高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)二次型市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、高等代數(shù)考研復(fù)習(xí) 二次型 8月 第1頁(yè)第1頁(yè) 第四章 二次型二次型理論背景是解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為原則形問(wèn)題.本章主要問(wèn)題有兩個(gè)：1) 二次型矩陣和二次型原則型 2)正定二次型二次型與矩陣、行列式、以及線性方程組有緊密聯(lián)系，能夠看到他們是處理二次型問(wèn)題工具.第2頁(yè)第2頁(yè)二次型矩陣與二次型原則型 1.1 二次型及其矩陣 1)定義：設(shè)P是數(shù)域,系數(shù)在數(shù)域P上關(guān)于二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為數(shù)域P上一個(gè)n元二次型. 2)二次型矩陣表示：令第3頁(yè)第3頁(yè)利用積和式可將二次型化為矩陣形式其中，矩陣 滿足 稱(chēng)它為二次型矩陣.積和式為：它在代數(shù)式與矩陣互化中起著主要作用！第4頁(yè)第4頁(yè)注意：假如 但是 那么

2、A不是二次型矩陣.f矩陣為1.2 線性替換及矩陣協(xié)議 1)線性替換：設(shè)令 稱(chēng)為由 到 線性替換.當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為非退化線性替換；當(dāng)C是正交矩陣時(shí)稱(chēng)為正交替換.結(jié)論：非退化線性替換將二次型變?yōu)槎涡? 第5頁(yè)第5頁(yè) 2) 矩陣協(xié)議：設(shè)A、B為n階矩陣，假如存在可逆矩陣C使得 則稱(chēng)矩陣A與協(xié)議. 協(xié)議是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，它含有三性. 協(xié)議性質(zhì)：協(xié)議矩陣有相同秩； 協(xié)議矩陣行列式同號(hào). 結(jié)論：二次型通過(guò)非退化線性替換得到新二次型矩陣與原二次型矩陣是協(xié)議.1.3 二次型原則型與規(guī)范形 1) 二次型原則型定義：只含有平方項(xiàng)二次型 稱(chēng)為原則型.其中第6頁(yè)第6頁(yè) 中非零個(gè)數(shù)即為二次型秩.定理：數(shù)域P上任意二次型都可

3、通過(guò)非退化線性替換化為原則形.換一個(gè)說(shuō)法：數(shù)域P上任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣都協(xié)議于一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣.注意：二次型原則型普通不唯一！第7頁(yè)第7頁(yè)2)二次型規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上二次型原則型稱(chēng)為規(guī)范形. a) 復(fù)數(shù)域上二次型規(guī)范形：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可通過(guò)非退化替換化為規(guī)范形 其中 且規(guī)范形唯一.換為矩陣說(shuō)法：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階對(duì)稱(chēng)矩陣A都協(xié)議于唯一n階對(duì)角矩陣復(fù)數(shù)域上兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣協(xié)議充足必要條件是這兩個(gè)矩陣秩相等.第8頁(yè)第8頁(yè)b)實(shí)數(shù)域上二次型規(guī)范形(慣性定理)：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可通過(guò)非退化替換化為規(guī)范形 其中 ，正平方個(gè)數(shù)p稱(chēng)為二次型f正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)個(gè)數(shù)稱(chēng)為f負(fù)慣性指數(shù)， 稱(chēng)為符合

4、差，且p、q有二次型唯一擬定.用矩陣語(yǔ)言描述為：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣A都合同于唯一n階對(duì)角矩陣第9頁(yè)第9頁(yè)注意：實(shí)數(shù)域上兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣協(xié)議充足必要條件是這兩個(gè)矩陣有相同秩與正慣性指數(shù).第10頁(yè)第10頁(yè)1.4 化二次型為原則型辦法 a)配辦法； b)初等變換法； 設(shè) 是對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在可逆矩陣 使由 可逆知，存在初等矩陣 使得 于是第11頁(yè)第11頁(yè)這樣，將二次型 化為原則形時(shí)所用線性變換中系數(shù)矩陣 滿足 且由此可見(jiàn)，對(duì) 列和行施以相同初等列變換和行變換，當(dāng)二次型矩陣 化為對(duì)角矩陣 時(shí)，第12頁(yè)第12頁(yè)單位矩陣 就成了相應(yīng)可逆線性變換矩陣 了，即第13頁(yè)第13頁(yè)c) 正交變換法.正交變換法環(huán)節(jié)：

5、 (1)先求出矩陣A特性值、特性向量，其中特性值就是原則型中系數(shù). (2)將A屬于同一特性值特性向量單位化正交化，然后將它們作為列向量做成矩陣T，即為正交矩陣，此時(shí)有第14頁(yè)第14頁(yè)題型分析: (1)化二次型為原則型； (2)矩陣協(xié)議應(yīng)用； (3)慣性定理應(yīng)用.第15頁(yè)第15頁(yè)例1 用配辦法化二次型為原則形 (1) (2)例2 將 化為原則型.例3 用正交變換化二次型為原則形辦法：對(duì)二次型 做正交替換 其中T為正交矩陣，得原則型 第16頁(yè)第16頁(yè)這里 是矩陣A特性值.例4 已知 通過(guò)正交變換化為 求a及所做正交變換.例5 已知 秩為2，(1)求a (2)用正交變換將f化為原則型 (3)求方程

