA 0* B A B ；（7）n A，i j 0，i jnj 1 0，i j（其中 A, B 為 n 階方陣， k 為常數(shù)）5、行列式的常見計算方法：（1）利用性質(zhì)化行列式為上（下）三角形；（2）利用行列式的展開定理降階；（3）根據(jù)行列式的特點借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定義，熟

2、記幾個特殊行列式的值。2、掌握排列與逆序的定義，會求一個排列的逆序數(shù)。3、能熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)、展開法則準(zhǔn)確計算 3-5 階行列式的值。4、會計算簡單的 n 階行列式。5、知道并會用克萊姆法則。-1-第二章矩陣【主要內(nèi)容】1、矩陣的概念、運算性質(zhì)、特殊矩陣及其性質(zhì)。2、可逆矩陣的定義、性質(zhì)、求法（公式法、初等變換法、分塊對角陣求逆）。3、 n 階矩陣 A 可逆 A 0 A 為非奇異(非退化)的矩陣。 R( A) n A 為滿秩矩陣。 AX 0 只有零解 AX b 有唯一解 A 的行（列）向量組線性無關(guān) A 的特征值全不為零。 A 可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣。 A 可以表示成一系列初等矩陣的

3、乘積。5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質(zhì)及其二者之間的關(guān)系。6、矩陣秩的概念及其求法（1）定義法；（2）初等變換法）。7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運算：加法，數(shù)乘，乘法以及分塊矩陣求逆?！疽蟆?、 了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩陣，對角矩陣，上、下三角形矩陣，對-2-稱矩陣，可逆矩陣，伴隨矩陣）的特殊性質(zhì)。2、熟悉矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等運算法則，會求方陣的行列式。3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關(guān)系。4、掌握矩陣可逆的充要條件，會求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。第三章線性方程組【主要內(nèi)容】1、向量、向量組的線性表示：設(shè)有單個

4、向量 b ，向量組 A ：1 , 2 , n ，向量組 B ：1 , 2 , m ，則向量 b 可被向量組 A 線性表示 R(1 , 2 , n ) R(1 , 2 , n , b)2、向量組的線性相關(guān)性判別向量組1 , 2 , s 的線性相關(guān)、線性無關(guān)的常用方法：方法一：（1）向量方程 k11 k2 2 ks s 0 只有零解 向量組1 , 2 , s線性無關(guān)；（2）向量方程 k11 k2 2 ks s 0 有非零解 向量組1 , 2 , s 線性相關(guān)。方法二：求向量組的秩 R(1 , 2 , s )-3-4-（1）秩 R(1 , 2 , s ) 小于個數(shù) s 向量組1 , 2 , s 線性

5、相關(guān)（2）秩 R(1 , 2 , s ) 等于個數(shù) s 向量組1 , 2 , s 線性無關(guān)。（3）特別的，如果向量組的向量個數(shù)與向量的維數(shù)相同，則向量組線性無關(guān) 以向量組1 , 2 , s 為列向量的矩陣的行列式非零；向量組線性相關(guān) 以向量組1 , 2 , s 為列向量的矩陣的行列式為零。3、向量組的極大無關(guān)組的概念（與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系）及其求法。4、等價向量組的定義、性質(zhì)、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關(guān)系。6、齊次線性方程組 Ax 0 只有零解 系數(shù)矩陣 A 的秩 未知量個數(shù) n；7、齊次線性方程組 Ax 0 有非零解 系數(shù)矩陣 A 的秩 未知量個數(shù) n.8、

6、非齊次線性方程組 Ax b 無解 增廣矩陣 B ( A, b) 秩 系數(shù)矩陣 A 的秩；9、非齊次線性方程組 Ax b 有解 增廣矩陣 B ( A, b) 秩 系數(shù)矩陣 A 的秩特別地，1）增廣矩陣 B ( A, b) 的秩 系數(shù)矩陣 A 的秩 未知量個數(shù) n 非齊次線性方程組 Ax b 有唯一解；2）增廣矩陣 B ( A, b) 的秩 系數(shù)矩陣 A 的秩 未知量個數(shù) n 非齊次線性方程組 Ax b 有無窮多解?！疽蟆?、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個向量組等價的含義。2、掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，并會判斷一個具體向量組的線性相關(guān)性。3、知道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)

