高中數(shù)學(xué)平面向量知識點歸納總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)平面對量學(xué)問點總結(jié) 平面對量學(xué)問點總結(jié) 第一部分 :向量的概念與加減運(yùn)算 一向量的概念 : ,向量與實數(shù)的積的運(yùn)算； 1 向量 :向量就是既有大小又有方向的量叫向量； 2 向量的表示方法 : 1 幾何表示法 : 點射線 有向線段具有確定方向的線段 有向線段的三要素 : 起 點,方向,長度 記作 留意起訖 2 字母表示法 : AB 可表示為 a 3,模的概念 :向量 AB 的大小長度稱為向量的模； 記作:| AB | 模就是可以比較大小的 4,兩個特別的向量 : 1 零向量長度 模為 0 的向量 ,記作 0 ； 0 的方向就是任意的； 留意 0 與 0 的區(qū)分 2 單位向量長度 模為 1

2、 個單位長度的向量叫做單位向量； 二 向量間的關(guān)系 : 1平行向量 :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量； 記作: a b c ab規(guī)定: 0 與任一向量平行 c 2 相等向量 :長度相等且方向相同的向量叫做相等向量； 記作: a = b 規(guī)定: 0 = 0 任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示 ,與起點無關(guān)； 3 共線向量 :任一組平行向量都可移到同一條直線上 , 所以平行向量也叫共線向量； 三向量的加法 : 1.定義 :求兩個向量的與的運(yùn)算 ,叫做向量的加法； 留意 :;兩個向量的與仍舊就是向量 簡稱與向量 2.三角形法就 : aab a C b強(qiáng)調(diào) : b a+ b aa+ b 1“

3、向量平移” 自由向量 :使前一個向量的終點為后一個向 a+量b的起點 A 2 可以推廣到 n 個向量連加 A B C C A B 3a 0 0a a B 第 1 頁,共 7 頁高中數(shù)學(xué)平面對量學(xué)問點總結(jié) 4 不共線向量都可以接受這種法就三角形法就 3,加法的交換律與平行四邊形法就 1向量加法的平行四邊形法就 三角形法就 : 2向量加法的交換律 : a + b = b + a 3向量加法的結(jié)合律 : a + b + c = a + b +c 4,向量加法作圖 :兩個向量相加的與向量 末端； 四向量的減法 : 1, 用“相反向量”定義向量的減法 ,箭頭 就是由始向量始端指向終向量 1“相反向量”的

4、定義 :與 a 長度相同,方向相反的向量；記作 a2規(guī)定 :零向量的相反向量仍就是零向量； a = a 任一向量與它的相反向量的與就是零向量； a + a = 0 假如 a, b 互為相反向量 ,就 a = b, b = a, a + b = 0 3向量減法的定義 :向量 a 加上的 b 相反向量 ,叫做 a 與 b 的差； 即:a b = a + b 求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法； 2,用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法 : 向量的減法就是向量加法的逆運(yùn)算 : 如 b + x = a,就 x 叫做 a 與 b 的差 ,記作 a b3,向量減法做圖 : AB 表示 a b；強(qiáng)調(diào) :差向量“箭頭”

5、指向被減數(shù) 總結(jié) :1 向量的概念 :定義,表示法,模,零向量,單位向量,平行向量, 相等向量,共線向量 2 向量的加法與減法 :定義,三角形法就,平行四邊形法就,運(yùn)算定律 五: 實數(shù)與向量的積 強(qiáng)調(diào) :“模”與“方向”兩點 1,實數(shù)與向量的積 實數(shù) 與向 a 的積,記作: a 定義 :實數(shù) 與向量 a 的積就是一個向量 ,記作 : 量 a 1 | a |=| |a | 2 0 時 a 與 a 方向相同 ;0內(nèi)分 P P 2 P1 P外分 0 -1 P1 P 2 外分 0 -10 內(nèi)分 0 外分 -1 如 P 與 P1 重合 , =0 不存 P 與 P2 重合 在 2中點公式就是定比分點公式的

6、特例 3始點終點很重要 ,如 P 分 P1P2的定比 = 4公式 :如 x1, x2, x, 知三求一 1就 P 分 P2P1的定比 =2 2十.平面對量的數(shù)量積及運(yùn)算律 一平面對量數(shù)量積 1定義 :平面對量數(shù)量積 內(nèi)積的定義 ,a b = |a|b|cos , 并規(guī)定 0 與任何向量的數(shù)量積為 0； 2向量夾角的概念 :范疇 0 180 CA AC A B 3留意的=幾0個問題 ;兩A 個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)準(zhǔn)備； 分 1O兩個向= 180 B 量的A數(shù)量積就是一個O實數(shù) ,不就是向量 ,符號由B B O cos 的符號所 2 兩個向量的A數(shù)量積稱為內(nèi)積 ,寫成 B O O B

