高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)12 立體幾何中的平行與垂直（解析版）

1、易錯(cuò)點(diǎn)12 立體幾何中的垂直與平行在立體幾何中，點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，特別是線面、面面的平行和垂直關(guān)系，是高中立體幾何的理論基礎(chǔ)，是高考命題的熱點(diǎn)與重點(diǎn)之一，一般考查形式為小題(位置關(guān)系基本定理判定)或解答題(平行、垂直位置關(guān)系的證明)，難度不大。立體幾何中平行與垂直的易錯(cuò)點(diǎn)更多免費(fèi)資源，關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪易錯(cuò)點(diǎn)1：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時(shí)都是三個(gè)條件，但這三個(gè)條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯(cuò)誤地記為一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行而導(dǎo)致證明過(guò)程跨步太大。易錯(cuò)點(diǎn)2：有關(guān)線面平行的證明問(wèn)題中，對(duì)定理的理解不夠準(zhǔn)確，往往忽視三個(gè)條件中的

2、某一個(gè)。易錯(cuò)點(diǎn)3：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時(shí)都是三個(gè)條件，但這三個(gè)條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯(cuò)誤地記為一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行而導(dǎo)致證明過(guò)程跨步太大；題組一：基本性質(zhì)定理1（2021年浙江卷）已知正方形，分別是的中點(diǎn)，則（ ）.A直線與直線垂直，直線平面B直線與直線平行，直線平面C直線與直線相交，直線平面D直線與直線平行，直線平面【答案】A【解析】如圖，連結(jié)，平面，平面，2（2021新高考1卷多選題）在正三棱柱中，點(diǎn)滿足，其中，則A當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平

3、面【答案】BD【解析】由點(diǎn)滿足，可知點(diǎn)在正方形內(nèi)A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)中，因此周長(zhǎng)不為定值，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)由圖可知，線段/平面，即點(diǎn)到平面的距離處處相等，的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，分別取線段，中點(diǎn)為， ，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)很顯然若點(diǎn)與或重合時(shí)，均滿足題意，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤 D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，分別取線段，中點(diǎn)為，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)此時(shí)，有且只有點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，滿足題意. 所以選項(xiàng)D正確因此，答案為BD.3.（2019全國(guó)理8）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，ECD為正三

4、角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（ ）ABM=EN，且直線BM、EN 是相交直線BBMEN，且直線BM，EN 是相交直線CBM=EN，且直線BM、EN 是異面直線DBMEN，且直線BM，EN 是異面直線【答案】B更多免費(fèi)資源，關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪【解析】 如圖所示，聯(lián)結(jié)，.因?yàn)辄c(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，所以平面，平面，因?yàn)槭侵羞吷系闹芯€，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設(shè)，則，所以，所以故選B4.（2019全國(guó)理7）設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是A內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B內(nèi)有兩條相交直線與平行 C，平行于同一條直線 D，垂直于同一平面【解析

5、】 對(duì)于A，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則與相交或，排除；對(duì)于B，內(nèi)有兩條相交直線與平行，則；對(duì)于C，平行于同一條直線，則與相交或，排除；對(duì)于D，垂直于同一平面，則與相交或，排除故選B題組二：線面平行5.（2021天津卷）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)（1）求證：平面；【解析】（1）以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面?（2017新課標(biāo)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面三角形，是的中點(diǎn)證明：直線 QUOTE / 平面；【解析】

6、（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，由得，又，所以，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，故 QUOTE / 平面7.（2019全國(guó)理18）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)（1）證明：MN平面C1DE；【解析】 （1）連結(jié)B1C，ME因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以MEB1C，且ME=B1C又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE題組三線線垂直8.（2021

7、全國(guó)甲卷理）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，（1）證明：；【解析】（1）因?yàn)槭侵比庵泻偷闹悬c(diǎn)，且，所以，連結(jié)，由且，則，于是，所以，由，則，故如圖右圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系：于是設(shè)，則于是，由BFDE=09.（2021全國(guó)甲卷理）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1(1)略(2)已知D為棱A1B1【解析】(2)取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以，又，所以，所以側(cè)面為正方形，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知，又，所以平面，而平面，所以.10（2021新高考1卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)（1

8、）證明：；【解析】（1）因?yàn)樵谥?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槊妫?1(2021浙江卷)如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為，的中點(diǎn)，（1）證明：；更多免費(fèi)資源，關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪（2）求直線與平面所成角的正弦值【解析】（1）因?yàn)锳BCD是平行四邊形，ABC=120，AB=1，所以，ABDC，DC=AB=1因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，BC=4，所以CM=2在中，由余弦定理得所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，所以題組四：線面垂直12（2016全國(guó)II）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，EF交BD于點(diǎn)H將沿

9、折到的位置，（ = 1 * ROMAN I）證明：平面ABCD；【解析】（I）證明：，四邊形為菱形，；又，又，面13(2018全國(guó)卷)如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)(1)證明：平面；【解析】(1)因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且連結(jié)因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，由知由，知平?4.（2019全國(guó)理17）如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1.（1）證明：BE平面EB1C1；【解析】 （1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面題組五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱錐中，底面是正方形，若，（1）證明：平面平面；【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

10、又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.16（2019全國(guó)理19）圖1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，F(xiàn)BC=60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；【解析】 （1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE17（2018全國(guó)卷）如圖，四邊形為正方形，分別為，的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置

11、，且(1)證明：平面平面；【解析】(1)由已知可得，所以平面PEF又平面，所以平面平面18（2018全國(guó)卷）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是 上異于，的點(diǎn)(1)證明：平面平面；【解析】(1)由題設(shè)知，平面平面，交線為因?yàn)?，平面，所以平面，故因?yàn)闉樯袭愑?，的點(diǎn)，且為直徑，所以 又=，所以平面而平面，故平面平面1已知平面，直線，滿足，則“”是“”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【解析】若，由線面平行的判定定理知若，不一定推出，直線與可能異面，故“”是“”的充分不必要條件故選A更多免費(fèi)資源，關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪2若 是兩條不同的直

12、線，垂直于平面 ，則“ ”是“”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以“”是“”的必要而不充分條件，故選B3如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)證明：平面；【解析】連接交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)闉榫匦?，所以為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，所以平面,平面，所以平面4如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)， （）證明：/平面；【解析】（）連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)DO，則O為的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D，又因?yàn)镺D平面，平面，所以 /平面；5如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)證明：平面；【解析】（）連接BD交AC于點(diǎn)

13、O，連結(jié)EO因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中點(diǎn)，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC6如圖，四棱錐中，底面，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)證明平面；【解析】由已知得，取的中點(diǎn)，連接由為中點(diǎn)知， 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是因?yàn)槠矫?，平面，所以平?如圖，三棱柱中，=60證明；【解析】取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB；8如圖，在四棱錐中，且 QUOTE =90 證明：平面平面；【解析】由已知，得ABAP，CDPD由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD9