二次根式-典型練習(xí)題

1、/次式分練題知點(diǎn)：次式概【知識(shí)要點(diǎn) v二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中 叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng) 是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義【典型例題【例 1】列各式 ）1 ,2) x 4,5) ( )5 2,6) ,7) 2 a ，其中是二次根式的（填序號(hào) 舉一反：1、列各式中，一定是二次根式的是（ ）Aa a 2、 、 、 、中是二次根式的個(gè)數(shù)_【例 2】式子舉一反：1、代數(shù)式A、x3x x x 有意義，則 的值范圍是 有意義的 x 值范圍是 ）、x3 、x x42、代數(shù)式x x 有意義的 x 值范圍是3、果代數(shù)式 1m n有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn) P（m）的位置在（ A一象限 、第二象限 C、三象

2、限 D象限【例 3】 y=x 5 則 解題思路： 05 x ，y=2009，則 x+y=2014舉一反：1、 y )，則 y 值為（ A1 B 2 32、 x 數(shù)，且 ，求 xy 3、 什么值時(shí)，代數(shù)式2a 取值最小，并求出這個(gè)最小值。已知 a 5 數(shù)部分b 的小數(shù)部分，求 的值。若的整數(shù)部分是 a小數(shù)部分是 b，則3a 。若 的整數(shù)部為 x小數(shù)部分為 ，求x 2 y的值2 a 2 a 知點(diǎn)：次式性【知識(shí)要點(diǎn)1. 非負(fù)性： a (a 是一個(gè)非負(fù)數(shù)注意：此性質(zhì)可作公式記住，后根式運(yùn)算中經(jīng)常用到2. ( ) ) 注意：此性質(zhì)既可正用，也可反，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫(xiě)成全

3、平方的形式 ) (a )3.a 0) 0)注意一定是正數(shù)）能開(kāi)得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替）移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留根號(hào)外4. 公式 a 0) | 與 ( a ) 的別聯(lián)系） 表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根a 的圍是一切實(shí)數(shù)） ( a ) 示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平根的平方a 是非負(fù)數(shù)） 2和 ( 的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的【典型例題【例 4】 b 則 舉一反：1、 0 則 2、知 ，x x 值為（ ）A3 1 3、知直角三角形兩邊 、y 的長(zhǎng)滿(mǎn)足x 2 y ，則第三邊長(zhǎng)為2 2 2 2 2 2 4、a 與 b 互為相反數(shù)，則。（公式 ( ) 2 a

4、0) 的運(yùn)用【例 5】 簡(jiǎn)： 3)的結(jié)果為（ A2a 、0 、2a4 、4 舉一反：1、 范圍內(nèi)分解因 ； m = 4 _, 2 x 2、 3、 角三角形的兩直角邊分別為 ，則斜邊長(zhǎng)為（公式 a 0) 的應(yīng)用【例 6】知 ,簡(jiǎn) 2 x 結(jié)果是A 、 2 舉一反：1、式 ( 2 的 )A 3 3 3 D9 22、知 ，么 可化簡(jiǎn)為（ B 3a 3a若2 a ，則等于（ ）5 a2 D. a 4、 0簡(jiǎn) 4 的結(jié)果是（ ） (B) 5、簡(jiǎn) x x 7 (D) （A （Bx ）2 4 x a a 02 a a 02 a2 a 6、 al 且 a0 ，化簡(jiǎn) 1 24 a ) a )a 7、知 化簡(jiǎn)求值

5、：【例 7】果表示 a 實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示那么化簡(jiǎn)( a 的結(jié)果等于（ B 2a 2a oa 2舉一反在數(shù)軸上的位置如圖所示 ( 2【例 8】簡(jiǎn) 1 x 的結(jié)果是 2-5則 x的取值范圍是（ （Ax 實(shí)數(shù) 14 x1 ）1舉一反：式(2 ( a 4)的值是常數(shù)，則a的取值范圍是（ ） 2 a 或a 【例 9】果 ，那么 范圍是（ ） a=0 a=1 C. a=0 或 D. 舉一反：1、果 aa 成立，那么實(shí)數(shù) 的值范圍是（ Ba . . 2、( ，則 的值范圍是（ （Ax x ）x x 【例 10】簡(jiǎn)二次根 a a 2的結(jié)果是（A (B) a (D) 2 ) 2 2 2 x y2

