在數(shù)學(xué)教學(xué)中從點(diǎn)線面三維角度創(chuàng)新理解向量

1、在數(shù)學(xué)教學(xué)中從點(diǎn)線;三維角度創(chuàng)新理解向量摘 要：為幫助學(xué)生深入理解向量蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，教師可從幾何空間出發(fā)，分三個(gè)部分講授向量概念。從 數(shù)軸出發(fā)，講授數(shù)軸發(fā)展史，引導(dǎo)學(xué)生從多維空間中的數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）視角理解向量。從平行線出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生 學(xué)習(xí)平行向量和全等向量。從封閉回路出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用封閉回路尋找向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)。從幾何點(diǎn)線 面三維角度理解向量概念，有助于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)向量相關(guān)定理、公式與法則。關(guān)鍵詞：向量概念;幾何空間；數(shù)軸；平行線；封閉回路Innovative Understanding of Vector in Mathematics Teaching fromThree 一 Dimens

2、ional Perspective of Point , Line and PlaneAbstract: In order to help students deeply understand the mathematical ideas contained in vector, teachers can teach the concept of vector in three parts from the perspective of geometric space. Starting from the number axis, teach the development history o

3、f the number axis, and guide students to understand vectors from the perspective of number pairs ( coordinates) in multi 一 dimensional space. Starting from parallel lines, guide students to learn parallel vectors and congruent vectors. Starting from the closed loop ,guide students to use the closed

4、loop to find the starting point and end point of vector. Understanding the concept of vector from the three 一 dimensional perspective of geometric points,lines and surfaces is helpful for students to learn the related theorems,formulas and rules of vector.Key words： vector concept; geometric space;

5、number axis; parallel line; closed loopo引言在數(shù)學(xué)中，向量指既有大小又有方向且遵循平 行四邊形法則的量10目前，國(guó)內(nèi)對(duì)向量概念的教 學(xué)研究主要體現(xiàn)在物理學(xué)科，而從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)講 授向量概念，其研究尚處于起步階段。呂松濤指 出，如果教師任意由物理模型推導(dǎo)向量概念，學(xué)生則 難以理解向量的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，為此主張講授向量的幾 何內(nèi)涵。吳莉娜等認(rèn)為教師可以借鑒數(shù)形結(jié)合 思想從數(shù)軸坐標(biāo)來(lái)考察向量。范世祥也提出通過(guò) 類比數(shù)量、集合等數(shù)學(xué)對(duì)象研究思路來(lái)獲取研究向 量概念的新思路。熊翼提出用幾何圖形中兩直 線平行類比得到共線向量。國(guó)外學(xué)者傾向于從幾何 開(kāi)始研究向量，即從數(shù)軸上

6、的點(diǎn)、歐幾里得二維空間 數(shù)對(duì)、歐幾里得三維空間數(shù)對(duì)開(kāi)始理解向量?？?-P -西蒙等6170認(rèn)為應(yīng)從空間中的坐標(biāo)、點(diǎn)與位移 等出發(fā)認(rèn)識(shí)向量。此觀點(diǎn)雖然涉及向量的數(shù)學(xué)本 質(zhì)，但不全面。完整的向量概念應(yīng)包括點(diǎn)、線、面三 方面，這是初等幾何中最基本的概念。據(jù)此,在數(shù)學(xué) 教學(xué)中，教師應(yīng)從幾何點(diǎn)、線、面出發(fā),將向量概念分 解為數(shù)軸、平行線、封閉回路三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行講授，引 導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)創(chuàng)新理解向量概念。與物理 學(xué)相關(guān)概念相比，學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、面更加熟悉，更能體 會(huì)到向量的數(shù)學(xué)本質(zhì)。1從數(shù)軸理解向量概念數(shù)軸的發(fā)展史也是向量的發(fā)展史，數(shù)軸與向量 密切相關(guān)，從數(shù)軸理解向量一般較為容易。教師可 運(yùn)用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)

