彈性體的硬力和應(yīng)變力學(xué)

1、彈性體的硬力和應(yīng)變力學(xué)1第1頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變8.0彈性力學(xué)簡介 彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，也稱為彈性理論。它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域。彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過某一限度時，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當(dāng)作彈性體處理。2第2頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體

2、的應(yīng)力和應(yīng)變彈性力學(xué)的發(fā)展簡史 人類從很早時就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當(dāng)時人們還是不自覺的運用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學(xué)，是從17世紀(jì)開始的。彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過實踐，尤其是通過實驗來探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。英國的胡克和法國的馬略特于1680年分別獨立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。同時，數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動彈性力學(xué)進(jìn)入第二個時期。在這個階段除實驗外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來處理一些簡單構(gòu)件的力學(xué)問題。這些理論在后來

3、都被指出有或多或少的缺點，有些甚至是完全錯誤的。在17世紀(jì)末第二個時期開始時，人們主要研究粱的理論。到19世紀(jì)20年代法國的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)理論。柯西在18221828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量的概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運動(平衡)方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，打開了彈性力學(xué)向縱深發(fā)展的突破口。第三個時期是線性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展的時期。這一時期的主要標(biāo)志是彈性力學(xué)廣泛應(yīng)用于解決工程問題。同時在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計算方法。3第3頁，共16頁，

4、2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變18551858年間法國的圣維南發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，可以說是第三個時期的開始。在他的論文中，理論結(jié)果和實驗結(jié)果密切吻合，為彈性力學(xué)的正確性提供了有力的證據(jù)；1881年德國的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布；1898年德國的基爾施在計算圓孔附近的應(yīng)力分布時，發(fā)現(xiàn)了應(yīng)力集中。這些成就解釋了過去無法解釋的實驗現(xiàn)象，在提高機(jī)械、結(jié)構(gòu)等零件的設(shè)計水平方面起了重要作用，使彈性力學(xué)得到工程界的重視。在這個時期，彈性力學(xué)的一般理論也有很大的發(fā)展。一方面建立了各種關(guān)于能量的定理(原理)。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計

5、算、數(shù)值計算和其他計算方法，如著名的瑞利里茲法，為直接求解泛函極值問題開辟了道路，推動了力學(xué)、物理、工程中近似計算的蓬勃發(fā)展。從20世紀(jì)20年代起，彈性力學(xué)在發(fā)展經(jīng)典理論的同時，廣泛地探討了許多復(fù)雜的問題，出現(xiàn)了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線性板殼理論和非線性彈性力學(xué)，考慮溫度影響的熱彈性力學(xué)，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動彈性力學(xué)和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結(jié)構(gòu)彈性理論也開始建立起來。此外，還建立了彈性力學(xué)廣義變分原理。這些新領(lǐng)域的發(fā)展，豐富了彈性力學(xué)的內(nèi)容，促進(jìn)了有關(guān)工程技術(shù)的發(fā)展。4第4頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體

6、的應(yīng)力和應(yīng)變彈性力學(xué)的基本內(nèi)容 彈性力學(xué)所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時，只考慮經(jīng)過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴(kuò)展的情況。這里主要使用數(shù)學(xué)中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。求解一個彈性力學(xué)問題，就是設(shè)法確定彈性體中各點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力共15個函數(shù)。從理論上講，只有15個函數(shù)全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數(shù)，有時甚至只是物

7、體的某些部位的某幾個函數(shù)。所以常常用實驗和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，就可求解。5第5頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)體軸對稱變形等方面。在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。例如，把切應(yīng)力的成對性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學(xué)；把協(xié)調(diào)方程(保證物體變形后連續(xù)，各應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系)發(fā)展為非協(xié)調(diào)彈性力學(xué)；推廣胡克定律，除機(jī)械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構(gòu)方程。對于彈性體的某一點的本構(gòu)方程，除考慮該點本身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發(fā)展為非

8、局部彈性力學(xué)等。但是，由于課程所限，我們在以下幾節(jié)里僅對彈性體力學(xué)作簡單的介紹，為振動部分和波動部分作準(zhǔn)備。 6第6頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變8.1彈性體力學(xué)彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變簡介 彈性體有四種形變：拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。其實，最基本的形變只有兩種：拉伸壓縮和剪切形變；扭轉(zhuǎn)和彎曲可以看作是由兩種基本形變的組成。 彈性體的拉伸和壓縮形變 1. 正壓力（拉伸壓縮應(yīng)力） （1）其中， 沿作用力截面的法線方向。 例：如圖示， 7第7頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變2. 線應(yīng)變（相對伸長或

9、壓縮） 絕對伸長（或壓縮）與原長之比稱為相對伸長（或壓縮）。公式： （2）當(dāng) 時，為拉伸形變； 時，為壓縮形變，因而，它很好地反映形變程度。如直桿拉伸壓縮時，還產(chǎn)生橫向形變，則對應(yīng)的應(yīng)變(或形變)為：（3）其中：設(shè)想直桿橫截面是正方形每邊長為 ，橫向形變后為 。橫向形變和縱向形變之比為泊松系數(shù)：（4）8第8頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變3. 胡克定律 當(dāng)應(yīng)變較小時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比： （5）或（6）其中：Y 稱為楊氏模量，反映材料對于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。 設(shè)一縱波傳播中，t 時刻 x 處媒質(zhì)的變形情況， 表示所取媒質(zhì)的長度，x 處媒質(zhì)

10、的位移為 y(x) ， 處媒質(zhì)的位移為 ，因此 媒質(zhì)的應(yīng)變?yōu)椋?，取 ，即為 x 處媒質(zhì)的應(yīng)變：所以： （7）9第9頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變4. 拉伸或壓縮的形變勢能屬于形變物體本身所有 （8）同時有：彈性勢能密度，即單位體積中的彈性勢能： （9）10第10頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變8.2彈性體的剪切形變 一、剪切形變 當(dāng)物體受到力偶作用使物體的兩個平行截面間發(fā)生相對平行移動時的形變叫做剪切形變。例如：用剪刀剪斷物體前即發(fā)生這類形變。 二、剪應(yīng)力 （1）其中：S為假想截面ABC

11、D的面積，力F 在該面上均勻分布。 三、剪切形變特征：表現(xiàn)為平行截面間的相對滑移。如圖示： 切應(yīng)角若很小，則（2）11第11頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變四、剪切形變的胡克定律若形變在一定限度內(nèi)，剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變成正比： 其中，N 為剪切模量，反映材料抵抗剪切應(yīng)變的能力。（3）通過理論推導(dǎo)，對于各向同性的，均勻的彈性體，有：上式說明了：三個量之間只有兩個是獨立的。其中：Y 是楊氏模量，反映材料抵抗拉伸與壓縮的能力；N 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形變的能力； 是泊松系數(shù)，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。但幾個不同特性的量是有聯(lián)系的。12第1

12、2頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變同理，例如，在橫波中： 當(dāng) 時： 因此，13第13頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變五、剪切形變的彈性勢能密度（單位體積的彈性勢能）： （5）注意：切變只能在固體中產(chǎn)生，流體中不會產(chǎn)生。所以流體中只能傳播縱波，而固體中既能傳播縱波，也能傳播橫波。 14第14頁，共16頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變8.3梁的彎曲和桿的扭曲 一 、梁的彎曲 中性層：一根桿中處于中間的既不拉伸又不壓縮的層，如圖中的 層。 對于純梁彎曲形變有： 其中：R 和 k