7、 a b;今后要學(xué)到兩個向量的外積 O a b,而 ab 就是兩個數(shù)量的積 ,書寫時要嚴(yán)格區(qū)分； 第 4 頁,共 7 頁高中數(shù)學(xué)平面對量學(xué)問點總結(jié) 3 在實數(shù)中 ,如 a 0,且 a b=0,就 b=0;但就是在數(shù)量積中 ,如 a 0,且 a b=0, 不能推出 b=0；由于其中 cos 有可能為 0；這就得性質(zhì) 2； 4 已知實數(shù) a,b,cb 0,就 ab=bc a=c ；但就是 a b = b c a = c 如右圖 :a b = |a|b|cos = |b|OA| b c = |b|c|cos = |b|OA| ac ab=bc 但 a c 5 在實數(shù)中 ,有a bc = ab c,但

8、就是 a bc ab c O b A 明顯 ,這就是由于左端就是與 c 共線的向量 ,而右端就是與 a 共線的量,而一般 a 與 c 不共線； 向 （二）投影的概念及兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì) : 1.“投影”的概念 :作圖 B B B 定義 :|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影； O O O 留意 :1b 投影也就是一個數(shù)量 ,不就是b向 b量； 2當(dāng) 為銳角時投影為正值 ; O O a 當(dāng) 為鈍角時投影為負(fù)值 當(dāng)B1 為直角時投影為 0; 當(dāng) = 0時投影為 |bO|; A B1 ; O O a A O O B 1 O a A O = 180 時投影為 |b|； 當(dāng) 2.向量的數(shù)

9、量積的幾何意義 : 數(shù)量積 a b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘積； 3.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì) : 設(shè) a, b 為兩個非零向量 ,e 就是與 b 同向的單位向量； 1 2 3e a = a e =|a|cos aba b = 0 當(dāng) a 與 b 同向時 ,a b = |a|b|;當(dāng) a 與 b 反向時 ,a b = |a|b|； 特別的 a a = |a| 2 或 | a | a a a b 4 cos = | a | b | 十一, 5 |a b| |a|b| 平面對量的數(shù)量積的運(yùn)算律 1. 交換律 :a b = b a 2. 結(jié)合律 : a b = a

10、 b = a b 3. 支配律 :a + b c = a c + b c 十二, 平面對量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 1,設(shè) a = x1, y1,b = x2, y2,x 軸上單位向量 j i = 0 2,a b = x1x2 + y1y2 3,長度,角度,垂直的坐標(biāo)表示 i ,y 軸上單位向量 j ,就:i i = 1,j j = 1,i j = 1 a = x, y |a|2 = x2 + y2|a| = x2 y 2 第 5 頁,共 7 頁高中數(shù)學(xué)平面對量學(xué)問點總結(jié) 2如 A = x1, y1,B = x2, y2,就 AB = x 1 x 2 2 y y 2 2 3cos = | a | a

11、 b| b | x 1 2 x1 x 2 y 2 y1 y2 x 2 2y 2 24a b a b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0留意與向量共線的坐標(biāo)表示原就 十三,平移 一,平移的概念 :點的位置,圖形的位置轉(zhuǎn)變 ,而形狀,大小沒有轉(zhuǎn)變 ,從而導(dǎo)致 函數(shù)的解析式也隨著轉(zhuǎn)變；這個過程稱做圖形的平移； 作圖,講解 一個 平移實質(zhì)上就是一個向量 二,平移公式 :設(shè) PP = h, k,即: OP OP PP h 平移公式 x y x xy, =x, y + h, k y k 三,留意 :1 它反映了平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系 2 知二求一 3 這個公式就是坐標(biāo)系不動 ,點 Px,

12、y按向量 a = h, k平移到點 Px ,y；另一種平移就是 :點不動 , 把坐標(biāo)系平移向量 a, 即: x x h；這兩種變換使點在坐標(biāo)系中的相對位置就是一 k y y 樣的 , 這兩個公式作用就是一樣的； 十四, 正弦定理 1 正弦定理的表達(dá) :在一個三角形中；各邊與它所對角的正弦比相等 公式即 : a = b = c 它適合于任何三角形； sin A sin B sin C 2 可以證明 a = b = c =2R R 為 ABC 外接圓半徑 sin A sin B sin C 3每個等式可視為一個方程 :知三求一 從理論上正弦定理可解決兩類問題 : 1.兩角與任意一邊 ,求其它兩邊與一角 ; 2.兩邊與其中一邊對角 ,求另一邊的對角 ,進(jìn)而可求其它的邊與角； 十五, 余弦定理 1.余弦定理語言描述 :三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的與減去這 兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍； 2, a 2 余弦定理公式 : b2 c 2 2bc cos A b2a22 c 2ac cos B 第 6 頁,共 7 頁高中數(shù)學(xué)平面對量學(xué)問點總結(jié) c 2 a 2 b 2 2ab cos C 4,