7、生理解向量概念。1.1數(shù)軸的發(fā)展簡(jiǎn)史從幾何考察,最簡(jiǎn)單的幾何體就是點(diǎn)與線，因?yàn)?一條直線由無(wú)數(shù)點(diǎn)組成，將抽象的數(shù)與直線相結(jié)合， 就能通過(guò)直線上點(diǎn)的變化來(lái)反映數(shù)的變化。在早期 生活中，人們根據(jù)在數(shù)軸上標(biāo)明的不同數(shù)字來(lái)比較 不同物體的大小、長(zhǎng)短、高低。數(shù)軸上以原點(diǎn)為中 心，分為正數(shù)與負(fù)數(shù)兩個(gè)方向，從原點(diǎn)開(kāi)始到特定的 實(shí)數(shù)，兩點(diǎn)之間既有方向，又有距離。數(shù)軸也稱為歐 幾里得一維空間，所謂一維，即點(diǎn)代表實(shí)數(shù),所有的 點(diǎn)都在一條直線上。由于商業(yè)、航海等社會(huì)發(fā)展需要,數(shù)學(xué)計(jì)算開(kāi)始 由靜止轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)。為研究運(yùn)動(dòng)變化,人們發(fā)明了函 數(shù)，其中一個(gè)量變化將導(dǎo)致其他量發(fā)生相應(yīng)變化。 描述這種運(yùn)動(dòng)關(guān)系最簡(jiǎn)單的函數(shù)是二元函

8、數(shù)，其將 輸入量與輸出量組合在一起，形成數(shù)對(duì)（坐標(biāo)），寫 ）（X,O）&笛卡爾獨(dú)創(chuàng)性地設(shè)計(jì)了兩條互相垂直 的數(shù)軸來(lái)表示數(shù)對(duì)（坐標(biāo)），即：X軸、O軸。由于X 軸、O軸構(gòu)成一平面，故學(xué)界稱以上數(shù)軸為笛卡爾平 面、笛卡爾坐標(biāo)軸、歐幾里得二維空間。在笛卡爾平 面中,兩軸相交點(diǎn)為原點(diǎn)。在坐標(biāo)軸上,任意點(diǎn)P可 表示為特定數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）P（a,b），可通過(guò)P（a,b）作 垂線確定點(diǎn)P，反之亦然。隨著幾何研究從平面發(fā)展到立體階段,為描述 立體空間,類似笛卡爾平面，可用三條互相垂直的數(shù) 軸來(lái)構(gòu)造歐幾里得三維空間，即：X軸、O軸、Q軸。 目前在紙上最多能標(biāo)明三維空間的點(diǎn),對(duì)于更高維 度空間，可用/來(lái)描述。在數(shù)軸上,

9、人們用/表示 一維空間;在坐標(biāo)軸上，用/表示二維空間;在空間 中，用/表示三維空間。據(jù)此，歐幾里得/表示歐 幾里得+維空間，/描述了 +維空間中的有序數(shù)組 （=1 ,=!，=+） &1.2數(shù)軸與向量從數(shù)軸考察,向量就是數(shù)對(duì)間位移的路徑6017（& 數(shù)對(duì)（1,2）表示從原點(diǎn)出發(fā)，;X軸移動(dòng)1單位，再 沿O軸移動(dòng)2單位，從空間數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）運(yùn)動(dòng)軌跡觀 察%向量就是數(shù)對(duì)間位移的路徑&在數(shù)學(xué)中%向量包 含兩個(gè)點(diǎn)，可用P#表示。由于多數(shù)教師未能強(qiáng)調(diào)向 量必須是兩個(gè)點(diǎn),故學(xué)生容易對(duì)向量產(chǎn)生誤解，認(rèn)為 向量只是一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)坐標(biāo)。據(jù)此，應(yīng)該用空間的兩 點(diǎn)來(lái)表示向量。在+維空間中,如果點(diǎn)P為（=1 ,=2 , ,

