高中數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第三章第八節(jié)　函數(shù)與方程

1、第八節(jié)函數(shù)與方程課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系2根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法考情分析：本節(jié)的?？键c有判斷函數(shù)零點所在區(qū)間、確定函數(shù)零點個數(shù)及利用函數(shù)零點解決一些參數(shù)問題，其中利用零點解決一些參數(shù)問題仍是高考考查的熱點，題型多以選擇題為主，屬中檔題學(xué)科素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理學(xué)生用書P461函數(shù)零點(1)定義：對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(2)三個等價關(guān)系(3)存在性定理2二次函數(shù)yax2bxc

2、(a0)的圖象與零點的關(guān)系000)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點x1，x2x1無有關(guān)函數(shù)零點的三個結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號 1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在當(dāng)b24ac0時沒有零點()(3)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0，則f(x)在

3、(a，b)內(nèi)沒有零點()答案：(1)(2)(3)(4)2(必修1P92習(xí)題A組T1改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()A根據(jù)二分法的概念可知A不能用二分法求零點3(必修1P92習(xí)題A組T5改編)函數(shù)f(x)ln x eq f(2,x) 的零點所在的大致區(qū)間是()A(1，2) B(2，3)C( eq f(1,e) ，1)和(3，4) D(4，)B因為f(2)ln 210，且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)的零點在區(qū)間(2，3)內(nèi)4(多選)下列說法中正確的是()A函數(shù)f(x)x1的零點為(1，0)B函數(shù)f(x)x1的零點為1C函數(shù)f(x

4、)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點D函數(shù)f(x)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)BD根據(jù)函數(shù)零點的定義，可知f(x)x1的零點為1.函數(shù)yf(x)的零點，即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，因此B、D正確，A、C錯誤5(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)x eq sup6(f(1,2) ( eq f(1,2) )x的零點個數(shù)為_解析：作函數(shù)y1x eq sup6(f(1,2) 和y2( eq f(1,2) )x的圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象知函數(shù)f(x)有1個零點答案：1學(xué)生用書P47 eq avs4al(判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間) 題組練透1(多選)已知

5、函數(shù)f(x) eq f(1,x) eq f(1,2) x22，利用零點存在性法則確定各零點所在范圍，下列區(qū)間中存在零點的是()A(3，2) B eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1) C(2，3) D eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2) ABDf(3) eq f(1,3) eq f(9,2) 2 eq f(13,6) 0；f(2) eq f(1,2) 22 eq f(1,2) 0；f(1)1 eq f(1,2) 2 eq f(1,2) 0；f(1)1 eq f(1,2) 2 eq f(5,2) 0.根據(jù)零點判定定理可得區(qū)間(3，2)， eq blc

6、(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1) ， eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2) 上存在零點，故選ABD.2若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)A函數(shù)yf(x)是開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于abc，則ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個零點3設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點

7、所在的區(qū)間為()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)B法一：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的取值范圍，作圖如下：可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2).法二：由于f(1)10，f(2)f(1)0，所以函數(shù)f(x)ln xx2的零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)定理法：使用零點存在性定理，函數(shù)yf(x)必須在區(qū)間a，b上是連續(xù)的，當(dāng)f(a)f(b)0)，yln x(x0)的圖象，如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.故選C.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)解方程法：令f(x

8、)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(如本例(1)(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，) 則函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3C令f(x)3x0，則 eq blc(avs4alco1(x0，,x22x3x0) 或 eq blc(avs4alco1(x0，,1f(1,x)3x0，) 解得x0或x1.所以函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是2.2函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3B法一：f(0)f(1)(1)110,3x，x0，) 且函數(shù)h(x)f(x)xa有且只有一個零點，

9、則實數(shù)a的取值范圍是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1(1)ABC(2)B(1)作出函數(shù)f(x)|x1|1|的圖象如圖所示：根據(jù)ya與f(x)的交點個數(shù)既為方程f(x)a0的根的個數(shù)可知，當(dāng)a0或a1時，從圖象可以看出有兩個交點，此時n2；當(dāng)a1時，從圖象可以看出有三個交點，此時n3；當(dāng)1a1，故選B.已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過解不等式(組)確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，化為ag(x)的形式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)解析式(方程)適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為圖

10、象易得的函數(shù)與一個含參的函數(shù)的差，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)及圖象求解 1函數(shù)f(x)x2ax1在區(qū)間( eq f(1,2) ，3)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(2，) B2，)C2， eq f(5,2) ) D2， eq f(10,3) )D由題意知方程axx21在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3) 上有解，即ax eq f(1,x) 在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3) 上有解設(shè)tx eq f(1,x) ，x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3)

11、，則t的取值范圍是 eq blcrc)(avs4alco1(2，f(10,3) ，實數(shù)a的取值范圍是 eq blcrc)(avs4alco1(2，f(10,3) .2已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(2x1，x0，,x22x，x0，) 若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：畫出函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(2x1，x0，,x22x，x0) 的圖象，如圖所示由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，結(jié)合圖象得0m0，,2x，x0，) 則函數(shù)y2f(x)23f(x)1的零點個數(shù)是_解析：由2f(x)23f(x)10得f(x) eq f(1,

12、2) 或f(x)1，作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示由圖象知y eq f(1,2) 與yf(x)的圖象有2個交點，y1與yf(x)的圖象有3個交點因此函數(shù)y2f(x)23f(x)1的零點有5個答案：5求解此類問題的主要步驟：(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為tg(x)與yf(t)的零點(2)依次解方程，令f(t)0，求t，代入tg(x)求出x的值或判斷圖象交點個數(shù) eq o(.,sdo4(,) 類型2求嵌套函數(shù)零點中的參數(shù)函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(ln （x1），xt1)，則t11，t21.當(dāng)t11，) 則函數(shù)F(x)f(f(x)2f(x) eq f(3,2) 的零點個數(shù)是()A4 B5C6 D7A令f(x)t，則函數(shù)F(x)可化為yf(t)2t eq f(3,2) ，則函數(shù)F(x)的零點問題可轉(zhuǎn)化為方程f(t)2t eq f(3,2) 0的根的問題令yf(t)2t eq f(3,2) 0，則f(t)2t eq f(3,2) .分別作出yf(t)和y2t eq f(3,2) 的圖象，如圖1，由圖象可得有兩個交點，橫坐標(biāo)設(shè)為t1，t2(