彈性力學(xué)第二章 張量基礎(chǔ)知識

1、彈性力學(xué)第二章 張量基礎(chǔ)知識第1頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量2-1坐標(biāo)系和矢量如圖2.1，三維空間直角坐標(biāo)系Oxyz,張量:簡潔、統(tǒng)一、物理意義明確、與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)P點坐標(biāo)（x,y,z)P點坐標(biāo)可記為：正方向的單位基矢量(2.1)第2頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量P點坐標(biāo)為：(2.2)如圖2.1,原點O到P點的矢量 為P點的矢徑,用r表示第3頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量顯然，指標(biāo) i, j, k

2、與求和無關(guān)，可用任意字母代替。為簡化表達(dá)式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標(biāo)在一項中重復(fù)一次，就表示對該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)1，2，n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)。于是n 表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。例題A:求和約定、啞指標(biāo)第4頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量雙重求和展開式（9項）三重求和（27項）第5頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量是違約的，求和時要保留求和號B:自由指標(biāo)例如指標(biāo) i 在方程的各項中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標(biāo)。一個自由指標(biāo)每次

3、可取整數(shù)1,2,3, , n，與啞標(biāo)一樣，無特別說明總?cè)=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：第6頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量i 為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo)表示第7頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三i ，j為自由指標(biāo)，k 為啞標(biāo)表示9個方程：第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量第8頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三C: Kronecker delta符號在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kronecker delta 符號定義為：其中 i，j 為自由指標(biāo)，取遍1，2，3；因此，可確定一單位矩陣：第二章

4、 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量第9頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量(2.3)的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。例：注意： 是一個數(shù)值，即第10頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三例例個數(shù)，項的和。求特別地，第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量第11頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量任意兩矢量a和 b的點積矢量a的模(2.4)兩矢量a和 b用正交基 表示,則其點積為第12頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39

5、分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量D:置換符號 Permutation symboli, j, k為順序排列i, j, k有兩個相等例如：i, j, k為逆序排列(2.5)可見：也稱為三維空間的排列符號。第13頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量任意兩矢量a和 b的叉積由叉積定義,若是直角坐標(biāo)系的單位基矢量則(2.6)(2.8a)(2.7)abab第14頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量式(2.8a)可寫為(2.b)三矢量a,b,c的混合積(2.9)a,b,c為共

6、點棱的平行六面體的體積，a,b,c構(gòu)成右手系為正第15頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量: Kronecker delta符號與置換符號 Permutation symbol的關(guān)系(2.10)證明 (1).i,j,k有兩個相同時，上式成立，同理，l,m,n有兩個相同時，上式也成立(2).不同時,由下式交換行(a)第16頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量(b)(3).同理,由(b)式交換列可得到(2.10)式從(2.10)式可得到下面幾個有用的恒等式第17頁，共72頁，2022

7、年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量即(2.11)第18頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量(2.12)(2.13)二重叉積即(2.14)第19頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三F: 坐標(biāo)變換舊坐標(biāo)系：新舊基矢量夾角的方向余弦：單位基矢量：新坐標(biāo)系：單位基矢量： 舊新第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量(2.15)第20頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量 新舊(2.16)變換系數(shù)第21頁，共72頁，2022年，5月20

8、日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-1坐標(biāo)系和矢量即(2.17)任一矢量u在新舊坐標(biāo)中表示一致利用(2.15)則即(2.18)矢量u本身與坐標(biāo)無關(guān),矢量的分量ui隨坐標(biāo)系而變第22頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-2張量的定義2-2張量的定義推廣矢量的概念若在空間任一組基 下,有用n個指標(biāo)編號的 個數(shù)當(dāng)基矢量按 變換成 時, 個數(shù) 按如下規(guī)律變換張量的定義(2.19)為對應(yīng)基下的張量分量,有時稱 為n階張量. 個數(shù) 的有序集合為一個n階張量.稱第23頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-2張量的定

9、義標(biāo)量 零階張量，不隨坐標(biāo)變換而變的不變量矢量 一階張量，一個矢量的某一分量不是標(biāo)量，它 隨坐標(biāo)系的變化而變化矢量的三種記法： 不變性記法如T；基矢量的線性組合法；用矢量分量表示即并矢記法。一個n階張量的并矢記法：(2.20)n個基矢量并寫在一起，稱為基張量其有 基張量.第24頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-2張量的定義二階張量T第25頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-2張量的定義 二階的基張量共9個張量的另一個定義在某一坐標(biāo)系中,某一個量T可表示成式(2.20)的形式,則T是一個n階張量.(2.20