10、=+），點(diǎn)）為（b1 ,b2，:,b+），則向量AB的正確寫 法為 AB = （ =1 ,=2 ,=+） ,（ b1 ,b2，,b+） & 從多 維（+維）空間考察向量，+維空間包含+維有序數(shù) 組，假設(shè)兩個(gè)有序數(shù)組構(gòu)成兩個(gè)數(shù)對(duì)坐標(biāo)），則向 量是從某一數(shù)對(duì)坐標(biāo)）運(yùn)動(dòng)到另一數(shù)對(duì)坐標(biāo)）的 有向線段&2從平行線理解向量概念教師可運(yùn)用初等幾何中的平行線、共線線段、成 比例線段等知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理解平行向量、全等向量 等概念&2.1平行線與平行向量在同一平面中，不相交的兩條直線為平行線。 在幾何空間中%向量可用有向線段表示%方向相同或 者相反的一組向量為平行向量。從向量數(shù)對(duì)（坐 標(biāo)）入手，教師可構(gòu)造一組平行

11、向量，引導(dǎo)學(xué)生理解 該組平行向量的方向、斜率、長(zhǎng)度等特點(diǎn)。假設(shè)0A =（0,0） ,（ 1,0） ,0# = （ 1 , 1） , （ 2,1），則該 組向量所在線段互相平行。類比平行線段，如果一 組向量方向相同或者相反，且在空間不相交,則其為 一組平行向量,用公J描述為二AB = ! CD（ 1）在式（1）中，!為實(shí)數(shù)。如果一組平行向量從 起點(diǎn)至終點(diǎn)方向一致,且長(zhǎng)度相等，則式（1）中! 為1 &如果該組平行向量方向相反，則!為-1 & 特殊情況下,如果一組向量在一條直線上，則其為一 組共線向量。共線向量是特殊的平行向量，也可用 式（1）描述&此時(shí),教師可運(yùn)用平行向量引導(dǎo)學(xué)生理解向量 是有方向

12、的線段的含義。如果將非零向量P#（起 點(diǎn)與終點(diǎn)不重合的向量）視為有向線段，則一定可 構(gòu)造另一向量CD與之平行,可以用CD表示AB，用 公式描述為：! CD =AB（ 2）在式（2）中，！為實(shí)數(shù)且CD為非零向量。當(dāng)學(xué)生 理解如何用公式表示平行向量后，教師請(qǐng)學(xué)生描述如 何移動(dòng)EF，使之與0A重合,以便學(xué)習(xí)全等向量。2.2平行向量與全等向量教師可運(yùn)用全等三角形、全等線段知識(shí)引導(dǎo)學(xué) 生學(xué)習(xí)全等向量。如果兩條線段重合，則其為一組 全等線段。如果兩個(gè)三角形能重合,則其為一組全 等三角形。以此類推，如果向量AB、矛能重合，則 其為一組全等向量。教師應(yīng)說(shuō)明一組全等向量方 向、長(zhǎng)度完全一致，其也是一組特殊的平行

13、向量。根 據(jù)平行向量知識(shí)，要證明兩條線段平行、共線，或者 其長(zhǎng)度比為一固定數(shù)值，可設(shè)以上線段為AB、R#， 證明其為一組平行向量。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)平行向量、 共線向量、全等向量等概念，可深入理解向量概念中 方向、長(zhǎng)度等含義。當(dāng)學(xué)生能用公式描述一組全等向量后，教師可 引導(dǎo)學(xué)生變換數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）來(lái)平行移動(dòng)向量& A#、 CD為一組全等向量，可平行移動(dòng)A#使之與R#重 合，反之亦然。據(jù)此，可平行移動(dòng)任意非零向量至指 定起點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）。為方便計(jì)算，可將空間中向量 起點(diǎn)平行移動(dòng)至原點(diǎn)遇設(shè)空間一組全等向量0# =（0,0），（ 1，0） ，EF = （ 1，1），（ 2，1），則可 運(yùn)用分軸數(shù)量變換法平行移動(dòng)

