大數(shù)定律和中心極限定理

1、第五章大數(shù)定律和中心極限定理一、內(nèi)容提要一）切貝謝夫不等式切貝謝夫不等式的內(nèi)容設(shè)隨機(jī)變量X具有有限的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）,則對任何正數(shù)下列不等式成立。P（XE（X8）,82P（XE（X）兀匕8）的概率做出估計(jì)，這是它的最大優(yōu)點(diǎn)，今后在理論推導(dǎo)及實(shí)際應(yīng)用中都常用到切貝謝夫不等式。2）不足之處為要計(jì)算P【XE（X）82）不足之處為要計(jì)算P布密度或分布函數(shù)才能解決。另外,利用本不等式估值時精確性也不夠。（3）當(dāng)X的方差D（X）越小時，PXE（Xj8）的值也越小，表明X與E（X）有較大“偏差”的可能性也較小，顯示出D（X）確是刻畫X與E（X）偏差程度的一個量。二）依概率收斂limPX一a|兀

2、8nns如果對于任何0,事件x-a兀J的概率當(dāng)nT時，趨于1,即Li,則稱隨機(jī)變量序列X,X，,XnlimPX一a|兀8nns三）大數(shù)定律大數(shù)定律的內(nèi)容1）大數(shù)定律的一般提法若,是隨機(jī)變量序列，如果存在一個常數(shù)序列ai，a,，對任意0,恒有l(wèi)imPnsni=1則稱序列X服從大數(shù)定律（或大數(shù)法則）。n（2）切貝謝夫大數(shù)定律n設(shè)隨機(jī)變量X1，X2limPnsni=1則稱序列X服從大數(shù)定律（或大數(shù)法則）。n（2）切貝謝夫大數(shù)定律n設(shè)隨機(jī)變量X1，X2,Xn，相互獨(dú)立，分別有數(shù)學(xué)期望E（Xi）和方差D（Xi）,且它們的方差有公共上界C,即D（X）0,恒有1工X1工E&）兀n1n1i=1i=13）辛欽大

3、數(shù)定律limPns設(shè)X,X2,X,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望存在:12nE（X）=a,i=1,2,Ai則對于任意的0,有l(wèi)imPnsni=14）貝努里大數(shù)定律設(shè)n是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意A的0,恒有l(wèi)imPns大數(shù)定律的意義（1）大數(shù)定律從理論上證明了“頻率的穩(wěn)定性”,對概率論的建立起了奠基作用。（2）切貝謝夫大數(shù)定律說明經(jīng)驗(yàn)平均值接近于理論平均值；辛欽大數(shù)定律說明隨機(jī)變量的平均值接近于數(shù)學(xué)期望,這是測量中取平均值的理論依據(jù)；貝努里大數(shù)定律說明了頻率具有穩(wěn)定性,即頻率收斂于概率，這是用頻率f（A）來估計(jì)概率p的理論依據(jù)。n3）把

4、獨(dú)立隨機(jī)變量和的平均作為大數(shù)定律的研究對象在理論上的應(yīng)用上都是重要的。KK=1K=1（四）中心極限定理中心極限定理的內(nèi)容（1）獨(dú)立同分布中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量,xn,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：E（XK）二U,D（XK）=Q2壬0,（K=1,2,，n,），則隨機(jī)變量K=-K=1的分布函數(shù)F（x），對于任意的x，滿足nlimF(x)=limP-k=indndns（2）德莫佛一拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量耳（n二1,2,A）具有參數(shù)為n,p（0p1）的二項(xiàng)分布，則對于任意區(qū)間（a,b，恒nTOC o 1-5 h z1t2bdte2a2兀中心極限定理的意義（1）中心極限定理

5、從理論上證明了“許多類型”的隨機(jī)變量，它們的極限分布服從正態(tài)分布這既肯定了正態(tài)分布在概率論中處于主導(dǎo)地位，又給概率計(jì)算提供了強(qiáng)有力有手段。（2）中心極限定理是把獨(dú)立隨機(jī)變量的和作為研究對象。（3）應(yīng)用中心極限定理前的準(zhǔn)備步驟（a）把問題歸結(jié)為獨(dú)立隨機(jī)變量的和X二工X。KK=1（b）把和“中心化”KK為X工E(X)KK把和再“標(biāo)準(zhǔn)化”K-1K=一對于獨(dú)立同分布中心極限定理標(biāo)準(zhǔn)化后是n乂XnpK,：no對于德莫佛一拉普拉斯中心極限定理標(biāo)準(zhǔn)化后是耳npx：np(1p)(4)由獨(dú)立同分布中心極限定理知：若X1,X2,Xn，獨(dú)立同分布，則nTs時，隨機(jī)變量X=X1PX-E(X)X-npL漸vnc+X,+

6、X二工X漸近地服從正態(tài)分布N(E(X),D(X)=N(nu,nL漸vnc2ni-ii近地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)。就近由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理知，若隨機(jī)變量xB(n,p),則當(dāng)n充分大時，纟就近npq似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。記為XZnpaN(0,1)npq從而得當(dāng)n較大時，二項(xiàng)分布的近似計(jì)算公式Pa兀Pa兀Xb=P=OanpXnpbnp兀1=1=10021000040即在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在400600之間的概率在|9以上。例2利用切貝謝夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望差的絕對值大于三倍均方差的概率。分析依題意，要估計(jì)pL-E(X艮3七D(X)只需在切貝謝

7、夫不等式中取=3、D(X)即可。解設(shè)隨機(jī)變量X的期望為E(X)，方差為D(X)，在切貝謝夫不等式中，取=D(X)，則有PfPfX-E（X）DX）=19D（X）=9當(dāng)然這種估計(jì)還是非常粗略的，如X評注由例1、例2可以看出：利用切貝謝夫不等式可以對隨機(jī)變量的分布做出估計(jì)，即對于任意的,可以估計(jì)出PX-E(X)npx-E(X)*當(dāng)然這種估計(jì)還是非常粗略的，如XN(u,a2)，則P(X-3dn0.3%。而利用切貝謝夫不等式進(jìn)行估計(jì)，則px-3a0,的0,有EX證明p(x)dxp|x|=p(x)dxXlK_8=Jp(x)dx=丄E|X|K.K說明切貝謝夫不等式的證明方法是很有特色的，同樣在本題的證明過程

8、中兩次加強(qiáng)了不等式XK其一是利用在積分區(qū)間IX上,一1。其二是利用被積函數(shù)非負(fù)擴(kuò)大積分區(qū)間(由部分區(qū)間擴(kuò)K大到整個數(shù)軸上)。例4計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算。設(shè)所有的“加數(shù)”取整數(shù)的誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都在,上均勻分布。若將1200個數(shù)相加，求誤差總和的絕對值小于15的概率。分析以隨機(jī)變量X表示誤差總和，XK表示各個加數(shù)取整數(shù)的誤差(K=1,2,，1200),則KX=蘭X。由于X,X,X相互獨(dú)立且服從同一分布，由中心極限定理得X近似地服從正態(tài)分K121200K=1布，從而可計(jì)算出p|x|兀15解以隨機(jī)變量X表示誤差總和，XK(K=1,2,，1200)表示各個加

9、數(shù)取整的誤差，則KX=即X.KK=1由題意知x,x2，x2相互獨(dú)立都在,上服從均勻分布，因此121200E(X)=一0.5E(X)=一0.5+0.5=0,K2D(X)=(0.5+0.5)=丄,(K=1,2,A1200)K1212=舸D(X)=0,K=藝D(X)=100.K0，使P60006兀=0.99.12E(X)=E藝XIK=1K丿D(X)=dSXIK=1K丿ZX-E(X)X-0X由中心極限疋理知()=近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。7D(X)10010所以px|兀15=P15兀X兀15)J-15X151=P=0.99,X1000兀60006兀=0.99,X1000兀8600066000X1000,

