函數(shù)的單調(diào)性 全省一等獎(jiǎng)-精講版課件

1、函數(shù)的單調(diào)性O(shè)xyOxyOxy21yOx引例：常見函數(shù)的圖象二、新知探究解析法圖像法通俗語言：在區(qū)間（0，+）上， 隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大。數(shù)學(xué)語言：在區(qū)間（0，+）上， 任取 ，得 當(dāng) 時(shí)，有 。這時(shí)我們就說函數(shù) 在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)x01234f(x)014916列表法0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征數(shù)量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升數(shù)量特征0yx1x

2、2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升數(shù)量特征y隨x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量特征y隨x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量特征y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小0yx1x2f(x2)f(x1)0

3、yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量特征y隨x的增大而增大當(dāng)x1x2時(shí)， f(x1) f(x2)y隨x的增大而減小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象 y=f(x) y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量特征y隨x的增大而增大當(dāng)x1x2時(shí)， f(x1) f(x2) 那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為f(x)的單調(diào) 減 區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)的定義.xOyx

4、1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I A. 如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間I， x1,x2 I設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I A. 如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上 x1,x2 I 那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增 函數(shù)，I稱為f(x)的單調(diào) 區(qū)間.增當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1 ) f(x2 )，當(dāng)x1x2時(shí)，都有 f (x1 ) f(x2 )，單調(diào)區(qū)間（2）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);（1）如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間I是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù) y =f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的

5、，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：判斷1：函數(shù) f (x)= x2 在 是單調(diào)增函數(shù)；xyo（2）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);（1）如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間I是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù) y =f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：判斷2：定義在R上的函數(shù) f (x)滿足 f (2) f(1)，則函數(shù) f (x)在R上是增函數(shù)；（3） x 1, x 2 取值的任意性yxO12f(1)f(2)yoxyox在(-,+)是減函數(shù)在(-,0)和(0,+)是減函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)yoxyoxyox在(-,+)是增

6、函數(shù)在(-,0)和(0,+)是增函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)xy例1：下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)， 根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào) 區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中y=f(x)在區(qū)間-5,-2), 1,3)是減函數(shù)， 在區(qū)間-2,1), 3,5 上是增函數(shù)。例2. 寫出單調(diào)區(qū)間數(shù)缺形時(shí)少直觀xy_ ,討論1：？不能數(shù)形結(jié)合的思想要了解某函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用的方法，但這種方法比較粗略。嚴(yán)格地 說，它還需要進(jìn)行證明。例3 （1）證明函數(shù)f(x)=-3x+2在R

7、上是減函數(shù)。分析：按定義只需設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)， 當(dāng) x1x2，我們來證明f(x1)f(x2)。證明： x1,x2 R,且 x1x2，f(x1)-f(x2)=(-3 x1 +2)-(-3 x2+2)= 3( x2- x1)由x1x2 ，得 x2- x1 0于是 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2)所以，函數(shù)f(x)=-3x+2在R上是減函數(shù)。取值作差變形定號(hào)下結(jié)論判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 1. 任取x1，x2D，且x1x2 2 .作差f(x1)f(x2)； 3 .變形（通常是因式分解和配方） 4 .定號(hào)（

8、即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；5 .下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性） 三判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：1 取值： x1，x2D，且x1x2；2 作差：f(x1)f(x2)；3 變形：通常是因式分解和配方；4 定號(hào)：即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)；5 下結(jié)論：即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的 單調(diào)性作差變形定號(hào)下結(jié)論例4 證明函數(shù) 在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。取值例6：證明函數(shù) 在R上是減函數(shù)。 x1,x2 0，+）,且x1 x2， 則：由0 x1x2 得 且 于是 f(x1)-f(x2)0。即 f(x1)

9、f(x2)所以函數(shù) 在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。取值作差變形定號(hào)下結(jié)論證明:例4 證明函數(shù) 在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。練一練 試用定義法證明函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)。成果運(yùn)用若二次函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。 解：二次函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ,由圖象可知只要 ，即 即可. oxy1xy1o成果運(yùn)用若二次函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)是 ， 則a的取值情況是 （ ） 變式1變式3請(qǐng)你說出一個(gè)在 上單調(diào)遞減的函數(shù)若二次函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。 A. B. C. D. 返回 是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且 的圖

10、象過點(diǎn)A（0，2）和B（3，0） （1）解方程 （2）解不等式 （3）求適合 的 的取值范圍思考 小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的定義中有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？2.判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些常用方法？3.你學(xué)會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？作業(yè)2、證明函數(shù) f（x）=-x2在 上是 減函數(shù)。3、證明函數(shù) f（x）= 在 上是單調(diào)遞增的。(選做)1、教材 p39 1，2，3，4 4，0，9，32，72，134，（）思考題225數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)無形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休;切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離. 華羅庚判斷題：（1）已知f(x)= ，因?yàn)閒(-1)f(2),所以函

