高中數(shù)學不等式歸納講解

1、第三章 不等式定義： 用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子；3-1 不等式的最基本性質(zhì)對稱性： 假如 xy,那么 yx；假如 yx,那么 xy；傳遞性： 假如 xy,yz；那么 xz；加法性質(zhì)；假如 xy,而 z 為任意實數(shù),那么xzyz；乘法性質(zhì)：假如 xy,z0,那么 xzyz ；假如 xy,z0,那么 xzyz; （符號法就）3-2 不等式的同解原理 不等式 F（ x）G（x）與不等式 G（x） F（ x）同解；1 / 27 假如不等式F（x） G（x）的定義域被解析式H（x ）的定義域所包含,那么不等式F（x） G（x）與不等式F（x） H（x） G（x） H （x）同解；假如不等式

2、 F（ x） G（x） 的定義域被解析式 H（x）的定義域所包含,并且 H（ x） 0,那么不等式 FxG（x）與不等式 H（x）F（x） H（ x ）G（x） 同解；假如 H（x）0,那么不等式 F（x） G（x）與不等式 H xF（ x） H（x）G（x）同解；不等式 F（x）G（x） 0 與不等式Fx0或Fx0同解Gx0Gx0不等式解集表示方式Fx0 的解集為 x 大于大的或 x 小于小的Fx2 x ；2| x 2 x 6|3 x5 / 27 形如|f x |g x 型不等式這類不等式的簡捷解法是等價命題法,即：|f x |g x g x f x g x f x g x 或f x 3、兩

3、個肯定值不等式解不等式（ 1）| x 1|5.形如|f x |g x |型不等式1）此類不等式的簡捷解法是利用平方法,即：| f x | g x | f 2 g 2 f x g x f x g x 0 2）所謂零點分段法 ,是指：如數(shù) 1x ,x , , n x 分別使含有|x 1x |,| x x |, ,| x x |的代數(shù)式中相應肯定值為零, 稱 1x ,2x, ,n x 為相應肯定值的零點,零點 1x,2x, ,nx將數(shù)軸分為 m+1 段,利用肯定值的意義化去肯定值符號,得到代數(shù)式在各6 / 27 段上的簡化式, 從而化為不含肯定值符號的一般不等式來解,即令每項等于零, 得到的值作為爭

4、論的分區(qū)點, 然后再分區(qū)間爭論肯定值不等式,最終應求出解集的并集； 零點分段法是解含肯定值符號的不等式的常用解法, 這種方法主要表達了化歸、 分類爭論等數(shù)學思想方法,它可以把求解條理化、思路直觀化；例題不等式 |x+3|-|2x-1|2 x +1 的解集為；解：|x+3|-|2x-1|=4xx x31 2x1422x4x34、含參數(shù)肯定值不等式解關于 x 的不等式x24 mx42 mm3x2mm3解題 原不等式等價于|x2m|m3x2mm3 或當m30即m3時,7 / 27 x3 m3 或xm3| x6|0 x6 當m30即m3時,當m30即m3時,x R 方法歸納：形如|f x | a aR

5、型不等式此類不等式的簡捷解法是等價命題法,即：或當 a0 時,|f x | a a f x af x af x a；f x | af x 0 當 a=0 時,|當 a0 時,|f x | af x 有意義；4、含參數(shù)肯定值不等式有解、解集為空和恒成立的問題 如不等式 |x 4|+|3 x |0 時,先求不等式 |x 4|+|3 x |a 有解時a 的取值范疇；令x 4=0 得x=4 ,令 3x =0 得x =3 當 x 4 時,原不等式化為x 4+ x3 a ,即 2 x 71 27 當 3 x 4 時,原不等式化為4 x + x 31 當 x 3 時,原不等式化為 4 x +3 x a 即

