從古希臘幾何難題引出的數(shù)學(xué)問題

1、從古希臘幾何難題引出的數(shù)學(xué)問題$1引言隨著HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的不斷開 展和教學(xué)案例的不斷開發(fā)，越來越多的數(shù)學(xué)教師 開始關(guān)注HPM,并希望通過HPM來改善自己的 課堂教學(xué).要在課堂中運用數(shù)學(xué)史，教師需要處 理數(shù)學(xué)(M)、歷史(H)和教育(P)兩兩之間的關(guān) 系，然而，這并非易事.教師所遇到的障礙主 要有：歷史資源匱乏.對于沒有受過數(shù)學(xué)史專業(yè) 訓(xùn)練的大多數(shù)教師而言，史料的獲取并非易事，史 料的真?zhèn)我矡o法判斷.俗話說得;：“巧婦難為無 米之炊”，一個教師即使很認(rèn)同HPM的教學(xué)理 念，如果沒有合適的素材,HPM視角下的數(shù)學(xué)教 學(xué)就是一句空話.所以，筆者在一些論著中多次 強調(diào)教育取向的歷史研究的重

2、要性(!).運用方式單一.課堂上運用數(shù)學(xué)史的方式 有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四種，而有些 教師往往誤以為講一個數(shù)學(xué)家的故事或者用一道 古代數(shù)學(xué)問題，就是HPM的全部了 .實際上，講 故事屬于附加式，運用古代數(shù)學(xué)問題屬于復(fù)制式. 如果教師僅僅是講了點故事，他的課還不能稱為 “HPM的視角”；而“原汁原味”的數(shù)學(xué)史材料往 往并不適合于課堂教學(xué)，需要教師對其進(jìn)行裁剪、 加工、改編、拓展，即采用順應(yīng)式.另一方面，根據(jù)數(shù)學(xué)史料編制而成的高考題, 引發(fā)了人們對“基于數(shù)學(xué)史的問題提出”這一課題 的濃厚興趣.筆者在文(3)中將“基于數(shù)學(xué)史的問 題提出”策略分成了復(fù)制式、情境式、條件式、目標(biāo) 式、對稱式、

3、鏈接式和自由式七類，并對每一類方 式作了界定.除了復(fù)制式外，其他六類策略都屬 于順應(yīng)式.可以說，根據(jù)數(shù)學(xué)史料編制數(shù)學(xué)問題, 是一線教師學(xué)習(xí)和掌握順應(yīng)式的主要途徑.鑒于此，本文從古希臘數(shù)學(xué)家解決三等分角 和倍立方問題的若干方法出發(fā)，運用“基于數(shù)學(xué)史 料的問題提出”的策略，編制一系列數(shù)學(xué)問題，以 期為HPM視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)以及教育取向 的數(shù)學(xué)史研究提供參考.2從梅內(nèi)克繆斯螺線中產(chǎn)生的問題眾所周知，化圓為方、三等分角和倍立方是古 希臘三大幾何難題.盡管尺規(guī)作圖的嘗試都以失 敗而告終，但古希臘數(shù)學(xué)家找到了其他各種各樣 的方法，深刻地影響了幾何學(xué)的發(fā)展.公元前5 世紀(jì)，希波克拉底(Hipporate

4、s, 471B. C. ? 一 410 B. D. ?)將倍立方問題(作一個立方體使其體積等 于已知立方體的兩倍)歸結(jié)為求兩條已知線段的 比例中項問題：已知長為的線段，要求長為/ 和9的線段，使得:x6x : y6y : 2,這個轉(zhuǎn)化為后來的數(shù)學(xué)家指明了方向.為了解決 兩個比例中項問題,公元前4世紀(jì)，柏拉圖學(xué)派數(shù) 學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus, 380B. C. 一 320 B C.)發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線，從而開辟了數(shù)學(xué)的 新天地，具有劃時代的意義.梅內(nèi)克繆斯的第一種方法利用了拋物線和雙 曲線的交點(4).為了便于閱讀，我們采用今日數(shù) 學(xué)語言來描述梅氏的方法.如圖1,已知OA = 2。=