14、E#，使其起點(diǎn)坐標(biāo) （數(shù)對(duì)）變?yōu)樵c(diǎn)并與0#重合。一學(xué)生應(yīng)首先學(xué)習(xí)分軸數(shù)量變換法原理。針對(duì) EF = （ 1，1），（ 2，1），通過(guò)代數(shù)運(yùn)算使數(shù)對(duì)（坐 標(biāo)）（1，1）在X軸、O軸的數(shù)值均變?yōu)?，并保持 E#方向不變,相關(guān)公式為：E# = /（ 1,1） ,（ 2,1） 0=/（ 1 - 1,1 - 1） ,（2 - 1,1 - 1） 0=/（ 0,0） ,（1,0） 0 = 0#（ 3）從數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）運(yùn)動(dòng)軌跡觀察以上過(guò)程,首先將 0#平行移動(dòng)置于0#同起點(diǎn)上方，再下移與0#重 合。如果要平行移動(dòng)某向量AB，使其起點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐 標(biāo)）變換為原，點(diǎn)可將起點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）數(shù)值均變換 為0 ,并保持AB方

15、向不變，形成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的新 向量CD，且AB與CD為一組全等向量。2.3多維空間中的平行向量在歐幾里得二維空間中,如果學(xué)生能將向量平 行移動(dòng)至指定起點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)），則教師可引導(dǎo)其在 多維（n）空間中完成同樣任務(wù)。在i維空間中， 教師設(shè)向量AB = （ 4，=2，：,=“），（4i，版,如）， 如果學(xué)生將其起點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）平行移動(dòng)至原點(diǎn)，則 新向量 0B = /（ 0,0 ,：,0） ,（ bl - al ,奶-=2，:4 -an） 0 &目前多數(shù)數(shù)學(xué)教材中僅用一個(gè)數(shù)對(duì)（坐 標(biāo)）定義向量，如 AB = （ b - =1 ,b2 - =2 ,：,bn - an）,此寫法省略了向量起點(diǎn)，僅保留了向

16、量終點(diǎn)。 因教材未詳細(xì)說(shuō)明以上過(guò)程，故多數(shù)學(xué)生一直認(rèn)為 向量就是一個(gè)點(diǎn)，難以理解平行向量、全等向量等相 關(guān)概念&學(xué)生可運(yùn)用平行向量知識(shí)快速證明以下命題: “設(shè)=（Xl 山）,（& （ %2，C2），則+ （，C2 - I2b = 0。”/刃學(xué)生可先證明該命題的充分條件。原 命題中，可將、（視為一組平行向量，因該組向量 均以原點(diǎn)為起點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）,由此可推理得到、（ 其實(shí)為一組共線向量，進(jìn)而推理得到、（的所有起 點(diǎn)與終點(diǎn)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）構(gòu)成相似三角形。）相似三 角形對(duì)應(yīng)邊成比例法則，可寫出*1 : *2 = C1 : C2，整 理得出IIC2 -*2C1 = 0 &可見(jiàn)，通過(guò)平行線深入理 解向量后，

17、學(xué)生可提高解題效率。3從封閉回路理解向量概念向量概念中起點(diǎn)、終點(diǎn)、長(zhǎng)度均說(shuō)明向量是封閉 的。雖然封閉回路是向量概念中極具特色的內(nèi)容， 但是多數(shù)教材未能詳細(xì)說(shuō)明封閉回路的含義，也未 能詳細(xì)解釋其與向量路徑、向量長(zhǎng)度的關(guān)系,這使多 數(shù)學(xué)生難以理解向量代數(shù)運(yùn)算法則、向量長(zhǎng)度計(jì)算 公式等知識(shí)。教師可運(yùn)用平面三角形引導(dǎo)學(xué)生理解 封閉回路的含義&3.1封閉回路的含義鄭宇鄰囪指出，在平面封閉圖形中，首尾相接 的向量形成封閉回路。向量從起點(diǎn)出發(fā)，無(wú)論其如 何運(yùn)動(dòng)，只要向量最終回到起點(diǎn)，向量就為0 &如果 向量從起點(diǎn)出發(fā)，沿直線返回至起點(diǎn)，則向量為0 & 教師可將以上內(nèi)容概括為向量的封閉回路，這是向 量概念中最