6、解. 第17頁(yè)第17頁(yè)例6 設(shè)實(shí)二次型 (1)寫(xiě)出f矩陣. (2)證實(shí)：f秩等于矩陣 秩.例7 證實(shí)： 是一個(gè)二次型，并求它矩陣. 第18頁(yè)第18頁(yè)(2)矩陣協(xié)議應(yīng)用 例1 證實(shí)：秩等于r對(duì)稱(chēng)矩陣能夠表示成r個(gè)秩等于1對(duì)稱(chēng)矩陣之和. 例2 設(shè) A是n階是對(duì)稱(chēng)矩陣，A 特性值是 ，求B特性值. 例3 反對(duì)稱(chēng)矩陣性質(zhì) (1)A是反對(duì)稱(chēng)矩陣充足必要條件是：對(duì)任意n維向量X都有 (2)A是反對(duì)稱(chēng)矩陣，則A特性值只能為零 第19頁(yè)第19頁(yè)和純虛數(shù). (3)奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)矩陣一定不可逆. (4)證實(shí)：任意反對(duì)稱(chēng)矩陣一定協(xié)議于矩陣 第20頁(yè)第20頁(yè) (3)慣性定理應(yīng)用例1 證實(shí)：一個(gè)實(shí)二次型能夠分解為兩個(gè)實(shí)系

7、數(shù)一次齊次多項(xiàng)式乘積充足必要條件是：它秩等于2和符號(hào)差等于0或秩等于1.例2 設(shè)A為一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且 證實(shí)：存在實(shí)n維列向量 使得例3 設(shè) 是一個(gè)實(shí)二次型，若存在n維向量 使得證實(shí)：第21頁(yè)第21頁(yè)例4 設(shè)A是n階是對(duì)稱(chēng)矩陣，證實(shí)：存在一個(gè)正實(shí)數(shù)C，使得對(duì)任意一個(gè)n維實(shí)列向量X，都有例5 設(shè)n元實(shí)二次型 證實(shí)f在條件 下最大值恰為A最大特性值，并求出取得最大值時(shí)第22頁(yè)第22頁(yè)2.正定二次型與正定矩陣 2.1相關(guān)定義：設(shè) 是n元實(shí)二次型，假如對(duì)任意一組不全為零實(shí)數(shù) 都有 則稱(chēng)f為正定二次型，相應(yīng)矩陣稱(chēng)為正定矩陣. 二次型 正定充足必要條件是：矩陣 正定. 同樣能夠定義半正定二次型；負(fù)定二

8、次型；半負(fù)定二次型以及不定二次型.第23頁(yè)第23頁(yè) 2.2 正定二次型與正定矩陣鑒定：設(shè)n元實(shí)二次型 其中 ,則下列條件等價(jià)： a) f是正定二次型(A是正定矩陣); b) 對(duì)任意 ,都有 c) f正慣性指數(shù)等于n; d) A協(xié)議于單位矩陣E;即存在可逆矩陣C使得 e) A所有順序主子式都不小于零; f) A所有主子式都不小于零; 正定陣主對(duì)角元不小于零. g) A特性值都不小于零;第24頁(yè)第24頁(yè) 2.3 半正定二次型(半正定矩陣)鑒定：下列條件等價(jià) a)f是半正定二次型; b)對(duì)任意一組不全為零實(shí)數(shù) c)f正慣性指數(shù)等于A秩; d)A協(xié)議于 e)A所有主子式都不小于零; f)A特性值都不小

9、于零; e)存在實(shí)矩陣P,使得 第25頁(yè)第25頁(yè) 正定矩陣性質(zhì)： (1)正定矩陣主對(duì)角線上元素所有不小于0，正定矩陣行列式不小于零. (2)A正定，則 也正定. (3) 則 也正定. (4)若 正定，且 則 正定. (5)設(shè)A為 矩陣，若 那么是正定.尤其，當(dāng)A可逆時(shí)， 是正定. 第26頁(yè)第26頁(yè)當(dāng) 那么 是半正定. 題型分析：(1)二次型正定性判別例1 判別二次型正定性 a) b) 例2 設(shè) 當(dāng) 滿足什么條件，f是正定.例3 設(shè)A,B分別是m,n階正定矩陣，試判別矩陣第27頁(yè)第27頁(yè) 正定性.例4 設(shè)A為m階正定矩陣，B為 實(shí)矩陣，證實(shí)： 正定充足必要條件為B是列滿秩.題型 (2)二次型（矩

10、陣）正定性質(zhì)應(yīng)用主要應(yīng)用結(jié)論：A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交陣T使得 第28頁(yè)第28頁(yè)例1設(shè)A,B是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A正定，證實(shí)：存在一個(gè)實(shí)可逆矩陣T，使得 同時(shí)為對(duì)角矩陣.例2 設(shè)A是n階正定矩陣，證實(shí)：例3 設(shè)A,B都是n階正定矩陣，證實(shí)：例4 設(shè)A,B都正定，證實(shí)：1)方程 根都不小于零. 2) 方程 所有根等于1充足必要條件是A=B.第29頁(yè)第29頁(yè)例6 若B是正定矩陣，A-B半正定，證實(shí)： 1) 所有根都不小于等于1. 2)題型(3) 與對(duì)稱(chēng)矩陣特性值范圍相關(guān)問(wèn)題例1 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證實(shí)：t充足大時(shí)，tE+A正定.例2 證實(shí)：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A特性值均在閉區(qū)間 上，則對(duì)稱(chēng)矩陣A-tE當(dāng)tb時(shí)負(fù)定；當(dāng)ta 第30頁(yè)第30頁(yè)時(shí)正定.例3 設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A特性值全不小于a，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣B特性值全不小于b，證實(shí)：A+B特性值全不小于a+b.例4 設(shè)A是n階實(shí)矩陣， B特性值為 證實(shí)：若 是A實(shí)特性值，則 第31頁(yè)第31頁(yè)題型 (4) 綜