6、72 x 1 01 時,原不等式有解,從而當時,原不等式解集為空集；由12 知所求 a 取值范疇是 a 1 解法二由 |x 4|+|3 x |的最小值為 1 得當a 1 時,|x 4|+|3 x | x 4|+|3 x | x 4+3 x |=1 當a 1 時,|x 4|+|3 x |a 有解從而當a 1 時,原不等式解集為空集；方法總結：1）一題有多法,解題時需學會查找最優(yōu)解法；2 ） fxa 有 解afxmin； fxa 解 集 為 空 集10 / 27 affxmin；這兩者互補；ffxa 恒成立afxmax；xa 有 解axmin；fxa 解 集 為 空 集affxmin；這兩者互補；

7、ffxa 恒成立afxmax；xa 有 解axmax；fxa 解 集 為 空 集affxmax；這兩者互補；ffxa恒成立afxmin；xa 有 解axmax；fxa 解 集 為 空 集afxmax；這兩者互補；fxa恒成立afxmin；6、肯定值三參數(shù)不等式問題已知函數(shù)f x ax2bxc a b cR ,當x 1,1時|f x | 1,求證：1 |b| 1；bx2axc a b cR , 就 當x 1,1時 , 求 證 ：2如g x |g x |2；思路 此題中所給條件并不足以確定參數(shù)11 / 27 a,b,c 的值,但應當注意到：所要求的結論不是 b 或 g x 的確定值,而是與條件相對

8、應的“ 取值范疇” ,因此,我們可以用 f 1、f 0、f 1 來表示 a, ,c ；由于由已知條件得 | f 1| 1,| f 0 | 1,| f 1| 1；解題 證明： 1由 f 1 a b c f 1 a b c b 1 f 1 f 1 ,2從而有|b|1f1f 11|f1 |f 1 |, |f1| 1,|f 1 | 1,1f1 ,cf0,22|b|1|f1 |f 1 |1.22由f1abc f1abcb1f1f1 ,ac1f22從而a1 2f1f1 f0, 并 整 理 得將 以 上 三 式 代 入g x bx2axc a b cR|g x | |f0 x211f1x11f 11x |2

9、22x2|f0 x21 |1|f1x1 |1|f 11x |22|f0 |x21|1|f1 |x1|1|f 1 |1x|22|x21|1|x1|1|1x| 1x21x111x22222收成1） 二次函數(shù)的一般式y(tǒng)ax2bxcc0中有三個參數(shù)a,b,c. 解| |a|b|題的關鍵在于：通過三個獨立條件“ 確定” 這三個參數(shù). 2）此題變形技巧性強, 同時運用公式 |ab| |a|b ,|ab12 / 27 及已知條件進行適當?shù)姆糯螅?要求同學們做題時要有敏捷的數(shù)學觀察才能；例 題 2 已 知 函 數(shù) fx=a1x2, a,bR, 且ab, 求 證b|,考察左邊,是否能產(chǎn)生 |a-b| ；|fa-

10、fb|a-b|；分析：要證|1a21b2|證明： |fa-fb|=|1a21b2|1|a2b2|b2|a|b|a|b|a21a|b|a|b|ab|ab|a|b|a|,同理1b2|b|,（其中1a2a21a211b2|a|1|b|）回憶： 1、證題時,應留意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系,找出它們的共同點是證題勝利的第一步； 此外,綜合運用不等式的性質(zhì)是證題勝利的關鍵；如在本例中,用到了不等式的傳遞性,倒數(shù)性質(zhì),以及“ 三角形不等式” 等等；13 / 27 y22、此題的背景學問與解析幾何有關；函數(shù)y1x2是雙曲線,）,就表示該圖象上任x21的上支,而|y 1y 2|（即|faf b|x 1x 2ab意兩

11、點連線的斜率的肯定值；（學過有關學問后）,很明顯這一斜率的范疇是在（ -1 ,1）之間；2（1）已知不等式 |x-3|+|x+1|a,的解集為空集,求a 的取值范疇；（2）已知不等式 |x-3|+|x+1|a分析：“ 有解” 即“ 解集非空”（集合）互為補集（全集為 R）有解,求 a 的取值范疇；,可見（ 1）（2）兩小題的答案2 x 2 x 3 當然可以用 |x-3|+|x+1|= 4 1 x 3 這種“ 去肯定值” 的方法2 2 x x 1來解,但我們考慮到“ 三角形不等式”：|a|-|b| |a b| |a|+|b| 知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4 14 / 27 | x