18、獨(dú)特的地方。為深入理解封閉回路%教師可運(yùn)用平面三角形進(jìn) 行說(shuō)明。以AABC為例，向量從A點(diǎn)出發(fā)，;AB、 B#、C#運(yùn)動(dòng)回a點(diǎn)，則該向量為0，用公式描述為：AB +BC + C# = 0（4）此時(shí)，AABC形成封閉回路，A#與BC組成折 如果）ABC為圓弧，則向量依然為0 & 當(dāng)學(xué)生理解式（4）后，假設(shè)AABC中，向量從A 點(diǎn)出發(fā)，;P#運(yùn)動(dòng)至BC，則向量終點(diǎn)為C點(diǎn)，用公 式描述為：AB +BC = AC（ 5）只要找到向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，就可以構(gòu)造向量。 式（5）中向量的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為C ,故新向量為 AC &此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量長(zhǎng)度概念。向 量長(zhǎng)度是指連接向量起點(diǎn)與終點(diǎn)線段的長(zhǎng)度，

19、可用 符號(hào)表示為|A#| ,以區(qū)別于向量A# &當(dāng)學(xué)生掌握向量長(zhǎng)度概念后，教師可用AB） BC）A#|描述式（5）中所有向量的長(zhǎng)度。以上 三個(gè)向量均為非零向量，故其長(zhǎng)度均為正數(shù)，用公式 描述為：A#|+ BC = X I 芯，x 0（ 6）教師請(qǐng)學(xué)生比較式（5）與式（6）&式（5）旨 在確定新向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)；式（6）旨在計(jì)算從起 點(diǎn)至終點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，向量運(yùn)動(dòng)軌跡所經(jīng)過(guò)的路 程&向量的路徑是向量從起點(diǎn)出發(fā),順著封閉回路 線路運(yùn)動(dòng)的軌跡&式（5）中向量的運(yùn)動(dòng)軌跡為 AB）BC，其運(yùn)動(dòng)軌跡的路程之和為式（6）中的 AB） BC & 學(xué)生將 |!#|、|、| AC 視為AABC各邊邊長(zhǎng),可推理得到

20、式（6）中的不等式。3.2封閉回路與向量的起止點(diǎn)當(dāng)學(xué)生能準(zhǔn)確區(qū)分向量長(zhǎng)度與路徑后,教師可 引導(dǎo)學(xué)生平行移動(dòng)向量，主動(dòng)構(gòu)建平面三角形封閉 回路，求解不同起止點(diǎn)向量路徑與長(zhǎng)度問(wèn)題。T在V幾里得二維空間中， 為原點(diǎn)，向量經(jīng)過(guò) 0#、四路徑,請(qǐng)學(xué)生描述新向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。 0#）0#有相同起點(diǎn)0，但其終點(diǎn)卻不相同。學(xué)生 可平行移動(dòng)其中某個(gè)向量構(gòu)建平面三角形封閉回路 后,尋找經(jīng)過(guò)以上路徑嶂的新終點(diǎn)以構(gòu)建新向量& 例如，可通過(guò)平行移動(dòng)0#，使0#的起點(diǎn)0與0A 終點(diǎn)A重合，構(gòu)成AA0B &在）A0B中，0為起點(diǎn)， B為終點(diǎn)，0#為新向量& 0#的長(zhǎng)度為|0#| , 0# 經(jīng)過(guò)路徑的路程為與|A#| ,用公式描述為： 0# + A# = 0B（7）當(dāng)學(xué)生能理解式（7）后，以此類推，在歐幾里 得二維空間中，0為原點(diǎn)，向量