彈性力學(xué)圓形薄板

1、彈性力學(xué)圓形薄板第1頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三主要內(nèi)容：一、有關(guān)概念及假定四、Mathcad解題應(yīng)用三、圓形薄板軸對稱彎曲問題的求解二、彈性曲面的基本公式第2頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三一、基本概念及假設(shè)1、基本概念中面平分板厚度t的平面簡稱為中面。薄板板的厚度t遠(yuǎn)小于中面的最小尺寸b，這樣的板稱為薄板。第3頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 2、假設(shè) 薄板的小撓度彎曲理論，是以三個計算假設(shè)為基礎(chǔ)的。 （1）、垂直于中面方向的正應(yīng)變可以不計。即也就是說，在中面的任意一根法線上，薄板全厚度內(nèi)所有各點都具有相同的位移，

2、其值等于撓度。由幾何方程可得與梁的彎曲相似，在梁的任意一橫截面上，所有各點都具有相同的位移，其值等于軸線的撓度。第4頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三（2）、應(yīng)力分量 和 遠(yuǎn)小于其余三個應(yīng)力分量，因而是次要的，它們所引起的形變可以不計。但它們本身是維持平衡所必需的，不能不計。所以有： 這里與梁的彎曲相同之處，也有不同之處，梁的彎曲我們只考慮橫截面，板的彎曲有兩個方向，要考慮兩個橫截面上的應(yīng)力。第5頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 結(jié)合第一假設(shè)，可見中面的法線在薄板彎曲時保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。 由于不計 所引起的形變，所以其物理方程與薄

3、板平面問題中的物理方程是相同的。第6頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 （3）、薄板中面內(nèi)的各點都沒有平行于中面的位移，即：也就是說，中面的任意一部分，雖然彎曲成彈性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形狀卻保持不變。所以由幾何方程可以得出：第7頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三二、彈性曲面的基本公式1、彈性曲面的微分方程。薄板的小撓度問題是按位移求解的，其基本未知函數(shù)是薄板的撓度。因此把其它所有物理量都用來表示，即可得彈性曲面的微分方程。其中第8頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三由假設(shè)可得即積分得下面對彈性曲面的微分方程進(jìn)行推導(dǎo)

4、。第9頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三根據(jù)薄板中面內(nèi)的各點都沒有平行于中面的位移即：可得第10頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三由幾何方程可得由物理方程可得第11頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三另由平衡方程可得即積分得x,y)第12頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三根據(jù)薄板上下面內(nèi)的邊界條件：可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：第13頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三另由平衡方程可得即積分得根據(jù)薄板下面內(nèi)的邊界條件：可求得F3(x,y), 最后得到：第14頁，共4

5、7頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三根據(jù)薄板上面內(nèi)的邊界條件：最后得到：可記為其中代入第15頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三截面上的內(nèi)力：彎矩可得同樣可得MyMx由第16頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三由可得截面上的內(nèi)力：扭矩第17頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三可得由截面上的內(nèi)力：剪力第18頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三同樣可得Qy,記可得第19頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三如果用截面內(nèi)力表示截面上的應(yīng)力，可得第20頁，共47頁，2022年，5月20日，9點

6、34分，星期三 截面上的最大應(yīng)力，正應(yīng)力發(fā)生在板的上下面上，切應(yīng)力發(fā)生在板的中面上，其值為第21頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 3、邊界條件 邊界上的應(yīng)力邊界條件，一般難于精確滿足，一般只要求滿足邊界內(nèi)力條件。 情況一：以矩形薄板為例，說明各種邊界處的邊界條件。假設(shè)OA邊是固支邊界， 則邊界處的撓度和曲面的法向斜率等于零。即第22頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 情況二：OC具有簡支邊界。則邊界處的撓度和彎矩等于零。即：后者可表示為0由于沿邊界的撓度為常值0，故沿x后的導(dǎo)數(shù)恒為零，邊界條件又可表示為0第23頁，共47頁，2022年，5月20日，

7、9點34分，星期三 情況三：假設(shè)薄板具有簡支邊界。邊界上具有力矩載荷M。這時，邊界處的撓度等于零，而彎矩等于力矩載荷。即：第24頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 情況四：假設(shè)薄板具有自由邊界。邊界上具有力矩載荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。這時，彎矩等于邊界力矩載荷, 扭矩Mxy應(yīng)轉(zhuǎn)換為等效剪力與原有分布剪力Qx或Qy 合并為一個條件，分析如下。第25頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三第26頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三第27頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三邊界上的分布扭矩就變換為等效的分