7、系，會求一個具體向量組的秩及其極大無關(guān)組。4、掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的求法，5、掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟悉非齊次線性方程組有解的等價條件。6、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關(guān)系。7、會求解非齊次線性方程組。第四章矩陣的特征值【主要內(nèi)容】1、向量的內(nèi)積、長度、夾角等概念及其計算方法。2、向量的正交關(guān)系及正交向量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計算方法。（1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；（2）特征向量的求法：求方程組 A E X 0 的基礎(chǔ)解系。1有相同的特征值)。-5-7-常用判定二次型正定的方法：（1）定義法（2）特征值

8、全大于零（3）順序主子式全大于零4、利用海賽矩陣求極值?！疽蟆?、掌握二次型的概念、會化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。2、知道正定二次型的概念及其判定方法。線性代數(shù)練習(xí)題一、單項選擇題(C) a b(A) a b(D) a b-8-1、行列式 40021 3 8 中，元素 a22 的代數(shù)余子式是 1 2（A）1 00 2（B ）0 2 101 00 2（C ） （D） 1 00 22、二階行列式a a 2b b 2的值為33(B) ab(b a)33223、設(shè)行列式 2121 1 1kk0 0 ，則 k 的取值為（）（A）2（B）-2 或 3（C）0（D）-3 或 2c2c1b24、若行列式 b1a3a2

9、a1a3a2a1b2b3 =1，則 b1c3c2c1b3 =（A）1c3（B）2（C）0（D） 15、設(shè) a，b，c，d 為常數(shù)，則下列等式成立的是（A）a bc d1 a b2 2a c 2b d（ B）b 1d 1a 1c 1a b 1c d 1（C）a bc d2a 2b2c 2d 2（D）a 1 b 1c 1 d 1ab 1cd 1則 AB 1 3 （C）若 A 是 n 階矩陣 A 的伴隨矩陣，則 A A 1 2 1 B b1 , b2 , b3 ， 且 A B 0- 10 -（C） ( A B) 1 A1 B 1（D） A A A*111、設(shè)矩陣 A 1 2 1 3 ， B 0 ，則

10、 BA 2 1 2 3 (A) 0 0 0 2 4 6 1 (B) 0 6 (C)（1,0,6）(D) 7 4 2 2 T12、設(shè)行矩陣 A a1 , a2 , a3 ,T（C） 2（D） -2（A） 113、下列命題正確的是（B） -1B.（A）若矩陣 A, B 滿足 AB O ，則有 A O 或 B O（B）若矩陣 A, B 滿足 AB E ，則矩陣 A, B 都可逆。n* *（D）若 A O ，則 A 01414、設(shè) A, B 為三階矩陣, A 2 , B 1, 則 2( BA)= 2 1 4 的逆矩陣是18、設(shè) A, B 均為 n 階可逆矩陣，則分塊矩陣 2 10 ， 4 1 1 17

11、、向量組1 ， 2 1 5 3 1 ，3 (A) 4(B) 1(C) 16(D)1215、下列說法不正確的是(A）相似矩陣有相同的特征值。(B） n 階矩陣可對角化的充要條件是它有 n 個不同的特征值。(C） n 元齊次線性方程組 Ax 0 有非零解的充要條件是 R( A) n 。（D）正交的向量組一定是線性無關(guān)的。16、 n 維向量組1 , 2 , s (3 s n) 線性無關(guān)的充要條件是(A) 存在一組不全為零的數(shù) k1 , k2 , k s 使 k11 k2 2 k s s 0(B)(C)(D)1 , 2 , s 中任意兩個向量線性無關(guān)1 , 2 , s 中存在一個向量可由其它向量線性表