11、數(shù)f(x)是 增函數(shù)。（2）若函數(shù)f(x)滿足f (2)f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2，3 上為增函數(shù)。（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2和(2，3)上均為增函數(shù)， 則函數(shù)f(x)在(1，3)上為增函數(shù)。（4）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 在區(qū)間（-，0）和（0，+） 上都是減函數(shù)，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是減函數(shù)。例5：證明函數(shù) 上是增函數(shù)。 例6：證明函數(shù) 在R上是增函數(shù)。證明：任取例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。思考例1（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x

12、)在D上是否仍為增函數(shù)？ 為什么？所以函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上仍為增函數(shù)是（2）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為減函數(shù)？ 為什么？（3）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：能否確定函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)性？反例：f(x)=x在R上是增函數(shù)，g(x)=-x在R上是減函數(shù) 此時(shí) F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0為常函數(shù)，不具有單調(diào)性不能是例2 如果 是m,n上的減函數(shù)，且 ， 是a,b上的增函數(shù)，求證 在m,n上也是減函數(shù)。復(fù)合

13、函數(shù):判斷：一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，作為另一個(gè)函數(shù)的自變量。定義域：1、若已知 的定義域?yàn)閍,b,則復(fù)合函數(shù) 的定義域由 解出。2、若已知 的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù) 的定義域即為小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的定義域，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間。增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性注：1、復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)區(qū)間必須是其定義域的子集2、對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性是由函數(shù)y=f(u)及u=g(x)的單調(diào)性確定的且規(guī)律是“同增，異減”例1.設(shè)y=f(x)的單增區(qū)間是(2,6)，求函數(shù)y=f(2x)的單調(diào)區(qū)間

14、。小結(jié):在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)必須注意單調(diào)區(qū)間是定義域的某個(gè)區(qū)間。（2）求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 注意：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先要求函數(shù)的定義域.（1）掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.小結(jié)同增異減四、小結(jié)1.概念探究過程：從直觀到抽象、從特殊到一般。2.用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。3.數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合小結(jié)：考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要先考慮函數(shù)的定義域，在定義域范圍內(nèi)求函數(shù)的單調(diào)性。知識(shí)探究（一） 若 呢？ 則函數(shù) 在區(qū)間D上的單調(diào)性如何？思考1：對(duì)于函數(shù) 定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 ，若 ，對(duì)于函數(shù) 定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 ,若當(dāng) 時(shí)，都有 (1) ,則稱函數(shù) 在

15、區(qū)間D上是增函數(shù)；(2) ,則稱函數(shù) 在區(qū)間D上是減函數(shù).思考2：若函數(shù) 在區(qū)間D上為增函數(shù)， 為常數(shù)，則函數(shù) 、 的單調(diào)性如何？思考3：若函數(shù) 、 在區(qū)間D上都是增函數(shù)，則函數(shù) 、 在區(qū)間D上的單調(diào)性能否確定？思考4：若函數(shù) 在區(qū)間D上是增函數(shù)，則函數(shù) 在區(qū)間D上是增函數(shù)嗎？函數(shù) 在區(qū)間D上是減函數(shù)？如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù) 在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間，此時(shí)也說函數(shù)在這一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). 知識(shí)探究（二）思考1：函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)嗎？思考3：一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，就單調(diào)性而言有哪幾種可能情形？思考2：函數(shù) 在R上具有單調(diào)性嗎？其單

16、調(diào)區(qū)間如何？思考5:下列圖象表示的函數(shù)是增函數(shù)嗎？ xyo圖1xyo圖2思考4:若函數(shù) 在區(qū)間D上具有單調(diào)性， ,那么 分別在區(qū)間A、B上具有單調(diào)性嗎？思考6:一般地，若函數(shù) 在區(qū)間A、B上是單調(diào)函數(shù)，那么 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)嗎？理論遷移 例1 已知函數(shù) ，求不等式 的解集. 例2 已知函數(shù) 在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍. 例3 已知定義在R上的函數(shù) 滿足：對(duì)任意 R，都有 ，且當(dāng) 時(shí)， ，試確定函數(shù)的單調(diào)性.（三）求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 注意：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先要求函數(shù)的定義域.（二）掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.小結(jié)（一）函數(shù)單調(diào)性解題應(yīng)用.1、已知單調(diào)性，求參數(shù)范圍。(有時(shí)候需要討論)3、利用單調(diào)性求解不等式。(重在轉(zhuǎn)化問題)2、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值。4、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的題型(包括求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間)同增異減1、當(dāng)x0，+)，x增大時(shí)， 圖（1）中的y值 ； 圖（2）中的y值 。2、當(dāng)x(，0)，x增大時(shí)， 圖（1）中的y值 ； 圖（2）中的y值 。請(qǐng)觀察函數(shù)y=x2與y=x3圖象，回答下列問題：增大增大增大減小 函