求動點的軌跡方程

1、求動點的軌跡方程求動點的軌跡方程17/17求動點的軌跡方程求動點的軌跡方程（例題，習(xí)題與答案）在中學(xué)數(shù)學(xué)教課和高考數(shù)學(xué)考試中，求動點軌跡的方程和曲線的方程是一個難點和要點內(nèi)容（求軌跡方程和求曲線方程的差別主要在于：求軌跡方程時，題目中沒有直接見告軌跡的形狀種類；而求曲線的方程時，題目中明確見告動點軌跡的形狀種類）。求動點軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、有關(guān)點法、參數(shù)法與交軌法等；求曲線的方程常用“待定系數(shù)法”。求動點軌跡的常用方法動點P的軌跡方程是指點P的坐標(biāo)（x,y）知足的關(guān)系式。直接法1）依題意，列出動點知足的幾何等量關(guān)系；2）將幾何等量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)辄c的坐標(biāo)知足的代數(shù)方程。例題已知直角

2、坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：x2y21，動點M到圓C的切線長等與MQ，求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線解：設(shè)動點M(x,y)，直線MN切圓C于N。依題意：MQMN，即MQMN22而MN2MO2NO2,所以22MQMO1(x-2)2+y2=x2+y2-1化簡得：x=54。動點M的軌跡是一條直線。定義法剖析圖形的幾何性質(zhì)得出動點所知足的幾何條件，由動點知足的幾何條件能夠判斷出動點的軌跡知足圓（或橢圓、雙曲線、拋物線）的定義。依題意求出曲線的有關(guān)參數(shù)，進(jìn)一步寫出軌跡方程。例題：動圓M過定點P（4，0），且與圓C：x2y28x0相切，求動圓圓心M的軌跡方程。解：設(shè)M(x,y)，動圓的半徑為r

3、。若圓M與圓C相外切，則有MC=r4若圓M與圓C相內(nèi)切，則有MC=r-4而MP=r,所以MC-MP=4動點M到兩定點P(-4,0),C(4,0)的距離差的絕對值為4，所以動點M的軌跡為雙曲線。此中a=2,c=4。動點的軌跡方程為：x2y241123.有關(guān)點法若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的改動而改動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程。這類方法稱為有關(guān)點法。例題：已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓C:(x1)2y24上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程。解：設(shè)M(x,y),A(xA,yB),依題意有：x=42x

4、A,y=32yA則：xA=2x-4,yA=2y-3,由于點A(xA,yB)在圓C:(x1)2y24上，所以(2x4)2(2y3)24點M的軌跡方程為：(x2)2(y23)21動點M的軌跡為以（2,32）為圓心，1為半徑的圓。參數(shù)法例題：已知定點A（-3,0），M、N分別為x軸、y軸上的動點（M、N不重合），且ANMN,點P在直線MN上，NP32MP。求動點P的軌跡C的方程。解：設(shè)N(0,t),P(x,y)直線AN的斜率kAM3t，由于ANMN，所以直線MN的斜率kMN3t直線MN的方程為y-t=3t2x,令y=0得x=t3,所2以點M(t3,0)NP(x,yt),t2MP(x3,y)由NP23

5、MP,得x=23(x2t3),y-t=23y,則xt2y2t所以動點P的軌跡方程為：交軌法例題：如圖，在矩形ABCD中，點，且都在座標(biāo)軸上，設(shè)OP點的軌跡的方程。yDGCQMHoPFxAEBy24xAB8,BC4,E,F,G,H分別為四邊的OF,CQCF(0)。求直線與的解：設(shè)M(x,y)，由已知得P(4,0),Q(4,22)，則直線的方程為yx2，直線的方程為yx2，22即y+2=x2y-2=-2x兩式相乘，消去即得的軌跡的方程為x2y2161(x0)4練習(xí)與答案設(shè)圓C與圓x2+（）2=1外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為AA拋物線B雙曲線C橢圓D圓2.已知圓M1:(x4)2y225，

6、圓M2:(x4)2y21，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。x2y24112(x0)過點A(4，0)作圓Ox2+y2=4的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡。(x-2)2+y2=4(0 x1)4.已知圓：+(y-4)=1,動點P是圓外C(x3)22一點，過P作圓C的切線，切點為M，且PM=PO（O為坐標(biāo)原點）。求動點P的軌跡方程。提示：PO2=PM2=PC213x+4y-12=0已知圓C1:(x4)2y21，圓C2:x2(y2)21，動點到圓,上點的距離的最小值相等.求點的軌跡方程。解：動點P到圓C1的最短距離為PC1-1,動點P到圓C2的最短距離為PC2-1,依題意有：PC1-

