淺談極限思想的滲透與培養(yǎng)

1、淺談極限思想的滲透與培養(yǎng) 摘要：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)(以下簡稱課標(biāo))指出:通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)由雙基變成四基。還指出:通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力由雙能變成四能。 關(guān)鍵詞：極限思想,滲透,培養(yǎng) 在課程設(shè)計(jì)中提出十個(gè)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展的核心概念，包括數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型能力、應(yīng)用

2、意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。這些新理念將給我們的教育帶來什么樣的變革與啟示?一系列的改變背后預(yù)示著哪些信息? 1透過課標(biāo)看當(dāng)下教學(xué)的導(dǎo)向與趨勢(shì) 新的課程設(shè)計(jì)以基本思想為主線，以操作、實(shí)踐活動(dòng)為主來積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以創(chuàng)新意識(shí)為核心，以聯(lián)系為途徑滲透在教學(xué)過程中，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維為價(jià)值追求。 課標(biāo)將九年的學(xué)習(xí)時(shí)間劃分為三個(gè)學(xué)段，第一、二學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有兩條主線:一是明線數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，寫在教材上;一是暗線數(shù)學(xué)思想方法，需要教師有意識(shí)地挖掘并在教學(xué)中予以滲透和落實(shí)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓。課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)的基本思想主要有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思

3、想和數(shù)學(xué)模型的思想。數(shù)學(xué)的基本思想派生出許多思想，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、極限思想等，教師在教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷操作過程、思考過程、概括過程、應(yīng)用過程，讓知識(shí)、能力、思想和經(jīng)驗(yàn)蘊(yùn)含其中。 2第一、二學(xué)段極限思想的特點(diǎn) 由于這個(gè)學(xué)段學(xué)生的年齡特點(diǎn)的限制，他們對(duì)具體的、數(shù)量有限的事物容易理解，對(duì)抽象的、數(shù)量無限的事物難以把握。但教師不能因難而退，不能無視極限思想方法的重要性，還應(yīng)該著眼于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展及終身發(fā)展。因此，我們?cè)诘谝?、二學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)，將極限思想的方法進(jìn)行適度的滲透和培養(yǎng)。作為教師，應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)采用分層滲透的辦法，切不可急功近利。 (1)從有限到無限，幫助學(xué)生

4、理解無限。 理解數(shù)的無限多; 理解形的無限延伸。 以上兩點(diǎn)是從數(shù)與形兩個(gè)不同方面體現(xiàn)了無限的觀念，但它并不是真正意義上的極限，然而，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是形成極限思想的基礎(chǔ)，離開無限談極限是沒有任何意義的。所以，不能因無限半極限而忽視對(duì)無限性的理解。 (2)無限護(hù)極限，幫助學(xué)生理解逼近。 由于這個(gè)學(xué)段學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，從無限人手，逐漸感悟什么是無限地逼近，逐步理解逼近是形成極限思想的另一個(gè)重要方面。 滲透極限思想，首先，要讓學(xué)生感知有限;其次，在有限認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)表象，結(jié)合想象讓學(xué)生體驗(yàn)無限;最后，在感受無限的過程中飛躍到感知極限，從而

5、感悟極限思想。 3在各個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中滲透極限思想 3. 1在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域滲透極限思想 數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)是這個(gè)學(xué)段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，占總教學(xué)比例的近6000，并且貫穿六年學(xué)習(xí)的始終，也是學(xué)生最先接觸、最易理解的內(nèi)容。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深人，對(duì)無限乃至極限會(huì)體會(huì)的越來越深刻。 數(shù)軸(數(shù)線)在北師大版教材中大量出現(xiàn)并且貫穿始終，對(duì)于數(shù)軸(數(shù)線)，從一年級(jí)認(rèn)識(shí)數(shù)開始就反復(fù)出現(xiàn)，隨著認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的加深，學(xué)生對(duì)它的認(rèn)識(shí)越來越豐富，有許多知識(shí)點(diǎn)會(huì)涉及數(shù)量無限多的情況。 如自然數(shù)是無限的;奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè);循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是無限的;商不變的性質(zhì):除法中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)(0除