12、出1 , 2 , s 中任何一個都不能由其它向量線性表出 1 3 3 2 6 的秩為.（A）1（B） 2（C） 3（D） 4 0 B- 11 -A 0 .（A） BA1 0 （B） 0 A1 （C） AB 1 0 （D） 0 B 1 (C) A B（C） A B- 12 - 01 01 B 1 0 A 1 0 1 b 2 0 1 (B) a 3, b 0(D) a 1, b 0(A) a 1, b 2(C) a 3, b 220、設(shè) A 可逆，則 XA B 的解是(A) AB(B) BA11(D) BA21、下列說法正確的是()。(A) 任何矩陣經(jīng)過初等行變換都可化為單位矩陣。(B) 設(shè)方陣

13、A 是非奇異性的，A 經(jīng)過初等行變換得到階梯陣 B，則方陣 B 為奇異的。(C) 初等矩陣都是可逆的。(D) 矩陣經(jīng)過初等行變換后，其秩會發(fā)生改變。22、設(shè) A，B 都是可逆矩陣，則 AB 的逆是（A） AB（B） BA111A1（D） B10.設(shè)矩陣 A 0 01 k 1 12設(shè)矩陣 A 11設(shè) A ， B 是兩個可逆矩陣，則分塊矩陣 1 1 k B 6.設(shè) A, B 為 3 階方陣，且 A 4, 2 ，則 2(B* A1 ) 1 1 1 7.設(shè)矩陣 A 0 2 2 ，則 AT A 0 0 3 a 0 0 8.設(shè) A 0 b 0 ，則 An 0 0 c 12 0 0 1 0 0 0 3 30

14、 2 1 101，則 A1 A 0 0 B k 11 11 1 1 k 1 1 的秩 R( A) 3 ，則 k 13若向量組1 , 2 , 3 線性無關(guān)，且 k11 k2 2 k3 3 0 ，則數(shù) k1 , k 2 , k3 1 0 1 1 14.向量組1 1 ， 2 1 ， 3 1 ， 4 2 中不能由其余向量線性表示的是 0 1 1 1 - 14 - 23.若向量 與向量 3 0 4 3 15.向量組1 (1,0,1), 2 (2,3,4), 3 (1,0,0) 的秩為_16在線性方程組 AX O 中，若未知量的個數(shù) n=5， r( A) 3 ，則方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為_ 1

15、2 2 3 3 4 4 5 則 AX b 的通解為 a2 , a1 a2 a3（填線18設(shè)向量組 a1 , a2 , a3 線性無關(guān)，則向量組 a1 , a1性相關(guān)，線性無關(guān)）。19設(shè) n 元線性方程組 AX b 有解，則當(dāng) R( A)時， AX b 有無窮多解。20若 3 階方陣 A 的特征值分別為 1，-1，2，則 B A E 的特征值為122 設(shè) 向 量 組1 1 0 3 5T ， 2 1 2 1 3T ， 3 1 1 2 6T ， 4 1 1 2T 線性相關(guān)，則 1 2 2 k 正交，則 k 24已知三階矩陣 A 的特征值為 1 0, 2 1, 3 1 ，其對應(yīng)的特征向量分別是- 15

16、 -0 1 3 的秩。 2 4x2 2 x41 0 2 1 ， 2 ， 1 ， 3 ，的一個極大無關(guān)組。 2 1 4 8、已知向量組1 1,0,2,1 ，2 1,2,0,1，3 0,1,1,1 ， 4 1,1,1,0 ， 3 3 11 x1 2 x3 x4 1- 17 - 1 2 3 1 5 1 2 3 2 8 5、求 A 21 2 26、求方陣 A 2 00 2 的特征值與特征向量。0 7、求向量組1 0 1 1 2 1 1 0 12 3 4T TT T5 3,2,4,0T ，求該向量組的秩，并求其一個極大無關(guān)組。x1 x2 x3 12 x1 kx3 210、設(shè)線性方程組 AX b 的一般解