5、2,作以。為頂點，OM為對稱軸、。為 通徑的拋物線x2=ay和以點。為心、。1和。N 為漸近線的雙曲線xy = 2a2,其交點確定了 OA 和。之間的兩個比例中項O1 =3& a和02 =圖2利用兩條拋物線交點來解倍立方問題圖1利用拋物線和雙曲線交點來解倍立方問題圖3梅內(nèi)克繆斯螺線問題梅內(nèi)克繆斯的第二種方法利用了兩條拋物線 的交點.如圖2,O! = 2O=2a,分別作以。為 頂點-OA和OB為通徑ON和OM為對稱軸的 兩條拋物線y2=2a/和/2=ao ,則它們的交點確 定了 OA和OB之間的兩個比例中項OM =#5a 和 ON=#圖1利用拋物線和雙曲線交點來解倍立方問題圖3梅內(nèi)克繆斯螺線問題

6、以上述史料為素材，我們可以設(shè)計以下問 題串.如圖3所示,3為拋物線/2=y和y2=2/ 的異于原點的交點.過3分別作/軸和y軸的 垂線，垂足分別為A和A2.聯(lián)結(jié)AA，過A和A2作AA 的垂線，分別交y軸和/軸于點 A和A#.過A#作A2A3的垂線，交y軸于點 A4，過A4作A#A4的垂線，交/軸于點A)，等 等,我們將所得到的折線AAA2A3稱為“梅 內(nèi)克繆斯螺線”.問題 1：證明(OA)3=2 (OA0 )3 ；問題 2：證明 OAo ,OAi OA#, #,OAn,構(gòu) 成等比數(shù)列；問題 3：將折線 A2 4 -2A2 n -1 A2 A 2 n +1 A2 4+2 稱為梅內(nèi)克繆斯螺線的第n

7、圈，記第n圈的長度 為J求數(shù)列#n+的前4項之和；問題4：記第n圈與y軸所圍成的封閉圖形 的面積為Sn，試證明數(shù)列言+為等比數(shù)列，并寫 出其通項；問題5：如圖4所示，過A)和A、分別作/ 軸的垂線，交拋物線y2=2/于點Q和R,分別過 Q和R作y軸的垂線，垂足為$和E,試比較 S矩形3A% S矩形QAq,W 和的大小關(guān)系.S矩形3$ S矩形QE實際上，要解決前四個問題，首先需要根據(jù)已 知條件求得 OAni = ()2)n71 (n*N+ ), 令q 6 )2 ,則有#n=84n74(1+8)(1+q2 )1+q2 (n*N+ ),此外，當(dāng)拋物線上的點（均在第一象限）的縱 坐標(biāo)構(gòu)成公比為差的等比

8、數(shù)列時，拋物線內(nèi)部長 方形和相應(yīng)的外部長方形的面積之比為1+廠.事 實上，若（/：，o：）（o：,0（z = l,2,3）是拋物線 0 = 上的三點，其中01，02，03構(gòu)成等比數(shù)列， 則有 TOC o 1-5 h z （/&/i）0i 2;02 01 #01 02+oi,7: = 6= 1 + 廠，（0201）/1 1、&017（0201 ）0122（/#/2）02 _ 2； 0302 02 _ 0#+02 _ +,（03 02 ）/21 /、&02&（0302 ）022；少數(shù)美英早期解析幾何教科書就是運用上述結(jié)果來推求拋物線弓形面積的.上述問題中，問題1是梅內(nèi)克繆斯所得到的 結(jié)果,故屬于復(fù)

9、制式問題2 5在歷史素材的基 礎(chǔ)上，增加了條件，設(shè)置了新目標(biāo)，故均屬于自由 式問題.3從埃拉托色尼滑動框中產(chǎn)生的數(shù)列問題圖5埃拉托色尼的倍立方機械解法古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托色尼發(fā)明了一種機械工 具來解決倍立方問題$5%.如圖5，AU和是兩 條平行線，與垂線段AB構(gòu)成了一個固定的長框. 直角三角形AME&MNF和NPG的直角邊A1、 MN和NP可以沿著AU上的凹槽滑動，相應(yīng)地， 它們的頂點E、F和G可以沿BV上的凹槽滑 動.現(xiàn)設(shè)R是PG的中點，保持#AME不動，分 別向左滑動#NPG和#MNF，到#N PG和 MNF的位置，使得N，G與NF的交點S、 MF與ME的交點與點A 7共線圖5埃拉托色尼的倍

