電磁場(chǎng)電磁波教案6

1、第六章 電磁感應(yīng) 主 要 內(nèi) 容電磁感應(yīng)定律，自感與互感，能量與力。1. 電磁感應(yīng)定律2. 自感與互感3. 磁場(chǎng)的能量4. 磁場(chǎng)力2022/9/1711. 電磁感應(yīng)定律 由物理學(xué)知，穿過閉合線圈中的磁通發(fā)生變化時(shí)，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) e 為 式中電動(dòng)勢(shì) e 的正方向規(guī)定為與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。 因此，上式表明當(dāng)磁通隨著時(shí)間增加時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時(shí)，電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。 2022/9/172 已知回路中電動(dòng)勢(shì)的方向與電流方向相同，因此，線圈中感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。 閉合線

2、圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流意味著導(dǎo)線中存在電場(chǎng)推動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)，這種電場(chǎng)稱為感應(yīng)電場(chǎng)，以E 表示。感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，即 又知 ，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明穿過線圈中的磁場(chǎng)變化時(shí)，導(dǎo)線中產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。它表明，時(shí)變磁場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。 2022/9/173根據(jù)斯托克斯定理，由上式得 由于該式對(duì)于任一回路面積 S 均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此式稱為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率負(fù)值等于該點(diǎn)時(shí)變電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。 電磁感應(yīng)定律是時(shí)變電磁場(chǎng)的基本定律之一，也是下一章將要介紹的描述時(shí)變電磁場(chǎng)著名的麥克斯韋方程組中方程之一。 2022/9/1

3、742. 自感與互感 已知線性媒質(zhì)的磁導(dǎo)率與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小無(wú)關(guān)，因而位于線性媒質(zhì)中的單個(gè)閉合回路電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度與回路電流 I 成正比，所以穿過回路的磁通也與回路電流 I 成正比。與回路電流 I 交鏈的磁通稱為回路電流 I 的磁通鏈，以 表示，令 與 I 的比值為L(zhǎng)，即 式中L 稱為回路的電感，單位為H （亨利）。由該定義可見，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。 在線性媒質(zhì)中，單個(gè)回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，但與回路中電流無(wú)關(guān)。應(yīng)注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。 2022/9/175 若交鏈 N 次，則磁通鏈增加N 倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭邸?/p>

4、例如對(duì)于N 匝回路組成的環(huán)形線圈，由于穿過線圈的磁通 與線圈中的電流 I 交鏈 N 次，對(duì)于回路電流 I 相當(dāng)于磁通增加 N 倍，因此與回路電流 I 交鏈的磁通鏈為 = N 。所以，由 N 匝回路組成的線圈的電感為 若有兩個(gè)回路存在，如圖示。與回路電流 I1交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯蓛刹糠执磐ㄐ纬傻模湟皇?I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈 11 ，另一是電流 I2 在回路 l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈 12 。 dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r12022/9/176同理，與回路電流 I2 交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯杀旧懋a(chǎn)生的磁通鏈 22 和電流 I1在回路l2中產(chǎn)生的磁通鏈 21 共同形成

5、的，即dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1 若周圍媒質(zhì)是線性的，則比值 ， ， 及 均為常數(shù)，令式中L11稱為回路 l1的自感，M12稱為回路 l2 對(duì) l1 的互感。同理定義式中L22 稱為回路 l2的自感，M21稱為回路 l1對(duì) l2的互感。 2022/9/177將上述參數(shù) L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得 可以證明，在線性均勻媒質(zhì)中 因?yàn)榭梢詫?dǎo)出任意兩個(gè)回路之間的互感公式為 考慮到 ，所以由上兩式可見，2022/9/178由此兩式還可見，若 dl1與 dl2處處保持垂直，則互感 ；若處處保持平行，則互感 M 值達(dá)到最大。 因此，在電子電路中，如果需要