12、3 | | x 1 | a這樣 |x-3|+|x+1|4 ；解（略）回憶：此題是“ 肯定值不等式性質(zhì)定理”的一個應用；（即“ 三角形不等式” ）進展題：（1）已知不等式 |x-3|+|x+1|a的解集非空,求a 的取值范疇；（2）已知不等式 |x-3|+|x+1|a 的解集非空,求 a 的取值范疇；3已知 fx 的定義域為 0,1 ,且 f0=f1 ,假如對于任意不1同的 x1,x20,1 ,都有 |fx 1-fx 2|x 1-x 2|,求證：|fx 1-fx 2| 2分析：題設中沒有給出 fx 的解析式,這給我們分析 fx 的結構 帶 來 困 難 , 事 實 上 , 可 用 的 條 件 只

13、有 f0=f1 , 與|fx 1-fx 2|x 1-x 2|兩個；15 / 27 首 先 , 如 |x1-x 2| 1 , 那 么 必 有 |fx 1-fx 2|x 1-x 2| 1 即2 2|fx 1-fx 2| 1 呢？考慮到 0|x1-x 2|1,就 1-|x 1-x 2| 1 ,看來2 2要證明的是 |fx 1-fx 2|1-|x 1-x 2| 1 成立！2證明：不妨設 x1x2,就 0 x1x21 （ 1 ） 當 |x1-x 2| 2 1 時 , 就 有 |fx 1-fx 2|x 1-x 2| 2 1 即|fx 1-fx 2| 2 1時,即 x2-x 1 2 1 時,0 x2-x 1

14、1 必有 1-|x 1-x 2| 1 即 1- x 2+x 1 12 2也可寫成 |1- x 2|+|x 1| 2 1 * 另一方面 |fx 1-fx 2|=|f1-fx2+fx 1-f0| |f1-fx 2|+|fx 1-f0|1- x 2|+|x 1-0| 就由（ *）式知 |fx 1-fx 2| 2 1 成立16 / 27 綜上所述,當 x1,x20,1 時都有 |fx 1-fx 2|0化為 x-2x-1x+10 其次步：將不等號換成等號解出全部根；例如： x-2x-1x+1=0的根為： x1=2 ,x2=1 ,x3=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標出各根；例如： -1 1 2 21

15、/ 27 第三步：畫穿根線：以數(shù)軸為標準,從“ 最右根” 的右上方穿過根,往左下畫線,然后又穿過“ 次右跟” 上去,一上一下依次穿過各根；第四步：觀看不等號,假如不等號為“方,穿跟線以內(nèi)的范疇；假如不等號為“穿跟線以內(nèi)的范疇；例如：如求 x-2x-1x+10 的根；在數(shù)軸上標根得：-1 1 2 畫穿根線：由右上方開頭穿根； ” ,就取數(shù)軸上 ” 就取數(shù)軸上方,穿跟線以內(nèi)的范疇；即： -1x2 ；22 / 27 奇透偶不透即假如有兩個解都是同一個數(shù)字 這個數(shù)字要根據(jù)兩個數(shù)字穿 如（ x-1=0 兩個解都是 1 那么穿的時候不要透過 1；解題步驟：（1）首項系數(shù)化為“ 正”（2）移項通分,不等號右

16、側化為“0”（3）因式分解,化為幾個一次因式積的形式（4）數(shù)軸標根；系數(shù)非正, 小于等于例 2、解不等式：x23 x20 x27x12解略點評：“ 或” 標根時,分子實心,分母空心；例 3、解不等式：x29x117右側非 0 x22x1點評： 1、不能任憑去分母23 / 27 2、移項通分,必需保證右側為“0”3、留意重根問題分子, 分母有公因式例 4、解不等式：x25x600 x23x2點評： 1、不能任憑約去因式2、重根空實心,以分母為準例 5、解不等式：2x12x1x33x2點評：不等式左右不能任憑乘除因式；例 6、解不等式：x23x132x不等號左右有公因式不能十字相乘分解因式；無法分解因式二次三項式,a0