利用函數(shù)與不等式解策劃方案設(shè)計與決策型問題

1、利用函數(shù)與不等式解方案設(shè)計與決策型問題一、從一道例題的解答看方案設(shè)計與決策型問題引例：恩發(fā)建筑公司從上海某廠購得挖機(jī)4臺，從北京某廠購得挖機(jī)10臺?，F(xiàn)在決定運往重慶分公司8臺，其余都運往漢口分公司；從上海運往漢口、重慶的運費分不是300元/臺、500元/臺，從北京運往漢口、重慶的運費分不是400元/臺、800元/臺 。（1）若總運費為8400元，上海運往漢口應(yīng)多少臺？解:(1）設(shè)上海運往漢口應(yīng)x臺，則400(6-x)+ 300 x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400解得:x=4因此，若總運費為8400元， 上海運往漢口應(yīng)4臺。（2）若總運費少于8400元，有哪幾種調(diào)運方案

2、？解:（2）由題意知：200 x+76008400解得:x 4x為非負(fù)整數(shù)x=0、1、2或3若要求總運費不超過 8400元，共有4種調(diào)運方案。如下表：上海到漢口（臺）上海到重慶（臺）北京到漢口（臺）北京到重慶（臺）方案一0464方案二1355方案三2246方案四3137（3）求出總運費最低的調(diào)運方案，總運費是多少？設(shè)總運費為y元，由題意知： y= 200 x+76002000 x=0時y最小，為7600元。調(diào)運方案如下: 北京到漢口6臺，北京到重慶4臺，上海到重慶4臺.二、方案設(shè)計與決策型問題的差不多解題方法方案設(shè)計型問題是指應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識建模的方法，來按題目所呈現(xiàn)的要求進(jìn)行計算，論證，選擇

3、，推斷，設(shè)計的一種數(shù)學(xué)試題?？v觀近年來各地的中考試題，涉及方案設(shè)計與應(yīng)用的試題大量涌現(xiàn)，它在考查學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力方面可謂獨樹一幟，新穎不致。其類型有利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計，利用概率與統(tǒng)計進(jìn)行方案設(shè)計，利用函數(shù)知識進(jìn)行方案設(shè)計，利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計。其中以利用函數(shù)與不等式解決的方案設(shè)計問題為最多。利用函數(shù)與不等式解決的方案設(shè)計問題的差不多方法是：（1）依照題意建立一次函數(shù)關(guān)系式；（2）依照實際意義建立關(guān)于自變量的不等式組，求函數(shù)自變量的取值范圍；（3）依照函數(shù)自變量的取值范圍，確定符合條件的設(shè)計方案；（4）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最大值或最小值，確定最優(yōu)化方案。三、2009年全國中考中

4、的利用函數(shù)與不等式解決的方案設(shè)計問題類型一、利用不等式解決的方案設(shè)計問題：【2009綿陽市中考題】李大爺一年前買入了相同數(shù)量的A、B兩種種兔，目前，他所養(yǎng)的這兩種種兔數(shù)量仍然相同，且A種種兔的數(shù)量比買入時增加了20只，B種種兔比買入時的2倍少10只（1）求一年前李大爺共買了多少只種兔？（2）李大爺目前預(yù)備賣出30只種兔，已知賣A種種兔可獲利15元只，賣B種種兔可獲利6元只假如要求賣出的A種種兔少于B種種兔，且總共獲利不低于280元，那么他有哪幾種賣兔方案？哪種方案獲利最大？請求出最大獲利解：（1）設(shè)李大爺一年前買A、B兩種種兔各x只，則由題意可列方程為 x + 20 = 2x10，解得 x =