6、) 2 2 2 x y1、二次根 1a化簡(jiǎn)，正確的結(jié)果是（ ） D.a2、根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)： b 0 時(shí) ( a 11 知點(diǎn)：簡(jiǎn)次式同二根【知識(shí)要點(diǎn)1、簡(jiǎn)二次根式：）最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的數(shù)或 因式； 中不含根號(hào)2、類(lèi)二次根式（可合并根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式，可 以合并的兩個(gè)根式?！镜湫屠}【例 11】根式 1)a2 2 x5 x 2 ;4) abc，最簡(jiǎn)二次根式是（ ）1) 4) 3) 4) 解題思路：掌握最簡(jiǎn)二次根式的件。舉一反：1、 30, 2 , , 54, 17(a2

7、 2中的最簡(jiǎn)二次根式是 2、列根式中，不簡(jiǎn)二次式的是（ ）A123、列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的( )a x 4D.0.1y4、列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？3ab(1) (2) (3) (4)a ( )(5)(6) xy5、下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式：(1)(2)45a 2b(3)【例 12】列根式中能與是合并的( )27D.12舉一反：1、列各組根式中，是可以合并的根式是（ ）A3和 、3和13、ab abDa a 、 次 ： 12 ； 3 ； 能 并 二 是 。3、果最簡(jiǎn)二次根式3a 17 能夠合并為一個(gè)二次根 則 知點(diǎn)：次式算母理【知識(shí)要點(diǎn)1母理定：分母中的根號(hào)化去，叫做分母

8、有理化。2理因：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘的積不含有二次根式個(gè)代數(shù)式互為有理化因。 有理化因式確定方法如下：?jiǎn)雾?xiàng)二次根式：利用 來(lái)確定，如：a與 a， 與 ，a 與a 等分別互為有理化因式。 a x 分別互為有理化因式。3母理的法步： b與 ，先將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次式；將分子、分母都乘以分母的有化因式，使分母中不含根式； 最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根或有理式。【典型例題 【例 13】 把下列各式分母有理化 ） ）3 ）1 35 50【例 14】下列各式分母有理化2 x 8x 3 ）xx3）abba【例 15】下列各式分母有理化：）22 5 3 ） ）5 3 3 2 3舉一反：1、知x 2

9、， y 2 3 3x ，求下列各式的值 （2x x 2、下列各式分母有理化：a a a （2） a a b a2 2 b a2 2小結(jié)：常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類(lèi)：與； 與 ；與； 與知點(diǎn)：次式算次式乘 【知識(shí)要點(diǎn)1的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。ab = a （a02次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。ab，b）3的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根 a （a，b0 b4次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。a a （a，b0b 注 、除法的

10、運(yùn)算法則要靈活用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí) 要考慮字母的取值范圍，最后把算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式【典型例題【例 16】簡(jiǎn)(1) (2) (3) (4) x 2 y 2 0, y 0 (5) 【例 17 】 算（ ） ） ） 5 5 （6 ） 【例 18】簡(jiǎn)：(1) (2) 9a ( a b (3) ( x 0, (4) 169 y2( 0, y 【例 19】算(1)123(2)3 1 1 (3) （4 2 8 16648【例 20】使等式 成立的的 x的取值范圍是（ A 0、0 、解知識(shí)點(diǎn)六二次根式計(jì)二次根的加減【知識(shí)要點(diǎn)需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把開(kāi)方數(shù)相同的二次根式

