平面向量數(shù)量積

1、平面向量數(shù)量積第1頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三 物理上力所做的功實(shí)際上是將力分解，只有在位移方向上的力做功sF思考1：如圖，一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s， 且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的 功W是多少？ W = |F|s|cos 其中|F|cos是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量。第2頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三思考2： 功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量F與s“數(shù)量積”. 模仿力做功公式，我們定義向量的數(shù)量積的運(yùn)算. 一般地，對(duì)于非零向量a與b的數(shù)量積是指什么？ W = |F|s|cos第3頁

2、，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三向量的夾角范圍：O(一)向量的夾角O第4頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三請(qǐng)判斷，在下列各圖中 AOB是否為給出向量的夾角(1)oAB(4)oAB(3)oAB(2)oAB第5頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三向量的夾角注意點(diǎn)1.在兩向量的夾角的定義中，兩向量 必須是同起點(diǎn)當(dāng)時(shí)，a與b同向當(dāng)時(shí)，a與b反向當(dāng)2時(shí)，a與b垂直，記作a b2. , 第6頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三通過平移變成共起點(diǎn)！如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與AC的夾角； （2）AB與BC的夾角。 （

3、3）AC與BC的夾角。ABC第7頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三(二)平面向量的數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a 和b ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量 叫做a 與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b ，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 0（1）向量數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其值的符號(hào) 由夾角決定：（3） a b不能寫成ab ，ab 表示向量的另一種運(yùn)算（2）向量數(shù)量積是一種新的運(yùn)算法則，以前所學(xué)的運(yùn)算律、 性質(zhì)并不一定成立當(dāng),/2)時(shí), a . b當(dāng)(/,時(shí), a . b當(dāng)=/2, a . b=0第8頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三例題講

4、解 例已知|a |=2, |b |=3分別在下列條件下求a b.解： （1）a b =|a | |b |cos（1）1350（2）a b(3)ab=23cos1350（2）當(dāng)a與b同向時(shí)， a b=23=6當(dāng)a與b反向時(shí)， a b =2 3= 6（3） a b = |a | |b |cos = 23cos 900 = 0第9頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三1. 已知 | p | =8, | q |=6, 向量p 和 q 的夾角是 60, 求 p q. 2. 設(shè)| a |=12, | b |=9, a b = 54 , 求 a 與b 之間的夾角。 3 . 已知 |a| =

5、4,為單位向量,它們的夾角為1200 ， 求 a 學(xué)生練習(xí) 第10頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三例 . 已知在ABC中，BC=，CA=，C=，求BC . CAC=向量BC與CA所成的角為=58 x (-1/2)= - 20BC . CA= BC CA cos解：ABC學(xué)生練習(xí) 第11頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三討論性質(zhì)：（1）ab a b=0 (判斷兩非零向量a、 b垂直的依據(jù)) （2）當(dāng)a 與b 同向時(shí)，a b = | a | | b |， 當(dāng)a 與b 反向時(shí)，a b = - | a | | b | 特別地（3）（4）a b | a |

6、| b |交換律：對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：分配律：（5）運(yùn)算率第12頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三 辨析題:2）若a0,且a b=a c,則b=c. 5）若 |a b|a| |b|， 則ab.例題講解0 b=0若a b=0，則a b中至少有一個(gè)為 0若a b = a c ,則bc,當(dāng)且僅當(dāng)a = 0 時(shí)成立 6）對(duì)任意向量 a 有3）(a b) c=a (b c).數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足消去律第13頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三已知 | a | =4, | b |=6, 向量a 和b的夾角是 60, 求 a . (a+b) , (2a-b) . (a+3b) 的值已知 | a | =2, | b |=3, 向量a 和b的夾角是 120,求 |a+b| 的值已知 | a | = | b | = 1, |3a - 2b| =3，求 |3a+b|的值例題講解學(xué)生練習(xí) 學(xué)生練習(xí) 第14頁，共15頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)24分，星期三性質(zhì)：（1）ab a b=0 (判斷兩非零向量a、 b垂直的依據(jù)) （2）當(dāng)a 與b 同向時(shí)，a b = | a | | b |， 當(dāng)a 與b 反向時(shí)，a b = - | a | | b | 特別地（3）（4）a b