5、 30 即一年前李大爺共買了60只種兔（2）設(shè)李大爺賣A種兔x只，則賣B種兔30 x只，則由題意得 x30 x， 15x +（30 x）6280， 解 ，得 x15； 解 ，得x， 即 x15 x是整數(shù)，11.11， x = 12，13，14即李大爺有三種賣兔方案：方案一 賣A種種兔12只，B種種兔18只；可獲利 1215 + 186 = 288（元）；方案二 賣A種種兔13只，B種種兔17只；可獲利 1315 + 176 = 297（元）；方案三 賣A種種兔14只，B種種兔16只；可獲利 1415 + 166 = 306（元）顯然，方案三獲利最大，最大利潤為306元類型二、利用函數(shù)知識解決的

6、方案設(shè)計問題：【2009清遠(yuǎn)市中考題】某飲料廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，用 SKIPIF 1 0 種果汁原料和 SKIPIF 1 0 種果汁原料試制新型甲、乙兩種飲料共50千克，設(shè)甲種飲料需配制 SKIPIF 1 0 千克，兩種飲料的成本總額為 SKIPIF 1 0 元（1）已知甲種飲料成本每千克4元，乙種飲料成本每千克3元，請你寫出 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 之間的函數(shù)關(guān)系式（2）若用19千克 SKIPIF 1 0 種果汁原料和17.2千克 SKIPIF 1 0 種果汁原料試制甲、乙兩種新型飲料，下表是試驗的相關(guān)數(shù)據(jù)；每千克飲料果汁含量果汁甲乙A0.5千克0.2千克B0.3千克0

7、.4千克請你列出關(guān)于 SKIPIF 1 0 且滿足題意的不等式組，求出它的解集，并由此分析如何配制這兩種飲料，可使 SKIPIF 1 0 值最小，最小值是多少？【答案】解：（1）依題意得： SKIPIF 1 0 （2）依題意得： SKIPIF 1 0 解不等式（1）得： SKIPIF 1 0 解不等式（2）得： SKIPIF 1 0 不等式組的解集為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是隨 SKIPIF 1 0 的增大而增大，且 SKIPIF 1 0 當(dāng)甲種飲料取28千克，乙種飲料取22千克時，成本總額 SKIPIF 1 0 最小， SKIPIF 1 0 （

8、元）類型三、利用不等式比較方案的優(yōu)劣：【2009濰坊市中考題】某蔬菜加工廠承擔(dān)出口蔬菜加工任務(wù)，有一批蔬菜產(chǎn)品需要裝入某一規(guī)格的紙箱供應(yīng)這種紙箱有兩種方案可供選擇：方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為4元；方案二：由蔬菜加工廠租賃機(jī)器自己加工制作這種紙箱，機(jī)器租賃費按生產(chǎn)紙箱數(shù)收取工廠需要一次性投入機(jī)器安裝等費用16000元，每加工一個紙箱還需成本費2.4元（1）若需要這種規(guī)格的紙箱個，請分不寫出從紙箱廠購買紙箱的費用（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用（元）關(guān)于（個）的函數(shù)關(guān)系式；（2）假設(shè)你是決策者，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案？并講明理由【答案】解：（1）從紙箱廠定制購買紙箱費用： 蔬

9、菜加工廠自己加工紙箱費用： （2）當(dāng)時，2.4x+160004x，解得：，當(dāng)時，2.4x+160004x，解得：，當(dāng)時，2.4x+160004x，解得：，因此，當(dāng)時，選擇方案一，從紙箱廠定制購買紙箱所需的費用低；當(dāng)時，兩種方案都能夠，兩種方案所需的費用相同；當(dāng)時，選擇方案二，蔬菜加工廠自己加工紙箱所需的費用低 四、差不多訓(xùn)練1（2009威海）響應(yīng)“家電下鄉(xiāng)”的惠農(nóng)政策，某商場決定從廠家購進(jìn)甲、乙、丙三種不同型號的電冰箱80臺，其中甲種電冰箱的臺數(shù)是乙種電冰箱臺數(shù)的2倍，購買三種電冰箱的總金額不超過132 000元已知甲、乙、丙三種電冰箱的出廠價格分不為：1 200元/臺、1 600元/臺、2