11、（即同類(lèi)二次根式）的系數(shù)相加減，被方 數(shù)不變。注意：對(duì)于二次根式的加減，關(guān)是合并同類(lèi)二次根式，通常是先化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類(lèi)次 根式合并但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)二次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開(kāi)得盡的因【典型例題【例 20】算 32 1 1 75 0.5 2 27 4 3 ； （2 32 1 1 1 75 8 5 3 2； （4 1 27 b b【例 21】 （1 x 2 x 4 x ）a a 1 3 27a 2 a 3 a 4） 1 4 81a3 3a4a5）xy x y y x x 知點(diǎn)：次式算次式混計(jì)與值 【知識(shí)要點(diǎn) 、定運(yùn)算順序； 、活運(yùn)用運(yùn)算定律； 、確使用乘法公式； 、多數(shù)分母有

12、理化要及時(shí)； 、有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習(xí)題1、2 3 b 5 3 ) b 2 、 3 ) 0 a 15 14 0 a 15 14 3、13y ）x 6、 ) 知點(diǎn)：式較小 【知識(shí)要點(diǎn)1、式形 當(dāng) a 0, b 時(shí)，如果 ，則 b；如果 ，則 b。2、方當(dāng) 0, b 0時(shí)，如果 ，則 a a ，則 a 3、母理法 過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較4、子理法 過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較5、數(shù)6、介遞 適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、差較法對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：；a 8、商較它運(yùn)用下性質(zhì)：當(dāng) ： b； b【典型例題【例 22

13、】 比 5 5 3 的大小法解答）【例 23】較 與 的大小。 【例 24】較 。7 7 【例 26】較 小數(shù)學(xué)專(zhuān)題 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、 二根式式子 （ ）做二次根式第六講：次根式提：次式 a 必注 這一條，結(jié)也一非即 a _o次式（）， 可以表數(shù)也以一符條的代式二、 二根式的性質(zhì)：（o）（）=（0）=（o）=（0 ,b0） ab= (a0,0)提：次式性質(zhì)意逆：如較 和 3的大小可逆（2將根號(hào)外的整數(shù)移到根號(hào)內(nèi)再比較被開(kāi)方數(shù)的大小 三、最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿(mǎn)足條件：、被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是 ，式是整式、被開(kāi)方數(shù)不含 的數(shù)或因式四、二次根式的運(yùn)算：、二次根式的加減：先將二次根式化簡(jiǎn)，

14、再將 法同合并同類(lèi)項(xiàng)法則相同、二次根式的乘除：的二次根式進(jìn)行合并，合并的方乘除法則： a . b =（ ,b） 除法則：（0b）、二次根式的混合運(yùn)算順序：先算 再 最算提：、次根除運(yùn)過(guò)一情下用分中根化這方法行如= =、次式合算程特注兩乘公的用 、次式算結(jié)一要成重考例考一二根有義條例 1 如代數(shù)式 有意義，則 x 的取值范圍是（ ）x Ax3 Bx 3 Dx3思分：據(jù)二次根式的意義得出 x-30根據(jù)分式得出 ，即可得出 x-30，求 出即可解要使代數(shù)式必須 x-30， 解得：x 故選 x 有意義，點(diǎn)：題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件的用，注意：分式 0二次根式 中 0對(duì)訓(xùn)BA中 A

15、使代數(shù)式x2 有意義的 x 的值范圍是（ ）AxBx1 C 且 x2 D一切實(shí)數(shù)解：由題意得：2x-，0，解得：0， 考二二根的質(zhì)12，故選：例 2 實(shí) 、 軸上的位置如圖所示，|b|，則化簡(jiǎn) a 的結(jié)果為（ ）A B-2a+b b D2a-b思分：根據(jù)數(shù)軸可知 a0b，而a|b|那么可知 a+b，再結(jié)合二次根式的 性質(zhì)、絕對(duì)值的計(jì)算進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可解根據(jù)數(shù)軸可知，原式=（a+b）故選 點(diǎn)：次根式的化簡(jiǎn)和性質(zhì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸解的關(guān)鍵是注意開(kāi)方結(jié)果是非負(fù)數(shù)、以及絕 對(duì)值結(jié)果的非負(fù)性對(duì)訓(xùn)實(shí)數(shù) ， 數(shù)軸上的位置如圖所示，則( a )的化簡(jiǎn)結(jié)果為 解：由數(shù)軸可知：，( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2