17、為 ， x3 , x4 為自由變量，求 AX b 的通解。11、設(shè) A 為 34 矩陣， R( A) 2 ，若非齊次線性方程組 Ax b 的三個解分別為： 1 1 ， 2 1 ， 4 5 ，- 18 -求： （1）齊次線性方程組 Ax 0 的通解；（2）非齊次線性方程組 Ax b 的通解.12、求一個正交變換 x Py ，把下面的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3四、證明題2 T2. 證明：若向量 x 是方陣 A 的同時屬于特征值 1與2 的特征向量，則有 1 23設(shè) 1 , 2 是 n 階方陣 A 的不同特征值， X 1 , X 2

18、 分別是 A 的對應(yīng)于 1 , 2 的特征向量，證明： X 1 X 2 不是 A 的特征向量. E B E A4證明：若矩陣 B 相似于 A ，則線性代數(shù)模擬試題答案一、單項選擇題1、AAB2、B9、C16、D3、B10、B17、C4、D11、A18、C5、B12、C19、C6、C13、B20、D7、A14、C21、C8、15、22、D23、B24、C25、B5、 A AB BA B a n 00 17、k （注：此題答案不唯一） 121、 1 , 2 , n0 110、 111、 二、填空題1、 5!2、 103、244、1226、8 1 1 1 7、 1 5 5 1 5 14 0 c n

19、8、 An 00b n09、 ( A1 )0 0 1 0013231 20 00 0B 1 A112、 313、 k1 k2 k3 0 114、 3 1115、316、2 1 1 1 2 1 31 4 18、線性無關(guān)19、小于 n20、2 , 0 , 31 1 122、223、524、 0 125、 2, 3, 326、 1727、 1 t 1三、計算題- 19 -將已知等式 AB A XX 整理得： A XX (B E)2 1 0 1 0 51 1 - 20 -01 240 501 241、解： 20214 50 0 1 1 34 1 0 0 1 0 5 1 2 1 4 7 2、解： AB

20、0 1 = 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 3、解： A 0 A1 存在，用 A1 右乘方程 XA I 兩邊，得 X A1又 1 0 1 0 1 121 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 41 1 3 0 0 1 0 0 1 3 1 121 1 4 5 31所以， AT4、解： XX 1 11 11 1 1 1 11 1 1 = 1 1 11 11 11 1 1及 B 1 11 1 11T T1 2 0 1 3 2 4x1 0 1 11 11 1 1 1 1所以 A 1 2 3 1 5 1 2 3 2 8 5 、 解 ： 對 矩 陣 A 施 行 初 等 行 變 換 得 ， A

21、 1 2 3 1 5 0 0 0 0 0 所以 r( A) 26、解：矩陣 A 的特征多項式為：00 (3 )(1 ) 2 2 1 5 41 A E 2 2令 A E 0 ，解得 A 的特征值為：1 3, 2 3 1. 當(dāng) 1 3 時，求解齊次線性方程組 ( A 3E) x 0 的基礎(chǔ)解系，由 A 3E 2 2 2 0 1 1 2 4 4 0 0 0 x2 x3 0得對應(yīng)的方程組為 0 ,從而解得基礎(chǔ)解系 p1 1 1 于是屬于特征值 1 3 的全部特征向量為 kp1 ，其中 k 為任意非零常數(shù)。當(dāng) 2 3 1 時，求解齊次線性方程組 ( A E) x 0 的基礎(chǔ)解系， 由- 21 - 2 1

22、(1 , 2 , 3 , 4 ) 2 2 1 03 A 00 1 1 40 0 00 0 0 0 0 0 0 1 A E 2 4 2 0 0 0 2 4 2 0 0 0 得對應(yīng)的方程組為 x1 2x2 x3 0 , 從而解得基礎(chǔ)解系 p2 1 , p3 0 0 1 于是屬于特征值 2 3 1 的全部特征向量為 kp2 lp3 ， 其中數(shù) k , l 是不同時為零的任意常數(shù)。7 、解：以已知向量組為列向量構(gòu)成矩陣，并對其進行初等行變換得， 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 11 1 2 0 0 0 0 所以，所求向量組的極大無關(guān)組為：1 , 2 。a4a3a28、解：記矩陣 A a1a5 ，對其進行初等變換得 1 02 11 1 1 0 1 3 2 1 1 2 1 0