6、增強(qiáng)兩個(gè)線圈之間的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個(gè)線圈相互耦合，則應(yīng)相互垂直。 此外，應(yīng)注意互感可正可負(fù)，其值正負(fù)取決于兩個(gè)線圈的電流方向，但自感始終應(yīng)為正值。實(shí)際上，由上面結(jié)果可以推知，若互磁通與原磁通方向相同時(shí)，則使磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時(shí)，則使磁通鏈減少，互感為負(fù)值。2022/9/179例一 計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍媒質(zhì)為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2解 建立圓柱坐標(biāo)系，令 z 軸方向與電流 I1一致，則 I1 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 與線圈電流 I2 交鏈的磁通鏈 21 為 若線框電流如圖所示的順時(shí)針方向，

7、則dS 與B1方向相同。那么2022/9/1710求得互感 M21 為 可見 M21 0 。這是因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)線的電流向上，線圈電流為順時(shí)針方向時(shí)，I2 產(chǎn)生的磁通方向與互磁通 方向相同，因此使電流的磁通鏈增加，M21為正。反之，若線圈電流為逆時(shí)針方向時(shí)，則B1與dS 反向， M21 為負(fù)。但在任何線性媒質(zhì)中， M21 = M12 。例2 計(jì)算載有直流電流的同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感。 設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖示。bcaO2022/9/1711 在同軸線中取出單位長(zhǎng)度，沿長(zhǎng)度方向形成一個(gè)矩形回路，內(nèi)邊寬度為a，外邊寬度為（cb），如左下圖所示。 bcrcbaOdrII

8、e 現(xiàn)將同軸線中內(nèi)外導(dǎo)體中的電流合并到矩形回路中，內(nèi)導(dǎo)體中電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導(dǎo)體中電流歸并為矩形回路的外邊電流。 同軸線單位長(zhǎng)度的電感定義為 式中I 為同軸線中的電流， 是單位長(zhǎng)度內(nèi)與電流 I 交鏈的磁通鏈。由圖可見，與電流 I 交鏈的磁通鏈由三部分磁通形成：外導(dǎo)體中的磁通，內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通以及內(nèi)導(dǎo)體中的磁通。但由于外導(dǎo)體通常很簿，穿過其內(nèi)的磁通可以忽略。 aIO2022/9/1712已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bo 為 該磁場(chǎng)形成的磁通稱為外磁通，以 表示，則單位長(zhǎng)度內(nèi)的外磁通為又知內(nèi)導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bi 為這部分磁場(chǎng)形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以 表示。那么穿過寬度為dr的

9、單位長(zhǎng)度截面的內(nèi)磁通 d 為該外磁通與電流 I 完全交鏈，故外磁通與磁通鏈 相等。 2022/9/1713但是這部分磁通僅與內(nèi)導(dǎo)體中自內(nèi)導(dǎo)體軸線位置 0 至 r 之間部分電流 I 交鏈，而不是與總電流 I 交鏈，因此，對(duì)于總電流 I 來(lái)說，這部分磁通折合成與總電流 I形成的磁通鏈應(yīng)為bcrcbaOdrIIe由此求得內(nèi)導(dǎo)體中的磁場(chǎng)對(duì)總電流 I 提供的磁通鏈 i 為aIO2022/9/1714那么，與總電流 I 交鏈的總磁通鏈為（o + i） ，因此，同軸線的單位長(zhǎng)度內(nèi)電感為式中第一項(xiàng)稱為外電感，第二項(xiàng)稱為內(nèi)電感。 后面討論時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體可以當(dāng)作理想導(dǎo)電體，因而內(nèi)外導(dǎo)電體中不可能存

10、在時(shí)變電磁場(chǎng)。因此，當(dāng)同軸線工作于時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，內(nèi)外導(dǎo)體中的磁通皆可忽略，只須考慮內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通，同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感等于外電感，即 2022/9/17153. 磁場(chǎng)的能量 已知穿過閉合回路的磁通發(fā)生變化時(shí)，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因而回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流。此時(shí)，產(chǎn)生電流所需的能量是由外部磁場(chǎng)提供的。 若在回路中加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長(zhǎng)，為了克服反磁通產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)，以維持電流達(dá)到一定數(shù)值，外源必須作功。若電流變化非常緩慢，可以不考慮輻射損失，則外源輸出的能量全部?jī)?chǔ)藏在回路電流周圍的磁場(chǎng)中。 上述能量轉(zhuǎn)換說明了磁場(chǎng)可在回路中產(chǎn)生電流，而