10、1000 x5!6兀581000 x56q（207.858）（207.858）=2（207.858）1所以2（207.858）1=0.99,（207.858）=0.995,查正態(tài)分布表，得并由60006兀0.0124=并由60006兀0.0124=0.99,p925X1075=0.99。即以的概率推斷，在6000粒種子中良種所占的比例與1差是，這時，相應(yīng)地良種數(shù)在925粒到10756粒之間。例6某單位200架電話分機(jī)，每架分機(jī)有5%的時間要使用外線通話，假定每架分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位要安裝多少條外線，才能以90%的概率保證分機(jī)使用外線時不等待。解以隨機(jī)變量X表示使用外線的分機(jī)數(shù)

11、，則XB(200,),設(shè)需要設(shè)置n條外線，滿足PXWn二，由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理知匸纟=乂巴近似地服從N(0,1)x；npq、9.5所以px所以pxWnLP.v9.5n-叫_fn-10、J95J_IJ95丿要使pxn=0.9,要使即使”寫卜0.9,查正態(tài)分布表得n一n一109.5沁1.3,n=14.即設(shè)置14條外線就可滿足要求。評注由例4例6可以看出:若隨機(jī)變量Xj(i=1,2,n)獨(dú)立同分布，則當(dāng)n較大時，X=才X就近似服從iii=1f工X-E(X)M工E(X)2d(X),或i=i：i=i=l_就近似地服從N(0,1)。由此，可對有關(guān)X的事件i=1i=1丿：D(X)i=1i作近似計(jì)算

12、。X-np若XB(n,p),當(dāng)n較大時，由德莫佛一拉普拉斯定理知就近似地服從N(0,1)。vnpq由此，得下列近似公式PXa農(nóng)f丁,IJnpq丿p冗x1=1-P（X兀1=1-P（X二o二1-C0（0.02）3（0.98）00二1-（0.98）00二0.8674.2）用泊松分布作近似計(jì)算2）用泊松分布作近似計(jì)算n=100,p=0.02,九=np=2,P（X1農(nóng)男2沁藝=0.8674.k!k!k=1k=13）用中心極限定理計(jì)算3）用中心極限定理計(jì)算np=2,、；npq=v2x0.98=1.4,XH=UaN（0,1）vnpqI.4P（X1=1-P%X兀1=1-P|口1=1=.21002210029解

13、設(shè)需要投擲n次，以隨機(jī)變量X表示n次投擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，由題意得Xbn,1,E（X）=-,D（X）=-，I2丿244O.Oln24O.Oln21004nD(X)G.lnPo.4兀兀0.6j=P0.4n兀X兀0.6n=px-E（X）兀O.lnL1-要使P0.4兀兀0.6j0.9,只需1-要0.9，解得n$250.4n(1)以隨機(jī)變量X表示100個部件中正常工作的部件數(shù)，則XB(100,)。由德莫佛一拉普拉斯定理知%-100攣aN（0,1）,從而P5X100100 x0.9x0.1=P；85-100X9一X-叫9說-100 x9（3.33）-G.67人0.95v100 x0.9x0.1100 x

14、0.9x0.1、100 x0.9x0.1(2)設(shè)X表示在n個部件中正常工作的部件數(shù)，則XB(n,)。依題意就是要確定n,使p.8nXn=0.95,由德莫佛一拉普拉斯定理知;S需從(01),從而=PWn-0.9nvnx0.9xn-0.9nvnx0.9x0.1=P.一P:JV1002100X-100i120-100冗v100=（2）=（2）=0.9772。解以X表示6000粒種子中的良種數(shù)，則E（X）=6000 x-=1000,6v）=600015=5000DVX丿一6000 xx6661）利用切貝謝夫不等式估計(jì)60006兀0.01=p60006兀0.01=pfx-1000兀60=PX-E（X）602=1-00=0.7685.3600 x62）2）利用中心極限定理估計(jì)X-X-10007（0,1）,;5000X-1000：5000兀0.011=pfx-10001X-1000：500060i500060-60i5000,6000H6=0.9624.解以X表示200臺車床中開車的臺數(shù)，則XB(200,依題意就是要確定K,使pX0.999.由德莫佛一拉普拉斯定理知冷貉從S)因而沁X0.999,16.93丿查表得K-1203.1,K14