10、)第26頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-2張量的定義在一個坐標(biāo)系中,某一張量的所有分量為零,按定義(2.19),則在其它坐標(biāo)系中的所有分量也為零,這個張量為零張量,O例:證明 是一個三階張量(置換張量)滿足變換規(guī)律(2.19),即是一個三階張量例: 和 是兩個任意矢量, 是標(biāo)量.證明 是一個二階張量證:和 是任意的,得證二階張量第27頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)2-3張量代數(shù)A:張量的線性組合同階張量可進(jìn)行線性組合運(yùn)算,結(jié)果仍為同階張量A,B是二階張量,和是標(biāo)量,則(2.21)交換律:

11、 A+B=B+A結(jié)合律: A+B+C=A+(B+C), ()A= (A)分配律: (+)A=A+ A(A+B)= A+ B第28頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)B:張量的縮并在張量的并矢記法中,對某兩個基矢量進(jìn)行點積,則原張量降低兩階成為一個新的張量,如(2.22)證明是二階張量第29頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)C:張量的并積張量積 兩個張量的并積(2.23)n階張量A與p階張量B的并積為C,則C定義為C是(n+p)階張量一般情況下,第30頁，共72頁，2022年，5月20日

12、，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)D:張量的點積張量點積 兩個張量的點積是先并再縮,如(2.24)雙點積 兩個張量的點積是先并再縮二次(2.25)第31頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)E:張量的叉積張量叉積是矢量叉積的推廣,如(2.26)兩個二階張量的叉積第32頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)F:張量的商法則設(shè)有 個數(shù) ,對任意q階張量 ,按下式計算總得一個p階張量,則 必為一個(p+q)階張量證:為簡單,取p=q=2因C,B為張量,故(a)(b)(c)第33

13、頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-3張量代數(shù)則四階張量結(jié)論:設(shè)有 個數(shù) ,對任意m階張量 ,定義若為n+m階張量,則 必為n階張量第34頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-4二階張量2-4二階張量二階張量T 仿射量,線性變換v,u為矢量,用矩陣表示則A,B為二階張量則A:二階張量的矩陣表示(2.27)(2.28)第35頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-4二階張量B:二階張量的行列式(2.29)二階張量的行列式與坐標(biāo)無關(guān),是不變量.與單位矩陣I對應(yīng)的張量叫單位張

14、量I單位張量I與除標(biāo)量外的任意張量B的點積仍為B單位矩陣I(2.30)第36頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-4二階張量C:二階張量的逆與轉(zhuǎn)置若T,對B有:TB=BT=I,則T可逆,B=T-1為逆張量充要條件:T的行列式不為零對定義B為A的轉(zhuǎn)置張量轉(zhuǎn)置張量的運(yùn)算性質(zhì):A,B是二階張量,u,v是任意矢量(2.31)(2.32)(2.33)第37頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-4二階張量逆張量運(yùn)算性質(zhì): A,B是二階張量(2.35)(2.34)(2.36)(2.37)D:二階張量的對稱與反對稱若則A是對稱

15、二階張量若即 則A是反對稱二階張量任意一個二階張量T可表示成一個對稱張量S和一個反對稱張量W之和(2.38)(張量的加法分解)第38頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-4二階張量(2.39)(2.40)對任一反對稱張量W,必存在唯一一個矢量,使得(2.41)對任意矢量v成立因式(2.41)成立為對應(yīng)于反對稱張量W的軸向矢量.第39頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-4二階張量(2.42)V任意,則上式乘enij ,則利用等式(2.12)即(2.43)上二式說明反對稱張量和其軸向矢量是一一對應(yīng)的(2.12)第

16、40頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示2-5對稱二階張量的譜表示某二階對稱張量S,若存在一個數(shù)和單位矢量a,使得(2.44a)成立,則為張量S的特征值(主值),a為張量S對應(yīng)特征值的特征矢量(主方向).根據(jù)商法則, 為標(biāo)量.單位矢量a(2.44b)(2.45)(2.46a)展開第41頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示其中(2.46b)(2.47)分別為S的第一、第二和第三不變量張量S的跡式(2.46)為S的特征方程上式展開與(2.46b)比較第42頁，共72頁

17、，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示(2.48)式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b)求出特征矢量特征值和特征矢量的性質(zhì)1.互不相等的特征值對應(yīng)的特征矢量相互垂直2.三個特征值都是實數(shù)證性質(zhì)1.特征值對應(yīng)特征矢量a和b(2.44a)第43頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示證性質(zhì)2.是S的任一特征值，對應(yīng)特征矢量a共軛復(fù)數(shù)為實數(shù)規(guī)定張量S的譜第44頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示譜定理：

18、設(shè)S是一個對稱二階張量,則必定存在由其特征矢量構(gòu)成的一組單位正交基 ,和ei對應(yīng)的特征值 構(gòu)成S的譜,且有(2.49)反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正交的單位矢量,則 和ei分別是S的特征值和對應(yīng)的特征矢量證(1)，三個特征值互不相等， 對應(yīng)的ei互相垂直以ei為基矢量，則第45頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示則譜分解式（2.49）成立(2),二個特征值相等,另一個不同，設(shè)取則是相互垂直的右手系解上兩式得由(2.48),(2.47)第46頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第