10、000元/臺(1)至少購進(jìn)乙種電冰箱多少臺？(2)若要求甲種電冰箱的臺數(shù)不超過丙種電冰箱的臺數(shù)，則有哪些購買方案？2（2009年益陽市）開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元鈔票買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本. (1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格； (2)校運會后，班主任拿出200元學(xué)校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎給校運會中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)許多于鋼筆數(shù)，共有多少種購買方案？請你一一寫出.3(2009年內(nèi)江市)我市部分地區(qū)近年出來持續(xù)干旱現(xiàn)象，為確保生產(chǎn)生活用水，某村決定由村里提供一點，村民捐一

11、點的方法籌集資金維護(hù)和新建一批儲水池。該村共有243戶村民，預(yù)備維護(hù)和新建的儲水池共有20個，費用和可供使用的戶數(shù)及用地情況如下表：儲水池費用（萬元/個）可供使用的戶數(shù)（戶/個）占地面積（/個）新建454維護(hù)3186已知可支配使用土地面積為106，若新建儲水池X個，新建和維護(hù)的總費用為y萬元。（1）求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系；（2）滿足要求的方案各有幾種；（3）若平均每戶捐2000元時，村里出資最多和最少分不是多少？4（2009仙桃）宏志中學(xué)九年級300名同學(xué)畢業(yè)前夕給災(zāi)區(qū)90名同學(xué)捐贈了一批學(xué)習(xí)用品(書包和文具盒)，由于零花鈔票有限，每6人合買一個書包，每2人合買一個文具盒(每個同學(xué)都只參加一

12、件學(xué)習(xí)用品的購買)，書包和文具盒的單價分不是54元和12元(1)若有x名同學(xué)參加購買書包，試求出購買學(xué)習(xí)用品的總件數(shù)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(2)若捐贈學(xué)習(xí)用品總金額超過了2300元，且災(zāi)區(qū)90名同學(xué)每人至少得到了一件學(xué)習(xí)用品，請問同學(xué)們?nèi)绾伟才刨徺I書包和文具盒的人數(shù)？現(xiàn)在選擇其中哪種方案，使購買學(xué)習(xí)用品的總件數(shù)最多？5（2009襄樊市）為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡進(jìn)展，我市打算對某縣、兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造依照預(yù)算，共需資金1575萬元改造一所類學(xué)校和兩所類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所類學(xué)校和一所類學(xué)校共需資金205萬元 （1）改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分

13、不是多少萬元？ （2）若該縣的類學(xué)校不超過5所，則類學(xué)校至少有多少所？ （3）我市打算今年對該縣、兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財政和地點財政共同承擔(dān)若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地點財政投入的改造資金許多于70萬元，其中地點財政投入到、兩類學(xué)校的改造資金分不為每所10萬元和15萬元請你通過計算求出有幾種改造方案？型 號C進(jìn)價(元套)405550售價(元套)5080656 (2009年眉山市) “六一”前夕，某玩具經(jīng)銷商用去2350元購進(jìn)A、B、C三種新型的電動玩具共50套，同時購進(jìn)的三種玩具都許多于10套，設(shè)購進(jìn)A種玩具 SKIPIF 1 0 套，B種玩具 SKIPI

14、F 1 0 套，三種電動玩具的進(jìn)價和售價如右表所示，用含 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的代數(shù)式表示購進(jìn)C種玩具的套數(shù)；求 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 之間的函數(shù)關(guān)系式；假設(shè)所購進(jìn)的這三種玩具能全部賣出，且在購銷這種玩具的過程中需要另外支出各種費用200元。求出利潤P(元)與 SKIPIF 1 0 (套)之間的函數(shù)關(guān)系式；求出利潤的最大值，并寫出現(xiàn)在三種玩具各多少套。7（2009年十堰市）為執(zhí)行中央“節(jié)能減排，美化環(huán)境，建設(shè)漂亮新農(nóng)村”的國策，我市某村打算建筑A、B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農(nóng)戶的燃料問題兩種型號沼氣池的占地面積、使用農(nóng)戶數(shù)及