11、外源又可向磁場(chǎng)提供能量。由此可見，磁場(chǎng)具有能量。根據(jù)外源在建立磁場(chǎng)過程中作的功即可計(jì)算磁場(chǎng)能量。2022/9/1716 設(shè)單個(gè)回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值 I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值 。已知回路中產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)等于回路磁通變化率的負(fù)值，即 。因此，為了克服這個(gè)反電動(dòng)勢(shì)，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓 U = -e ，即若時(shí)刻 t 回路中的電流為 i(t) ，則此時(shí)刻回路中的瞬時(shí)功率為 在dt 時(shí)間內(nèi)外源作的功為 2022/9/1717 已知任一時(shí)刻單個(gè)回路的磁通鏈與回路電流的關(guān)系為 ，又知單個(gè)回路電流的磁通鏈即是穿過回路的磁通，因此將此結(jié)果代入上式，同時(shí)考慮到在線性

12、媒質(zhì)中，回路電感 L 與電流 i無(wú)關(guān)，求得 dt 時(shí)間內(nèi)外源作的功為 當(dāng)回路電流增至最終值 I 時(shí)，外源作的總功 W 為這個(gè)總功在回路中建立的電流為 I ，而該電流在其周圍建立磁場(chǎng)。因電流增長(zhǎng)很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌?chǎng)的能量。2022/9/1718 若以 Wm 表示磁場(chǎng)能量，則電感為 L，電流為I 的回路具有的磁場(chǎng)能量為此式又可改寫為由此可見，若已知回路電流及其磁場(chǎng)能量，那么利用上式計(jì)算電感十分方便。 考慮到回路電感 ，則電流為I 的單個(gè)回路周圍的磁場(chǎng)能量又可表示為式中 為與電流 I 交鏈的磁通鏈。 2022/9/1719 對(duì) N 個(gè)回路，可令各個(gè)回路電流均以同一比例

13、由零值緩慢地增加到最終值。根據(jù)能量守恒原理，最終的總能量應(yīng)與建立過程無(wú)關(guān)，因此這樣的假定是允許的。已知各回路磁通鏈與各個(gè)回路電流之間的關(guān)系是線性的，第j 個(gè)回路的磁通鏈 j 為 因此，當(dāng)各回路電流以同一比例增長(zhǎng)時(shí)，各回路磁通鏈也以同一比例增加。設(shè)第j個(gè)回路在某一時(shí)刻 t 的電流 ，式中Ij 為電流最終值， 為比例系數(shù)，其范圍為 。那么，在 dt 時(shí)間內(nèi)，外源在 N 個(gè)回路中作的功為2022/9/1720當(dāng)各個(gè)回路電流均達(dá)到最終值時(shí)，外源作的總功 W 為由此求得具有最終值電流的 N 個(gè)回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量為 即 這樣，若已知各個(gè)回路的電流及磁通鏈，由上式即可計(jì)算這些回路共同產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量。 已知回

14、路磁通可用矢量磁位 A 表示為 ，因此第 j 個(gè)回路的磁通鏈也可用矢量磁位 A 表示為 2022/9/1721那么，N 個(gè)回路周圍的磁場(chǎng)能量又可矢量磁位表示為式中A 為周圍回路電流在第 j 個(gè)回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。 若電流連續(xù)地分布在體積 V 中，電流密度為 J ，已知 ，則上式變?yōu)轶w積分，此時(shí)磁場(chǎng)能量可以表示為式中V 為體分布的電流密度 J 所占據(jù)的體積。 若電流分布在表面 S 上，則產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量為 式中S 為面分布的電流密度所在的面積。 2022/9/1722磁場(chǎng)能量的分布密度已知 ，代入上式，得 利用矢量恒等式 ，上式又可寫為式中 V 為電流所在的區(qū)域。顯然，若將積分區(qū)域擴(kuò)大到