10、立方機械解法AB : TE=AD : TD=ED : FD=TE : SF = TD : SD=FD : GD = SF : RG， 因此，TE和SF是AB和RG之間的兩個比例中 項，換言之，AB、TE、SF、RG構(gòu)成等比數(shù)列，因 AB = 2RG，故 SF3=2RG3.由上可見，利用埃拉托色尼的機械工具，可以 構(gòu)造一系列線段，使其長度構(gòu)成一個等比數(shù)列. 據(jù)此，我們可以編制一系列有關(guān)等比數(shù)列的問題. 圖6所示為一埃拉托色尼長框，ACB1為一直角 三角形，AB 6 a，A#1 6 1.過點A作一條直線， 交BV于T，交B1C于A1 ;沿AU向右滑動 Rt#ACB，使斜邊經(jīng)過點A1，B1G相應(yīng)移到

11、 B2C2，B2#2與AT交于A2；以同樣的方式向右 滑動直角三角形，依次得到交點A3，A5，（，A.問題1：證明 AB，A1B An 1 B41構(gòu)成等比數(shù)列.問題2：設(shè)ATB=%，用%表示上述數(shù)列的 公比.問題3 :寫出數(shù)列BB1，B1B2，B2B3，（， Bn_1 Bn的通項公式.問題4：用幾何方法求出BBn，）能據(jù)此推導(dǎo) 出等比數(shù)列的前n項和公式嗎？問題 5：求 lim $AB + A1B1 + （+ n 1 1Bn 1%.實際上，設(shè)數(shù)列 AB，A1B1，A2B2，（，1 Bn1的公比為8（081 ），則數(shù)列BB1，2 B2B3,（，Bn 1 Bn是首項為1，公比為8的等比數(shù)列，因BBn

12、 6ACnAnCn J AC BnCn A nB nA1的等比數(shù)列，因BBn 6ACnAnCn J AC BnCn A nB nA1C1B1C1A1B1na aqa aq1 qn1 q1 84178由此可得一般等比數(shù)列前4項和公式+ 8+ CL8+ 8+ CL82 + +84 1_Q(1 84 )1 8BT!C1BT!C1 X AB !1C181 + 8 + 82 84-1 = lim 8.4i 1一81一8上述問題將埃拉托色尼的三個直角三角形改 為一個,將兩個直角三角形的滑動改為一個直角 三角形的任意多次滑動，將兩個比例中項的構(gòu)造 改為含任意多項等比數(shù)列的構(gòu)造，既改變了條件, 也改變了目標(biāo)，

13、故均屬于自由式問題& %斜向問題中的三角學(xué)內(nèi)涵公元3世紀(jì)末5世紀(jì)初，古希臘數(shù)學(xué)家帕普 斯(Pappus)將三等分角問題轉(zhuǎn)化成所謂的“斜向 問題如圖7所示ZAOB是待三等分的銳 角，在OB上取點B,過B作OB的垂線，交OA 于點A,設(shè)OA = 1.作矩形COBA在CA的延 長線6AB之間插入長度為2(即OA的兩倍)的 線段DE,點D在CA延長線上，點E在AB上, 并且DE的延長線經(jīng)過#AOB的頂點O易證: OD是ZAOB的三等分線.事實上，取DE的中 點 F,聯(lián)結(jié) AF貝，OA = AF = FD,故 #AOF =#AFO = 2 #D = 2 #EOB.我們可以從“斜向問題”中挖掘出豐富的三角

