二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)-完整精講版課件

1、2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）知識回顧，問題引入1.什么是二次函數(shù)？ 一般地，若兩個變量x，y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的形式，則稱y是x的二次函數(shù).2.在二次函數(shù)y=x2中，y隨x的變化而變化的規(guī)律是什么？你想直觀地了解它的性質(zhì)嗎？-24-11010124合作學(xué)習(xí)，探究新知畫二次函數(shù)y=x2的圖象（1）觀察y=x2的表達式，選擇適當(dāng)?shù)膞值，并計算相應(yīng)的y值，完成下表：xy(2)在直角坐標系中描點（3）用光滑的曲線連接各點，便得到函數(shù)y=x2的圖象y=x2（1）這個函數(shù)的圖象形狀是怎樣的？（2）圖象與x軸的交點坐標是什么？

2、（3）y隨x的變化而怎樣變化？（1）圖象是一條拋物線；（2）有交點，坐標為（0,0）；（3）當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小， 當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大；（4）當(dāng)x=0時，y的值最大，y最大值=0；（5）是軸對稱圖形，對稱軸是y軸 （直線x=0），如（1，1）和（-1，1）等.（4）x取何值時，y的值最小？是多少？（5）圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對對稱點. 二次函數(shù)y=x2的圖象是一條拋物線， 開口方向：向上 對稱軸：y軸 頂點：對稱軸與拋物線的交點，它是圖象的最低點.坐標為（0,0） 二次函數(shù)y=-x2 的圖象也是一條拋物線，它與二次函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于x軸對

3、稱 二次函數(shù)y=-x2的圖象是什么形狀？它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系？圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=x2y=-x2 向上 向下y軸（0，0）拋物線增減性： y=x2 : x 0時，y隨x的增大而減小 x0時，y隨x的增大而增大 y=- x2: x 0時，y隨x的增大而增大 x0時，y隨x的增大而減小最值： y=x2: x=0時，y最小值=0 y=- x2: x= 0時，y最大值=0例題講解 已知二次函數(shù)y=x2.求：（1）當(dāng)x=5時，y的值；（2）當(dāng)y=4時，x的值；（3）當(dāng)x為何值時，y隨x的 增大而增大？解：（1）把x=5代入，得 y=52=25. （2）把y=4代入，得 x2=4

4、， 解得x=2（3）當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大.1.二次函數(shù)y=-x2中，當(dāng)y=-16時， x =_.2.已知函數(shù)y=ax2的圖象過點（3，9），和（2，t）（1）求a和t的值；（2）試判斷這個函數(shù)的圖象是否 過點（-3，9）.過點（-3,9）a =1,t =4能力小測試：1.拋物線y=-x2與直線y=kx+3交于點 （2，b），則k=_.2.如圖，拋物線y=x2中，當(dāng)-1x2時， y的取值范圍是_.-3.50y4拓展練習(xí)：二次函數(shù)y=x2的圖象是怎樣的二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)有哪些作業(yè)：習(xí)題2.2 二次函數(shù)y=-x2的圖象是怎樣的二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)有哪些歸納小結(jié)2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

5、（2）知識回顧，問題引入1.二次函數(shù)y=x2、y=-x2的圖象 是什么形狀的？2.二次函數(shù)y=x2、y=-x2的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值是怎樣的？拋物線可列表進行比較 在圖2-4中畫出二次函數(shù)y=3x2的圖象，并思考下列問題：（1）圖象：_開口方向：_對稱軸：_頂點坐標：_（2）它與y=x2的圖象的相同點：_；不同點：_.拋物線向上y軸（0，0）形狀、開口方向、對稱軸、頂點坐標開口大小合作學(xué)習(xí)，探究新知相同：形狀開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標不同：開口大小a越大，開口越小 在圖2-4中畫出y= x2的圖象，它與y=x2，y=3x2的圖象有什么相同和不同？想一想函數(shù)y=ax2（a0）的圖

6、象性質(zhì)圖象：開口方向：_, 對稱軸：_頂點坐標：_.向上y軸（0，0）增減性： x0時，y隨x的增大而減小 x0時，y隨x的增大而增大最值： 當(dāng)x=0時，y取得最小值 y最小值=0函數(shù)y=ax2（a0）的圖象性質(zhì)圖象：開口方向：_， 對稱軸：_頂點坐標：_.向下y軸（0,0）增減性： x0時，y隨x的增大而增大 x0時，y隨x的增大而減小最值： 當(dāng)x=0時，y取得最大值 y最大值=0畫出二次函數(shù)y=2x2+1的圖象y=2x2+1y=2x2y=2x2+1的圖象：由y=2x2的圖象向上平移1個單位得到開口方向：向上對稱軸：y軸頂點坐標：（0，1） 二次函數(shù)y=2x2+1的圖象的開口方向、對稱軸、頂

7、點坐標分別是什么？它與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關(guān)系？y=2x2y=2x2+1y=2x2-1的圖象：由y=2x2的圖象向下平移1個單位得到開口方向：向上對稱軸：y軸頂點坐標：（0,-1） 二次函數(shù)y=2x2-1的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？它與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關(guān)系？y=2x2y=2x2-1函數(shù)y=ax2+c（a0）的圖象性質(zhì)平移：由y=ax2向上或向下平移c個單位得到開口方向： 對稱軸： 頂點坐標：向上y軸（0，c）增減性： x0時，y隨x的增大而減小 x0時，y隨x的增大而增大最值： 當(dāng)x=0時，y取得最小值 y最小值=c函數(shù)y=ax2+c（a0）的性質(zhì)平移

8、：由y=ax2向上或向下平移c個單位得到開口方向： 對稱軸： 頂點坐標：向下y軸（0，c）增減性： x0時，y隨x的增大而增大 x0時，y隨x的增大而減小最值： 當(dāng)x=0時，y取得最大值 y最大值=c 拋物線y= x2+4是由拋物線y= x2怎樣平移得到的？并說明：（1）頂點坐標、對稱軸及y隨x的變化情況；（2）函數(shù)的最值.例題講解 解 ：拋物線y= x2+4是由拋物線 y= x2向上平移4個單位得到的.（1）頂點坐標：（0，4） 對稱軸：y軸 當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小， 當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小，（2）函數(shù)的最值：y最小值=41.二次函數(shù)y=3x2- 的圖象與二次函數(shù) y=3x2的圖

9、象有什么關(guān)系？它是軸對 稱圖形嗎？它的開口方向、對稱軸、 頂點坐標分別是什么？畫圖看一看.2.二次函數(shù)y=-2x2- 的圖象與二次函 數(shù)y=-2x2+ 的圖象有什么關(guān)系?隨堂練習(xí)y=3x2 y=3x2-1.y=3x2- 的圖象：由y=3x2的圖象向下平移 個單位得到開口方向：向上對稱軸：y軸頂點坐標：（0，- ）2. y=-2x2- 的圖象： 由y=-2x2+ 的圖象向下平移1個 單位得到y(tǒng)=-2x2+ y=-2x2- 已知函數(shù)y=ax2+c的圖象經(jīng)過點（1， ）和（-3，-1）.（1）求函數(shù)的關(guān)系式；（2）指出頂點坐標；（3）拋物線y=ax2+c與x軸的交點知識拓展解 （1）由題意，得解得此

10、函數(shù)的關(guān)系式為y=- x2+2（2）頂點坐標為（0,2）（3）當(dāng)y=0時，- x2+2=0解得此拋物線與x軸交點為（ ，0）（- ，0）二次函數(shù)y=ax2的圖象、性質(zhì)分別是什么二次函數(shù)y=ax2+c的圖象、性質(zhì)分別是什么作業(yè)：習(xí)題2.3 拋物線y=ax2+c與y=ax2有怎樣的關(guān)系歸納小結(jié)2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）知識回顧，問題引入1.二次函數(shù)y=ax2+c的圖象是什么形狀的？2.二次函數(shù)y=ax2+c的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值分別是怎樣的？拋物線分a0和a0兩種情況32032501818882021882281832 對于同一個y值，這兩個函數(shù)對應(yīng)的x值相差1（在對稱軸

11、同側(cè)）合作學(xué)習(xí)，探究新知畫出二次函數(shù)y=2(x-1)2的圖象（1）完成下表： 觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)2(x-1)2與2x2的值有什么關(guān)系？x-4-3-2-1012342x2 2(x-1)2（2）畫函數(shù)出y=2(x-1)2的圖象y=2x2y=2(x-1)2y=2(x-1)2的圖象：由y=2x2的圖象向右平移1個單位得到；開口方向：向上；對稱軸：直線x=1；頂點坐標：（1, 0 ）； x1時，y隨x的增大而減小， x 1時，y隨x的增大而增大. 二次函數(shù)y=2(x-1)2的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關(guān)系？它的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大？當(dāng)x

12、取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小？ y=2(x+1)2的圖象：由y=2x2的圖象向左平移1個單位得到. 類似地，你能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=2(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關(guān)系嗎？y=2(x+1)2y=2x2對于二次函數(shù)y=-3(x+2)2：（1）它的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對稱圖形嗎？它的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？（2）當(dāng)x取哪些值時，y的隨x值的增大而增大？當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小？隨堂練習(xí)：（1）y=-3(x+2)2的圖象：由y=-3x2的圖象向左平移2個單位得到； 它是軸對稱圖形； 開口方向：向下； 對稱軸：直線x=