16、 4 =|a+b|+a=-a-b+a， 故案為：-b考三二根的合算例 3 1 ) 思分：用二次根式的分母有理化以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)別 化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可解原式=4 2 2 = 3 2 2=3二次根式的混合運(yùn)算以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，將各式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵 對(duì)訓(xùn)計(jì)算：48 3 12 24解：48 3 12 24 3 3 6 64 考四與次式關(guān)求問(wèn)例 4 先簡(jiǎn)，再求值：1 1 x x x ( )x x x 1 ，其中 x= 2思分：根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把 x 值代入進(jìn)行計(jì)算即可解原式=1 x ( x( 4 ，當(dāng) x=時(shí)，可知( ，故

17、原式1 ( x 1 1 ( x 4 411 22；2 2 2 22 2 2 2 22 點(diǎn)：查的是二次根式及分式的化簡(jiǎn)求值，解答此題的關(guān)鍵是 x= ( ，此題難度不大對(duì)訓(xùn)之值為何？（ ）計(jì)算 114 A0 B25 C D 時(shí)得出分析：根據(jù)平方差公式求出 11422（114+64）（114-64，提出 50 得 （）=50128，分解后開(kāi)出即可 解： 114 =(114 64)(114 64) 178 50 128=2 =258，=80故選 D考查了平方差公式因分解二次根式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用解此題的關(guān)鍵是能選擇適 當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算【焦考下列運(yùn)算正確的是（ BA( B1( ) 4Cx6x=xDx）

18、=x計(jì)算：412 8 0計(jì)算： 7【考題關(guān)一選題要使式子 有意義，則 x 的值范圍是（ D ）Ax0 B x D計(jì)算 2=（ A ）AB5 C52D計(jì)算： 2 =（ ）已知m 33) 21)，則有（ ）A5 Bm5 m D解：m 33) 21) 3 7 ， ， ，即 56，故選 A下列計(jì)算正確的是（ D ）Ax+x=x6B3 2 2 D 下列等式一定成立的是（ ）A 4 B 3 D ( 7使式子A x1 解：根據(jù)題意，得，解得，x2； 故選 B有意義的 x 的值范圍是（ ）B 1x2 C x2 D 1x28 下列各式中，二次根式A B的有理化因式是（ ）C D解：二次根式 =ab，的有理化因式

19、是： 故選：主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出是解題關(guān)鍵9下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）A B D分析： 根二次根式的乘法對(duì) A、B 行判斷；根據(jù)二次根式的除法對(duì) C 進(jìn)判斷；根據(jù) 二次根式的性質(zhì)對(duì) D 進(jìn)行斷解：A、 = ，以 A 選的計(jì)算正確；B、 與 不是同類(lèi)二次根式，不能合并，所以 B 選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C、 = = =2，以 選項(xiàng)計(jì)算正確；D、 = = =2 ，所以 選項(xiàng)計(jì)算正確故選 B10列計(jì)算正確的是（ ）A B D分析： 根同類(lèi)二次根式才能合并可對(duì) A 行判斷；根據(jù)二次根式的乘法對(duì) B 進(jìn)判斷； 先把 化最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行合并，即可對(duì) 進(jìn)行斷；根據(jù)二次根式的除法對(duì) D 進(jìn)行判斷解：A、 與 不能合并，所以 A 項(xiàng)不正確；B、 =，所以 B 選不正確；C、 =2 = ，以 項(xiàng)正確； D、 =2 =2，以 D 項(xiàng)不正確 故選 C11列計(jì)算或化簡(jiǎn)正確的是（ ）A+a=aB C D分析： A、根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)的則計(jì)算； B、化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式即可；C、計(jì)算的是算術(shù)平方根，不是方根； D、利用分式的性質(zhì)計(jì)算解：A、a+a=a+a，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、C、D、+3 = + ，選項(xiàng)錯(cuò)誤； =3，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；= ，選項(xiàng)正確故選 D考查了合并同類(lèi)項(xiàng)二根式的減法算術(shù)平方根、分式的性質(zhì)題的關(guān)