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1、第五節(jié) 極限存在性定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例1求數(shù)列極限.解(1)存在性令單調(diào)性時(shí)設(shè)時(shí)定理2.14第1頁(yè)第1頁(yè)時(shí)故對(duì)一切正整數(shù)有因此數(shù)列遞增.有界性時(shí)時(shí)設(shè)時(shí)故對(duì)一切正整數(shù)有,因此數(shù)列有界.總而言之,數(shù)列極限存在.第2頁(yè)第2頁(yè)(2)求值設(shè)將兩邊求極限得即故第3頁(yè)第3頁(yè)例2設(shè)時(shí)有且求解由故單調(diào)由故有界總而言之,數(shù)列極限存在.且得同理第4頁(yè)第4頁(yè)由設(shè)兩邊取極限,得:得(舍去)第5頁(yè)第5頁(yè)例2設(shè),求解(1)求值假設(shè)則即故因第6頁(yè)第6頁(yè)(2)存在性對(duì)要使只需故極限存在.取第7頁(yè)第7頁(yè)求數(shù)列極限:1.先按單調(diào)有界證極限存在性再按遞推公式求極限值,本辦法普通適合用于數(shù)列詳細(xì)給出2.先按遞推公式求極限值再按

2、準(zhǔn)確性定義驗(yàn)證給出情況.情況.極限存在性,本辦法普通適合用于數(shù)列通項(xiàng)公式第8頁(yè)第8頁(yè)假如數(shù)列滿足下列條件(1)從某項(xiàng)開(kāi)始有(2)則數(shù)列極限存在,并且由已知,對(duì)同時(shí)成立定理2.15證第9頁(yè)第9頁(yè)因此成立因此注(1)此定理稱為兩邊夾法則或夾逼定理.(2)不等式兩邊極限必須存在且相等.(3)此定理對(duì)普通函數(shù)極限仍然成立.此時(shí)第10頁(yè)第10頁(yè)補(bǔ)充 (考研真題3分)設(shè)對(duì)任意總有且則存在且等于零存在但不一定等于零一定不存在不一定存在.答案 第11頁(yè)第11頁(yè)例3求解由于且因此原式第12頁(yè)第12頁(yè)例4求解由于且因此原式第13頁(yè)第13頁(yè)例5求解由于且因此原式第14頁(yè)第14頁(yè)常見(jiàn)建立不等式辦法(1)分母變大分?jǐn)?shù)值變小,分母變小分?jǐn)?shù)值變大.(2)去掉小項(xiàng)和變小,小項(xiàng)變大和變大.第15頁(yè)第15頁(yè)作業(yè)題2.習(xí)

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