13、-2； 頂點坐標：（0,-2）.(2) x-2時，y隨x的增大而增大， x -2時，y隨x的增大而減小. 由二次函數(shù)y=2x2的圖象，你能得到二次函數(shù)y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的圖象嗎？你是怎樣得到的？與同伴進行交流.y=2x2y=2x2-y=2(x+3)2-y=2(x+3)2 y=2x2- 的圖象：由y=2x2的圖象向下平移 個單位得到. y=2(x+3)2的圖象：由y=2x2的圖象向左平移3個單位得到. y=2(x+3)2- 的圖象：由y=2x2的圖象向左平移3個單位，再向下平移 個單位得到（也可由y=2x2的圖象向下平移 個單位，再向左平移3個單位得到）.

14、形狀、開口大小、開口方向相同，只是位置不同.拋物線y=a(x-h)2+k可由拋物線y=ax2沿x軸方向平移h個單位（h0時，向右平移，h0時，向左平移），再沿y軸方向平移k個單位（k0時，向上平移，k0時，向下平移）得到. 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k與y=ax2的圖象有什么關(guān)系？ 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是一條拋物線.開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=a(x-h)2+k 向上（a0） 向下（a0）y軸（h，k）增減性： a0時，xh，y隨x的增大而減小 xh，y隨x的增大而增大 a0時，xh，y隨x的增大而增大 xh，y隨x的增大而減小最值： a0時，x=h，y最小值=k a0時，x=

15、h，y最大值=k（1） 填空：二次函數(shù)y=-(x+3)2+2的開口方向是_，對稱軸是_，頂點坐標是_；當(dāng)x_時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x_時，y最大值=_.（2）此拋物線怎樣由拋物線y=-x2平移得到？向下（-3，2）-3=-32直線x=-3 由拋物線y=-x2先向上平移2個單位，再向左平移3個單位或先向左平移3個單位，再向上平移2個單位得到.例題講解 已知一個二次函數(shù)的圖象的形狀和拋物線y=-2x2相同，且它的頂點坐標為（1，3）.（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式.（2）x取何值時，y隨x的增大而增大？（1）y=-2(x-1)2+3（2）x1知識拓展練一練：1.已知函數(shù)y=-3(x-2)2+4，當(dāng)

16、x=_時，函數(shù)取最大值為_.2.已知拋物線y=-(x+1)2-3，當(dāng)x_時，y隨x的增大而減小.3.怎樣平移拋物線y=3x2，便可得到拋物線y=3(x-2)2+2？24-1 由拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位或先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得到.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是怎樣的作業(yè)：習(xí)題2.4 拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2有怎樣的關(guān)系二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的性質(zhì)有哪些歸納小結(jié)2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）知識回顧，問題引入1.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是什么形狀的？2.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的開口方向、對稱軸、頂

17、點坐標、增減性、最值分別是怎樣的？拋物線分a0和a0兩種情況 學(xué)習(xí)了二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)之后，現(xiàn)在你能研究二次函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象和性質(zhì)嗎？化成y=a(x-h)2+k的形式唄！合作學(xué)習(xí)，探究新知例1 :求二次函數(shù)y=2x2-8x+7的圖象的對稱軸和頂點坐標.解 y=2x2-8x+7 =2(x2-4x)+7 =2(x2-4x+4)-8+7 =2(x-2)2-1二次函數(shù)y=2x2-8x+7的圖象的對稱軸是直線x=2,頂點坐標為（2，-1）.解 （1）y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4 對稱軸： 直線x=1 頂點坐標： （1，4） （2） y=2x2-12x+

18、8 =2(x-3)2-10 對稱軸： 直線x=3 頂點坐標： （3，-10）求下列二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標：（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸是直線x=- ,頂點坐標為（- ， ）.解 y=ax2+bx+c =a(x2+ x)+c =ax2+2 x+( )2-( )2+c =a(x+ )2+ 例2 求二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的 對稱軸和頂點坐標 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=ax2+bx+c 向上（a0） 向下（a0）直線x=-（- ， ）增減性： a0時，x- ，y隨x的增大而減小 x- ，y隨x的增大而增大 a0時，x- ，y隨x的增大而增大 x - ，y隨x的增大而減小最值： a0時，x=- ，y最小值= a0時，x=- ，y最大值= 做一做： 如圖2-6所示，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線，按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以用y= x2+ x+10表示，而左、右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱.（1）鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？（2）兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？解 （1）y= x2+ x+10 = (x+20)2+1 左側(cè)鋼纜最低點坐標為（-20，1） 鋼纜最低點到橋面的距離是 15=5（m）（2）左、右兩側(cè)拋物線關(guān)于y軸對稱 左、