19、二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示得則(2.50)由得e3也是對應(yīng)于2的特征向量設(shè)則和e1垂直的任何方向都是S的對應(yīng)于2的主方向.e2可取與e1垂直的任一單位矢量(3),三個特征值相等第47頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示(3),三個特征值相等取e1與1對應(yīng),取與e1垂直的e2,再取e3= e1e2則是相互垂直的右手系解得由(2.48),(2.47)解上兩式得得顯然(2.51)第48頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示即 都是S的特征矢量設(shè)任一矢量有

20、這表明任一方向都是S的主方向.任取三個相互垂直的單位矢量 作為基矢量,式(2.49)成立第49頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示重要結(jié)論：證:由n得基矢量(c)(d)由(c)和(d),去n1得設(shè)S是二階對稱張量, 是S的譜, 是和譜對應(yīng)的三個相互正交的特征矢量,n是任意單位矢量,則函數(shù) 的最小值為 ,且 ,f(n)的最大值為 ,且 .第50頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-5對稱二階張量的譜表示(e)(f)由(e)得f取最大值由(f)得f取最小值由(c)和(d),去n3得第51頁，

21、共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析2-6張量分析A:標(biāo)量的矢量函數(shù)一個張量F依賴于另一張量T而變化矢量u是t的函數(shù),ui也是t的函數(shù),如ui可導(dǎo),則矢量u對t的導(dǎo)數(shù)為:(2.53)(2.52b)第52頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析B:矢量的標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量f是矢量u的函數(shù)即若f可連續(xù)偏導(dǎo),則(2.54)f對u的導(dǎo)數(shù)是一個矢量(2.55)第53頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析C:矢量的矢量函數(shù)矢量u是矢量v的函數(shù)即若ui的偏導(dǎo)連續(xù).

22、則(2.56a)(2.56b)(2.57)稱為u對v的導(dǎo)數(shù),是一個二階張量第54頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析若標(biāo)量f是二階張量Tij的函數(shù),即D:二階張量的標(biāo)量函數(shù)若f對二階張量Tij的偏導(dǎo)連續(xù),則(2.58)(2.59)f相對于T的導(dǎo)數(shù),二階張量第55頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析(2.60)若 是定義在空間區(qū)域的張量, 是一個張量場,則則 對坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)記為(二階張量)則 的導(dǎo)數(shù)和微分記為(2.61)(2.62)第56頁，共72頁，2022年，5月20日

23、，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析E:梯度、散度和旋度Hamilton 算子(2.63)則 的導(dǎo)數(shù)和微分改寫為(2.64)(2.65)右梯度同樣定義左梯度(2.66)第57頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析顯然(2.67)若 是一個標(biāo)量(2.68)標(biāo)量場的梯度若 是一個矢量是二個二階張量，若 是一個二階張量第58頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析若 是一個矢量，其div 散度定義為(2.69)矢量的散度為一標(biāo)量場若 是一個二階張量，其左右散度分別定義為二階張量的左

24、右散度為矢量若 是一個二階對稱張量，第59頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析矢量u的旋度定義設(shè)u是矢量場,(2.70)是反對稱張量則w的軸向矢量為第60頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-6張量分析Laplace算子(2.71)(2.72)對一個n階張量對一個標(biāo)量(2.73)若則是調(diào)和函數(shù)第61頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-7積分定理2-7積分定理在數(shù)學(xué)分析中,存在如下等式(2.74)式中,V表示空間的某一區(qū)域,S這一區(qū)域的表面,n=niei是S

25、的外法線單位矢量, 是V中具有連續(xù)偏導(dǎo)的場函數(shù)例:矢量令(2.75)令上式的i=j,得高奧公式(2.76)第62頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-7積分定理例:二階張量令(2.77)規(guī)律:面積分中的被積函數(shù)有因子ni,去掉ni,被積函數(shù)的其余部分對xi求偏導(dǎo)就得體積分中的被積分中函數(shù)例:(2.78)V表示空間的某一區(qū)域,S這一區(qū)域的表面,n=niei是S的外法線單位矢量, 是V中任意階的光滑張量場“。”表示并積、點積、叉積等任何一種運(yùn)算，則第63頁，共72頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三第二章 張量基礎(chǔ)知識2-7積分定理(2.79)(2.80)例:二階張量令“。”取點積(2.79)為(2.77)直接記法以上積分對二維情況也成立定理是定義在區(qū)域V中的一個連續(xù)函數(shù)，D是V的任意一個子區(qū)域，下式成立的充要條件是第64頁，共72頁，2022年，