7、1=PC2-1，即PC1=PC2所以動點P的軌跡為線段C1C2的中垂線。所以動點P的軌跡方程為：2x+y-5=026.已知雙曲線x2y21的左、右極點分別為A1,A2,點P（x1,y2），Q（x1,y2）是雙曲線上不一樣的兩個動點。求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程。解：由A1,A2為雙曲線的左右極點知，A1(2,0),A2(2,0),y1(x2)，A2Q:yy1(x2)，兩式相乘A1P:yx12x122y2y1(x22)，2x12由于點P(x1,y1)在雙曲線上，所以x12y121，即2y121，故y2122)，2222(xx1所以x2y21，即直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方22程為

8、xy217.已知曲線C:yx2與直線l:xy20交于兩點A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面地區(qū)（含界限）為D設(shè)點P(s,t)是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程。解：（1）聯(lián)立yx2與yx2得xA1,xB2，則AB中點Q(15)，設(shè)線段PQ的中點M坐標(biāo)為(x,y)，則2,21s5t2x1,t2y5，又點P在曲線C上，x2,y2，即s22222y512化簡可得y211，又點P是L上2(2x2)xx8的任一點，且不與點A和點B重合，則12x12，即1x5，中點M的軌跡方程為

9、244yx2x11（1x5）.844已知點C（1，0），點A、B是O：x2y29上隨意兩個不一樣的點，且知足ACBC0，設(shè)P為弦AB的中點。求點P的軌跡T的方程。解：uuuruuur連接CP，由ACBC0，知ACBC|CP|AP|BP|1|AB|，由垂徑定理2知|OP|2|AP|2|OA|2即|OP|2|CP|29設(shè)點P（x，y），有(x2y2)(x1)2y29化簡，獲得x2xy24。y29.設(shè)橢圓x21，過點M(0,1)的直線l交橢圓于4A、B，O為坐標(biāo)原點，點P知足OP1(OAOB)，2當(dāng)l繞著M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程。解：直線l過點M(0,1)，設(shè)其斜率為k，則直線l的方程為ykx1

10、，記A(x1,y1)，B(x2,y2)，由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2)ykx1是方程組x2y21的解，其方程組4中消取y得(4k2)x22kx30 x1x22k4k2y1y284k2OP1(OAOB)點P的坐標(biāo)2為(x1x2,y1y2)22即：點P為(k2,42)，4k4k設(shè)點P為(x,y)，則P點的軌跡參數(shù)方程為xk2k（k為參數(shù)）4y4k24消去參數(shù)k得：4x2y2y0當(dāng)斜率k不存在時，A、B的中為原點（0，0）也知足上述方程，故：動點P的軌跡方程為4x2y2y0。10.設(shè)圓C與兩圓(x5)2y24,(x5)2y24中的一個內(nèi)切，另一個外切。求圓C的圓心軌跡L的方程。

11、解：兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為F1(5,0)、F2(5,0)，由題意得R|CF1|2|CF2|2或R|CF2|2|CF1|2，|CF1|CF2|425|F1F2|，可知圓心C的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線，設(shè)方程為x2y21，則22ab2a4,a2,c5,b2c2a21,b1，所以軌跡L的方程為x2y214如下圖，已知P（4，0）是圓x2y236內(nèi)的一點。A、B是圓上兩動點，且知足APB900,求矩形APBQ的極點Q的軌跡方程.解：設(shè)R(x,y),依題意，有OR2+RA2=36,而RA=RP,所以O(shè)R2+RP2=36,即x2y2(x4)2y236化簡得：(x2)2y214設(shè)

12、Q(X,Y),由于R(x,y)是QP的中點，所以有x=42X,y=Y2,故(4X2)2(Y)21422化簡得：X2Y256在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:x2交x軸于點A，設(shè)P是l上一點，M是線段OP的垂直均分線上一點，且知足MPO=AOP。當(dāng)點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程。解：如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直均分線，交OP于點Q，QMPQAOP,MPl,且|MO|MP|.所以x2y2|x2|,即y24(x1)(x1).另一種狀況，見圖2（即點M和A位于直線OP的同側(cè)）。MQ為線段OP的垂直均分線，MPQMOQ.又QMPQAOP,MOQAOP.所以M在x軸上，此時，記M的坐標(biāo)為(x,0).為剖析M(x,0)中x的變化范圍，設(shè)P(2,a)為l上任意點(aR).由|MO|MP|（即|x|(x2)2a2）得，x11a21.4故M(x,0)的軌跡方程為y0,x1綜合和得，點M軌跡E的方程為y24(x1),x1,0,x1.13.點M是橢圓x2y21上的動點。如圖，點4的坐標(biāo)為，是圓x2y21上的點，是點在x軸上的射影，點知足條件：，BA=0,求OQOMONQA線段的中點的軌跡方程；解：設(shè)M(xm,ym),B(xB,yB)Q(xQ,yQ).由于N(xN,0),uuuurOMuuurONuuurOQ，故xQ2xN,yQyM,xQ2yQ2(2xM)2yy4u