奧數(shù)-圓-四點共圓

1、第五講四點共圓四點共圓的知識應用很廣泛，其作用是在圓中起到角和圓冪的傳遞，并且在證明線段相等或角相等、直線平行或垂直、比例或等積式中，常?？梢云鸬交y為易、化繁為簡的作用，是條件與結(jié)論之間的紐帶.我們熟練地掌握四點共圓地有關(guān)知識，能收到良好的效果.基礎(chǔ)知識1、四點共圓的判定方法（1）利用圓的定義，即：各點與一定點等距離（R），則各點在以定點為圓心，半徑為R的圓上；（2）若一線段（AB）同側(cè)的兩個點C和D,對這條線段的兩點口一年（A和B）的張角相等，則這四點A、B、C、D共圓；A（3）若一線段（AB）異側(cè)的兩個點C和D,對這條線段的兩點口.A、B的張角互補，則A、B、C、D四點共圓；，卜（4）兩

2、線段AB、CD交于E點，若滿足AEEB=CEED,則A、B、C、D四點共圓；（5）兩線段OAB和OCD,若滿足OAOB=OCOD,貝ijA、B、C、D四點共圓；（6）由四點所構(gòu)成的凸四邊形的一個外角等于內(nèi)對角，則凸四邊形四個頂點共圓.例題例1（玄）通過兩個相交圓得公共弦上的任一點P，引第一個圓的弦KM和第二個圓的弦LN，證明：KLMN可內(nèi)接于一圓.例2()圓O1,O2相交于AB,P是BA延長線上一點，割線PCD交圓O1于C、D,割線PEF交圓O2于E、F,求證：C、D、E、F四點共圓.例3()AB為圓直徑，過A在AB同側(cè)作弦AP、AQ，交B處的切線于點R、S，求證：P、Q、S、R四點共圓；例4

3、()A為。O外一點，AB,AC和。O分別切于B、C兩點，APQ為。O的一條割線，過B作BRAQ交。O于點R,連結(jié)CR交AQ于點M,試證：A、B、C、O、M五點共圓；例5()0ABC中，AB=AC,NA=90,AM為底邊BC上的中線，過M、C兩點的圓交AC于E,交BE于F,求證：AFXBE；例6()過已知。O的中心作OA垂直于圓外的直線乂自垂足A作圓的割線交圓于B、C,過B、C分別作圓的切線交MN于D、E，求證：AD=AE；例7()AB、AC切。O于B、C,任作割線AEF交圓周于E、F,弦BD平分弦EF交EF于M,求證：CDEF；例8()已知，。O與。O外切于P,過P點作直線交。O與。于A、B,

4、AC是。O的弦，過B點作。的切線交AC的延長線于D,求證：APAB=ADAC；D例9()/O1,02相交于A、B,從圓O1上一點P引直線PA、PB,交圓02于C、D,過P作PHLCD于H,求證：PH過圓O1的圓心；例10()如圖，AD是圓的直徑，直線l是過D的切線，割線AB、AC交l于點B、C,交圓于點E、F；(1)求證：AEAB=AFAC；(2)如果使直線l向上平行移動成為圓的割線，而AB、AC仍與l交于點B、C，與圓仍交于點E、F，那么等式AEAB=AFAC是否仍成立，為什么？例11()PA、PB為。O的切線，A、B為切點，連結(jié)AB與PO交于M,QR是過M的任意一條弦，求證：OP平分/QP

5、R；例12()如圖，P為。O上任一點，AB為任意弦，過AB作。O的兩條切線相交于Q,PDXQA于D,PEXQB于E,PCXAB于C,求證：PC2=PDPE；Q例13()如圖，0O內(nèi)接力ABC,AQBC于D點，交。O于Q,AD是。O的直徑，0O交AB于M,交AC于N,AQ交MN于P,求證：AD2=APAQ；例（）在力ABC中邊AB=AC,有一個圓O1內(nèi)切于力ABC的外接圓O并且與AB、AC分別相切于P、Q，求證：P、Q連線的中點O是ABC的內(nèi)切圓的圓心；練習題（）銳角力ABC的三條高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七個點中，能組成四點共圓的組數(shù)為（）A.4組B.5組C.6組D.7組（）在力ABC中，AB=AC,D為BC邊中點，且BEXAC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,則PA的值為（）A.3B.2d3C.ABC的外接圓的切線，PDAC且與AB、BC分別交于點E、D,求證：EAEB=EDEP；()如圖，。O1和。O2相交于A、B兩點，過A作一條直線分別交。O1和。O2于C、D,過C、D分別作。O1和。O2的切線，它們相交于E,連結(jié)BC、BD和BE,求證：NBCD=NBED.()已知/人=/口=90,點B在CE上，CA=CB=CD,過A、C、D三點的圓交AB于點F,求證：F為力CDE的內(nèi)心；老題新作(十)E知：BE、CFABC的兩條高