8、布剪力邊界上的總的分布剪力為除此之外，在A和B 還有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）第28頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三2、板彎曲的解題思路曲面微分方程邊界條件撓度應(yīng)力分量方程應(yīng)力分量方程第29頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三三、圓形薄板彎曲問題1求解圓形薄板彎曲問題時，用極坐標(biāo)比較方便。把撓度和橫向載荷都看作是極坐標(biāo)和的函數(shù)。即：=(, )，q=q(, )進(jìn)行坐標(biāo)變換可得：第30頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三則彈性曲面的微分方程可以變換為：D為板的抗彎剛度第31頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，

9、星期三 2、如果圓形薄板的邊界是繞z軸對稱的，它所受的橫向載荷也是繞z軸對稱的，q只是的函數(shù)，則該薄板的彈性曲面也是繞z軸對稱的，即只是的函數(shù)，這時，彈性曲面的微分方程將簡化為：這個常微分方程的解答是：第32頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 此時，從板中取出一單元體，則單元體單位長度上的彎矩和扭矩以及板中應(yīng)力分別為：第33頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三應(yīng)力分別為：第34頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 在彈性曲面微分方程解答中的1是任意一個特解，可以根據(jù)載荷的分布按照彈性曲面微分方程的要求來選擇；A、B、C、K任意常數(shù)，

10、由邊界條件來決定。 對于均布載荷q，取特解1=N 4 代入微分方程，可解得N=q/64D。 得特解 1=q 4/64D所以軸對稱載荷的圓板彎曲的一般解為：（解題思路A、B、C、K）第35頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 3、典型問題的邊界分析 對于無孔圓板受均布載荷的問題 由于薄板中心無孔，所以B和C應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹恪７駝t板中心（R=0）處內(nèi)力及撓度將無限大（參考前內(nèi)力公式）。而A、K 則由邊界條件求解。第36頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 情況一：假設(shè)半徑為a的薄板具有固支邊界。 則邊界處的撓度和曲面的法向斜率等于零。即將二式聯(lián)立解方程組，可得A，

11、K。第37頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 情況二：假設(shè)半徑為a的薄板具有簡支邊界。則邊界處的撓度和彎矩等于零。即：聯(lián)立二式解方程組，可得A，K。第38頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三聯(lián)立二式解方程組，可得A，K。 情況三：假設(shè)半徑為a的薄板具有簡支邊界。但無橫向載荷q，邊界上具有均布力矩載荷M。這時，q等于零，因而特解可以取零。則邊界處的撓度等于零，而彎矩等于均布力矩載荷。即：第39頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 對于圓環(huán)形薄板。 條件：內(nèi)外半徑分別為a，b的圓環(huán)薄板，內(nèi)邊界簡支，外邊界自由。薄板不受均布橫向載荷q，邊

12、界上受均布力矩載荷M。第40頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 由于薄板不受橫向載荷，所以特解可取零。內(nèi)外兩邊界處有四個邊界條件。內(nèi)邊界處撓度和彎矩等于零，外邊界處彎矩等于均布力矩載荷M，總剪力等于零。即第41頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三其中，扭矩M可以變換成等效剪力聯(lián)立四式解方程組，可得A，B，C，K。與橫向剪力Qr合并而成總的剪力即：第42頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 對于載荷徑向不連續(xù)的圓板 若圓板所受的載荷沿徑向不連續(xù)，有間斷，則必需將該板劃分為N個區(qū)段，每一區(qū)段內(nèi)載荷沿徑向連續(xù)。第43頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三 在每個區(qū)段內(nèi)寫出撓度的表達(dá)式，其特解項可根據(jù)載荷的分布特點選取。每個區(qū)段撓度表達(dá)式中都有四個待定常數(shù)，因此共有4N個待定常數(shù)，需要聯(lián)立4N個方程來求解。 因此，求解的關(guān)鍵還是在于尋求能夠列出4N個方程的條件。第44頁，共47頁，2022年，5月20日，9點34分，星期三小結(jié)對于無孔圓板：1、無論圓板中心處的情況如何，該處的撓度都不應(yīng)該無限大。由此可確定常數(shù)C等于零。2、圓板中心處的支承和載荷情況。如果中心處既無支座又無集中載荷，則該處的彎矩和剪力應(yīng)有限