湖南省永州市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復(fù)數(shù) 滿足 ，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）ABCD2已知橢圓的右焦點(diǎn)為短軸的一個端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是

2、（ ）ABCD3用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么、中至少有一個偶數(shù)時，下列假設(shè)正確的是（ ）A假設(shè)、都是偶數(shù)B假設(shè)、都不是偶數(shù)C假設(shè)、至多有一個偶數(shù)D假設(shè)、至多有兩個偶數(shù)4設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（ ）ABC或D5雙曲線與雙曲線有相同的（）A頂點(diǎn)B焦點(diǎn)C漸近線D離心率6若函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于直線對稱，則與的值分別為（ ）ABCD7甲、乙、丙，丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（ ）A乙、丁可以知道自己的成績B乙可以

3、知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D丁可以知道四人的成績8在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，曲線與射線的交點(diǎn)為，則（ ）ABCD9我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（ ）A300種B150種C120種D90種10已知，則的最小值（ ）ABCD11若不等式|ax+2|6的解集為（1，2），則實數(shù)a等于（ ）A8B2C4D812若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在的展開式中,第4項的二項式系數(shù)是_（用數(shù)字作答）.14若某學(xué)校要從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人參加社會考察活動

4、，則選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率是_.15如圖，在正方形內(nèi)有一扇形（見陰影部分），扇形對應(yīng)的圓心是正方形的一頂點(diǎn)，半徑為正方形的邊長在這個圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為_ _16已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和18（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為（1）若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若是曲線上一個動點(diǎn)，求的最大值，以及取得最大值時點(diǎn)的坐標(biāo).

5、19（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長.20（12分）已知菱形所在平面，為線段的中點(diǎn), 為線段上一點(diǎn)，且 （1）求證： 平面； （2）若，求二面角的余弦值21（12分）已知數(shù)列滿足,且（1）求及；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項和22（10分）已知的最小正周期為(1)求的值；(2)在中，角，所對的邊分別是為，若，求角的大小以及的取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出【詳解】由題意i z1+2i，iz（i）（1+2i）（i），z2i則在復(fù)平面內(nèi)，z

6、所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1）故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】試題分析：設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，由于直線過原點(diǎn)，因此兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而是平行四邊形，所以，即，設(shè)，則，所以，即，又，所以，故選A考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關(guān)系或范圍，解題的關(guān)鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點(diǎn)到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結(jié)論在涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時，需要聯(lián)想到橢圓的定義3、B【解析】根據(jù)反證法的概念，可知假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，即可求解，得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)反證法的概

7、念，假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，所以用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)”時，假設(shè)應(yīng)為“假設(shè)都不是偶數(shù)”，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了反證法的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記反證法的概念，準(zhǔn)確作出所證命題的否定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4、B【解析】分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個方程組求解，最后求兩者并集.詳解：因為，所以所以選B.點(diǎn)睛：求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.5、C【解析】根據(jù)選項分別寫出兩個雙曲線的幾何性質(zhì)，比較

8、后得到答案.【詳解】的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線方程是，離心率是；的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線方程是，離心率，比較后可知只有漸近線方程一樣.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.6、D【解析】分析：由題意得，結(jié)合即可求出，同理可得的值.詳解：函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于直線對稱，和（）解得和，和時，；時，.故選：D.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】根據(jù)甲的所說的話，可知乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，再結(jié)合簡單的合情推理逐一分析可得出結(jié)果.【詳解】因為甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，又甲看了乙、丙的成績且還不知道自己的成立，即可推出乙、丙

9、的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，又乙看了丙的成績，則乙由丙的成績可以推出自己的成績，又甲、丁的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，則丁由甲的成績可以推出自己的成績.因此，乙、丁知道自己的成績，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的合情推理，解題時要根據(jù)已知的情況逐一分析，必要時可采用分類討論的思想進(jìn)行推理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.8、B【解析】分析：將兩方程聯(lián)立求出，再根據(jù)的幾何意義即可得到OA的值.詳解：由題可得：，由的幾何意義可得 ，故選B.點(diǎn)睛：考查極坐標(biāo)的定義和的幾何意義：表示原點(diǎn)到A的距離，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】分析：根據(jù)題意，先選后排.先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，

10、2，2，注意去除重復(fù)部分；后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2； 分成1，1，3三組的方法有 分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點(diǎn)睛：對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。10、C【解析】向量，, 當(dāng)t=0時，取得最小值.故答案為.11、C【解析】利用不等式的解集和對應(yīng)方程的根的關(guān)系來求解.【詳解】因為的解集為，所以和是方程的根，所以解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，明確不等式的解集和對應(yīng)方程的關(guān)系是求

11、解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12、C【解析】先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補(bǔ)集，求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】利用二項式的通項公式即可求出.【詳解】二項式的通項公式為：.令, 所以第4項的二項式系數(shù)是故答案為：2

12、0【點(diǎn)睛】本題考查了二項式某項的二項式系數(shù),解決本題要注意與二項式某項的展開式系數(shù)的不同.14、【解析】選出的男女同學(xué)均不少于1名有兩種情況： 1名男生2名女生和2名男生1名女生，根據(jù)組合數(shù)公式求出數(shù)量，再用古典概型計算公式求解.【詳解】從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人，有 種選法；選出的男女同學(xué)均不少于1名，有 種選法；故選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率： .【點(diǎn)睛】本題考查排列組合和古典概型. 排列組合方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時，可以用此法.15、【解析】設(shè)正方形的邊長為1,則扇形的面積為，所以，它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為.16、【解

13、析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究圖像，再根據(jù)與圖像交點(diǎn)情況確定實數(shù)的取值范圍.詳解：令，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；作與圖像，由圖可得要使函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn)，需點(diǎn)睛：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）；（）【解析】（）利用等差數(shù)列公式直接解得答案.（），利用裂項求和計算得到答案.【詳解】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得（），從而，的前項和【點(diǎn)

14、睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.18、（1）.（2）最大值為6，.【解析】(1)利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式求解即可;(2)設(shè)利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)解答得解.【詳解】(1)把曲線的極坐標(biāo)方程為,化為直角坐標(biāo)方程為;(2)化出曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)). 若是曲線上的一個動點(diǎn),則,可得,其中,故當(dāng)時, 取得最大值為,此時,.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化,考查三角函數(shù)的恒等變換和最值,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,難度一般.19、（1）（2）【解析】（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的

15、余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【詳解】解：（1）因為，所以，即，所以.由正弦定理得，所以，又因為，所以.（2）由（1）得，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，得，由線面平行的判定定理得平面，連接交與點(diǎn),連接，得，進(jìn)而得平面，再由面面平行的判定，得平面平面，進(jìn)而得到平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)，平面2分連接交與點(diǎn),連接為的中點(diǎn)，平面4分平面平面又平

16、面平面6分（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則 7分設(shè)平面的法向量為則，即不放設(shè)得8分設(shè)平面的法向量為則，即不放設(shè)得10分則二面角的余弦值為12分點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的直線與平面，平面與平面平行的判定及應(yīng)用，以及二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（1），；（2）【解析】（1）由，得到數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得和；（2）由（1）知，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可知，且，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，