15、無(wú)限遠(yuǎn)處，上式仍然成立。令 S 為半徑無(wú)限大的球面，則由高斯定理知，上式第一項(xiàng)的2022/9/1723 當(dāng)電流分布在有限區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度與距離平方成反比，矢量磁位與距離一次方成反比，因此位于無(wú)限遠(yuǎn)處的面積分 再考慮到 ，求得式中V 為磁場(chǎng)所占據(jù)的整個(gè)空間?？梢?，上式中的被積函數(shù)即是磁場(chǎng)能量的分布密度。 若以小寫字母 wm 表示磁場(chǎng)能量密度，則已知各向同性的線性媒質(zhì)， ，因此磁場(chǎng)能量密度又可表示為 可見，磁場(chǎng)能量與磁場(chǎng)強(qiáng)度平方成正比，磁場(chǎng)能量也不符合疊加原理。 2022/9/1724例 計(jì)算同軸線中單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量。設(shè)同軸線中通過的恒定電流為 I ，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a ，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，

16、其半徑為 b ，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。 解 已知同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感為因此，單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線中磁場(chǎng)能量為 我們也可以通過磁場(chǎng)密度計(jì)算同軸線的磁場(chǎng)能量。已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 2022/9/1725因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量為又知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度 Ho 為所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量為 單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線的磁場(chǎng)能量應(yīng)為 ，此結(jié)果與前式完全相同。 已知 ，可見，通過磁場(chǎng)能量也可計(jì)算電感。2022/9/17264. 磁場(chǎng)力 首先，討論兩個(gè)任意形狀的電流回路之間的作用力。 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1 已知磁場(chǎng)對(duì)于電流元 Idl 的作用力 ，那么，由回

17、路電流I1 產(chǎn)生的磁場(chǎng) B1對(duì)于電流元 I2dl2 的作用力 dF21為又知電流 I1 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1為因此， B1對(duì)于整個(gè)回路 l2 的作用力F21 為2022/9/1727 同理可以求出回路電流 I2 產(chǎn)生的磁場(chǎng) B2 對(duì)于整個(gè)回路 l1 的作用力F12 為 上述兩式稱為安培定律。 根據(jù)牛頓定律得知，應(yīng)該 。這個(gè)結(jié)論也可直接由上式獲得證明。 已知回路電流分布，利用上述安培定律可以計(jì)算回路之間的磁場(chǎng)力。但是如果回路形狀復(fù)雜，上述積分計(jì)算是很困難的，甚至無(wú)法求得嚴(yán)格的解析表達(dá)式。 為了計(jì)算磁場(chǎng)力，類似計(jì)算電場(chǎng)力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關(guān)系可以獲得計(jì)算磁場(chǎng)力的簡(jiǎn)便方式。 下面直接

18、利用前述廣義力和廣義坐標(biāo)的概念，導(dǎo)出計(jì)算磁場(chǎng)力的一般公式。2022/9/1728 設(shè)在電流 I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)廣義力 F 的作用下，使得回路 l2的某一廣義坐標(biāo)變化的增量為dl，同時(shí)磁場(chǎng)能量的增量為 dWm 。那么，兩個(gè)回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場(chǎng)廣義力作的功與磁場(chǎng)能量的增量之和，即下面分為兩種情況： 第一，若電流 I1 和 I2 不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則 那么，當(dāng)兩個(gè)回路的磁通鏈發(fā)生變化時(shí)，外源作的功分別為 2022/9/1729由此可見，兩個(gè)回路中的外源作的總功 dW 為求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F 為 即 第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。由于各個(gè)回路的磁通未變，因此，各個(gè)回路位移過程中不會(huì)產(chǎn)生新的電動(dòng)勢(shì)，因而外源作的功為零，即那么，求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為2022/9/1730 注意，已規(guī)定廣義力的方向?yàn)閺V義坐標(biāo)的增加方向。因此，如