14、 學(xué)內(nèi)涵，并編制一系列問題設(shè)#EOB =a,則 #AOB = 3!#AOE = 2!.作 AG 上 ED,垂足 為G&問題1：用!的三角函數(shù)來表示AE*AD* AG、EG和GD.在銳角情形中，你能得到哪些三 角公式？在 Rt #AED 中,AE = 2sin! , AD = 2cos! , AG = 2sin! cos! , EG = 2 si/! , GD = 2 co*! .在 Rt#AOG 中,AG = sin2! ； Rt#AGF 中,GF = cos2! =EF EG = GD FD，故得二倍角公式 sin2! = 2sin!cos! , cos2 ! =12s?n2 ! , cos

15、2! = 2cos2! 一 1.問題2：用2!的三角函數(shù)來表示OE和OD. 在銳角情形中，你能得到哪些三角公式？在#AOD 中,OD = OF + FD = 2cos2! +1, OE = OF EF = 2cos2! 1 .在 Rt#DCO 和 Rt#OBE 中,OC = sin3! , OB = cos3! ,故得 sin3! = (2cos2! + 1) sin! , cos3! = (2cos2! 一 1) cos!.問題3：如圖所示，在DE上取點H，使得 OH = OA = 1,易知 EG = GH ,OE = HF.證明 DH = OF,并據(jù)此寫出一個相應(yīng)的三角公式.因 DH =

16、DG GH = DG GE,故有2 cos2!一2 sin2! =2cos2!.問題5：如圖所示，過D作OB延長線的垂 線，垂足為S.過H、G、E作DS的垂線，垂足分 2為P、Q和R.又過H和F作BS的垂線，垂足 分別為1和T,HM與ER交于點N 根據(jù)AB* AE和H1之間的關(guān)系以及HP、GQ和ER之間 的關(guān)系，分2寫一個三角公式.事實上，由 AB = AE + EB = AE + MN =AE + HM HN 可得sin3! = 2sin! + sin! 一 (5sin2! ) sin! = 3sin! 4sin3!. 又由 HP + ER =OT + ER =OB + BT + ER =

17、2GR可得cos3! + cos! + 2cos! =2 (2cos2!) cos! , 即cos3! =5cos3! 一3cos!.問題5 :類比“斜向問題& ,設(shè)計一個五等分角 的方案.如圖9所示，以O(shè)A為第一個等腰三角形的 腰，依次構(gòu)造四個等腰三角形，使得第一個和第三 個三角形的底邊所在直線與S的延長線交于第 四個三角形的一個頂點.類似于三等分角的情 形，可以得出若干三角公式.問題1 4以帕普斯的“斜向問題”為出發(fā)點， 提出全新的目標(biāo)，且對條件進(jìn)行特殊化處理，將 OA設(shè)為單位線段，故屬于自由式問題，而問題5 是一道開放題,也屬于自由式.圖9 一種五等分角的方案5基于三等分角的雙曲線問題公

18、元3世紀(jì)末4世紀(jì)初，古希臘數(shù)學(xué)家帕普 斯（Pappus）利用雙曲線解決了三等分角問題也. 如圖1。,設(shè)圓心角ACB是待三等分的角.將弦 AB三等分%為分點之一,AE = &EB.以AE 為實軸,）3 AE為虛軸作雙曲線，交圓弧于點D, 則ACD = 2$CB,（CD 為#ACB的三等 分線.上述方法可以改編成一系列解析幾何問題.2已知雙曲線/23 = 1左、右頂點為A和E,右 焦點為BC為雙曲線右準(zhǔn)線上一點.問題1：證明CA=CB.問題2：以C為圓心（CB為半徑的圓交雙曲 線右半支于D，試證明ACD = 2DCB.問題3：當(dāng)圓C的面積最小時，求點C的坐 標(biāo)以及直線CD的方程.問題4：當(dāng)CD經(jīng)過點A時，求點C的坐標(biāo)以 及CD的方程.問題5：已知點C不在/軸上，若扇形CAB 的面積為求#百的值.問題6：是否存在一點C,使得CD與雙曲線 的一條漸近線垂直？若存在，求出點C的坐標(biāo); 若不存在，說明理由.3,問題7：已知#DAB的底邊AB DBA = 2DAB,求頂點A的軌跡3,圖10帕普斯的三等分角方法問題1涉及的知識點是雙曲線的頂點、焦點 和準(zhǔn)線方程.問題2涉及的知識點是