15、造價見下表：型號占地面積(單位:m2/個 )使用農(nóng)戶數(shù)(單位:戶/個)造價(單位: 萬元/個)A15182B20303已知可供建筑沼氣池的占地面積不超過365m2(1)滿足條件的方案共有幾種?寫出解答過程(2)通過計算推斷，哪種建筑方案最省鈔票8（2009年哈爾濱）躍壯五金商店預(yù)備從寧云機(jī)械廠購進(jìn)甲、乙兩種零件進(jìn)行銷售若每個甲種零件的進(jìn)價比每個乙種零件的進(jìn)價少2元，且用80元購進(jìn)甲種零件的數(shù)量與用100元購進(jìn)乙種零件的數(shù)量相同 （1）求每個甲種零件、每個乙種零件的進(jìn)價分不為多少元？ （2）若該五金商店本次購進(jìn)甲種零件的數(shù)量比購進(jìn)乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個，購進(jìn)兩種零件的總數(shù)量不超過95個，該

16、五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元，每個乙種零件的銷售價格為15元，則將本次購進(jìn)的甲、乙兩種零件全部售出后，可使銷售兩種零件的總利潤（利潤售價進(jìn)價）超過371元，通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機(jī)械廠購進(jìn)甲、乙兩種零件有幾種方案？請你設(shè)計出來9（2009年齊齊哈爾市）某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，受經(jīng)濟(jì)危機(jī)阻礙，電腦價格不斷下降今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，假如賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進(jìn)價為3500元，乙種電腦每臺進(jìn)價為300

17、0元，公司可能用不多于5萬元且許多于4.8萬元的資金購進(jìn)這兩種電腦共15臺，有幾種進(jìn)貨方案？（3）假如乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金 SKIPIF 1 0 元，要使（2）中所有方案獲利相同， SKIPIF 1 0 值應(yīng)是多少？現(xiàn)在，哪種方案對公司更有利？ 10(2009年鄂州)某土產(chǎn)公司組織20輛汽車裝運甲、乙、丙三種土特產(chǎn)共120噸去外地銷售。按打算20輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種土特產(chǎn)，且必須裝滿，依照下表提供的信息，土特產(chǎn)種類甲乙丙每輛汽車運載量（噸）865每噸土特產(chǎn)獲利（百元）121610解答以下問題(1)設(shè)裝運甲種

18、土特產(chǎn)的車輛數(shù)為x，裝運乙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)假如裝運每種土特產(chǎn)的車輛都許多于3輛，那么車輛的安排方案有幾種?并寫出每種安排方案。(3)若要使此次銷售獲利最大，應(yīng)采納(2)中哪種安排方案?并求出最大利潤的值?！敬鸢浮?（2009年威海市）威海解：（1）設(shè)購買乙種電冰箱 SKIPIF 1 0 臺，則購買甲種電冰箱 SKIPIF 1 0 臺，丙種電冰箱 SKIPIF 1 0 臺，依照題意，列不等式： SKIPIF 1 0 解那個不等式，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 至少購進(jìn)乙種電冰箱14臺（2）依照題意，得 SKIPIF 1 0 解那個不等式，得

19、SKIPIF 1 0 由（1）知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 為正整數(shù)， SKIPIF 1 0 因此，有三種購買方案：方案一：甲種電冰箱為28臺，乙種電冰箱為14臺，丙種電冰箱為38臺；方案二：甲種電冰箱為30臺，乙種電冰箱為15臺，丙種電冰箱為35臺；方案三：甲種電冰箱為32臺，乙種電冰箱為16臺，丙種電冰箱為32臺2（2009年益陽市）解：(1)設(shè)每支鋼筆x元，每本筆記本y元依題意得： SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 答：每支鋼筆3元，每本筆記本5元 (2)設(shè)買a支鋼筆，則買筆記本(48a)本依題意得： SKIPIF 1 0

20、，解得： SKIPIF 1 0 因此，一共有種方案即購買鋼筆、筆記本的數(shù)量分不為：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，243(2009年內(nèi)江市)解：（1）由題意得y=4x+3(20-x)，即y=x+60（2）由題意得5x+18(20-x)243,4x+6(20-x)106，即x9，x7，7x9故滿足要求的方案有三種：新建7個維修13個；新建8個維修12個，新建9個維護(hù)11個（3）由y=x+60知y隨x的增大而增大當(dāng)x=7時，y最小=67（萬），當(dāng)x=9時，y最大=69（萬）而居民捐款共2430.2=48.6（萬）村里出資最多為20.4萬，最少為18.4萬4（2009仙

21、桃）解：（1）設(shè)有 SKIPIF 1 0 名同學(xué)參加購買書包，則有 SKIPIF 1 0 名同學(xué)購買文具盒，因此可購買書包 SKIPIF 1 0 個，購買文具盒 SKIPIF 1 0 個.因此購買學(xué)習(xí)用品的總件數(shù) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的關(guān)系式為： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 .（2）設(shè)有 SKIPIF 1 0 名同學(xué)參加購買書包，依照題意得 SKIPIF 1 0 解那個不等式組，得 SKIPIF 1 0 .又因為6人合買一個書包，故購書包的人數(shù)應(yīng)為6的倍數(shù)，因此購買書包的人數(shù)應(yīng)為：168，或174，或180相應(yīng)購買文具盒的人數(shù)為：132，或12

22、6，或120.總件數(shù) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的關(guān)系式為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 隨 SKIPIF 1 0 的增大而減小當(dāng) SKIPIF 1 0 時，總件數(shù)最多.5（2009襄樊市）解：（1）設(shè)改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的改造資金分不為萬元和萬元依題意得：，解之得答：改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的改造資金分不為60萬元和85萬元（2）設(shè)該縣有、兩類學(xué)校分不為所和所則類學(xué)校不超過5所 ，即：類學(xué)校至少有15所（3）設(shè)今年改造類學(xué)校所，則改造類學(xué)校為所，依題意得：，解之得，取整數(shù)，即：共有4種方案6（2009眉山）解：（1）購進(jìn)C種玩具套數(shù)為

23、：50 xy（或47 SKIPIF 1 0 x SKIPIF 1 0 y）（2）由題意得 SKIPIF 1 0 整理得 SKIPIF 1 0 （3）利潤銷售收入進(jìn)價其它費用 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 整理得 SKIPIF 1 0 購進(jìn)C種電動玩具的套數(shù)為： SKIPIF 1 0 據(jù)題意列不等式組 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 x的范圍為 SKIPIF 1 0 ，且x為整數(shù) SKIPIF 1 0 的最大值是23在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 0 P隨x的增大而增大當(dāng)x取最大值23時，P有最大值，最大值為595元現(xiàn)在購進(jìn)A、B、C種

24、玩具分不為23套、16套、11套7（2009年十堰市）解: (1) 設(shè)建筑A型沼氣池 x 個，則建筑B 型沼氣池(20 x )個依題意得: 解得：7 x 9 x為整數(shù) x = 7，8 ，9 ，滿足條件的方案有三種(2)設(shè)建筑A型沼氣池 x 個時，總費用為y萬元，則： y = 2x + 3( 20 x) = x+ 60 1 0，y 隨x 增大而減小，當(dāng)x=9 時，y的值最小，現(xiàn)在y= 51( 萬元 ) 現(xiàn)在方案為：建筑A型沼氣池9個，建筑B型沼氣池11個 8（2009年哈爾濱）解：（1）可列分式方程求解，但要注意檢驗，否則扣分；（2）依據(jù)題意列出不等式組，注意不等號中是否有等于，依照未知數(shù)都為整數(shù)，再結(jié)合不等式組的解集，確定未知數(shù)的具體數(shù)值，有幾個值，即有幾種方案.解：（1）設(shè)每個乙種零件進(jìn)價為 SKIPIF 1 0 元，則每個甲種零件進(jìn)價為 SKIPIF 1 0 元由題意得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 檢驗：當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是原分式方程的解 SKIPIF 1 0 （元）答：每個甲種零件的進(jìn)價為8