6、外)，商不變。這里的相同的倍數(shù)可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，可以無限大，也可以無限小，結(jié)果是無限的。例題（略） 無論是哪種解決的方法，在這個(gè)過程中1被等分的份數(shù)逐漸增加，所得的分?jǐn)?shù)單位將逐步減小。分的份數(shù)逐漸增加，直到無數(shù)多份時(shí)，這便是一個(gè)無限的過程。在這無限的過程中，分的份數(shù)是無限多的，而所得的每份就是無窮小的分?jǐn)?shù)單位。不論怎么分都不能達(dá)到最小值，因此也就不存在最小的分?jǐn)?shù)單位。 數(shù)軸(線)使數(shù)與點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，揭示數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。數(shù)軸的數(shù)是分散的又是密集的，數(shù)軸的長度兩端無限延伸、數(shù)軸上的數(shù)是無限的、數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間可分成無限份、點(diǎn)與點(diǎn)之間的數(shù)是無限的 在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域滲透極限思想對(duì)

7、學(xué)生數(shù)感、符號(hào)感、運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)素養(yǎng)都會(huì)有很好的提升。同時(shí)也為初中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)軸、學(xué)習(xí)數(shù)軸的特性、數(shù)的拓展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 3. 2在空間與圖形領(lǐng)域滲透極限思想 莊子天下篇引用過一句話:一尺之捶，日取其半，萬世不竭。一尺之捶是一個(gè)有限的物體，但他卻可以無限地分割下去，這就是無限與有限的統(tǒng)一。圓的面積和圓柱體積公式的推導(dǎo)都是極好運(yùn)用極限思想的例子。 把一個(gè)圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成長方形。從平均分成4個(gè)、8個(gè)、到16個(gè)，再到32個(gè)、64個(gè)完全相同的小扇形所拼成的圖形就真的變成了長方形，因?yàn)檫呍絹碓街绷?。這個(gè)過程中從分的份數(shù)越來越多到這樣一直分下去采用了變曲為直化圓為方的極限分

8、割思路。通過有限想象無限，既使學(xué)生掌握了算理，又滲透了無限逼近的極限思想。 五年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)完梯形的面積或者在學(xué)習(xí)完圓的面積推導(dǎo)后，我們可以對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理，從而建立起知識(shí)的聯(lián)系。 區(qū)別于教科書以長方形為核心進(jìn)行推導(dǎo)的研究方法，這種以梯形為核心進(jìn)行梳理的主要手段就是借助極限的思想將公式進(jìn)行聯(lián)絡(luò)。利用極限思想拉動(dòng)上底到最小、最大得到三角形和平行四邊形，從而推導(dǎo)出相關(guān)的面積計(jì)算公式。幫助學(xué)生建立新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)(圖略1)。 此外，數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)設(shè)計(jì)讓學(xué)生嘗試動(dòng)手畫斐波那契螺旋線，將正方形作為輔助圖形，以它的邊長作為半徑畫弧線，依次旋轉(zhuǎn)地畫下去，并將每段弧聯(lián)結(jié)。螺旋線的長度隨著正方形邊長的增加而增加。

9、螺旋線間不相交，在紙張?jiān)试S的情況下，可以無限延伸下去。畫螺旋線不僅讓學(xué)生積累了操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且滲透了極限的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到螺旋線的無限延伸性。 空間與圖形領(lǐng)域有許多概念具有無限性，如直線、射線、角的邊、平行線的長度等它們都是可以無限延伸的。這些概念在現(xiàn)實(shí)生活中并不是真實(shí)存在的，它們只是存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結(jié)果。而這種想象又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必不可少的基礎(chǔ)能力。因此，通過極限思想的滲透在空間與圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力、空間想象力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促使學(xué)生的整體素養(yǎng)得到提升。 3. 3在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域滲透極限思想 隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字化時(shí)代的到來，人們?cè)絹碓叫枰c

10、數(shù)據(jù)打交道，用數(shù)據(jù)描述客觀世界中的現(xiàn)象。在課標(biāo)中，數(shù)據(jù)分析觀念已經(jīng)成為統(tǒng)計(jì)與概率的核心概念。由統(tǒng)計(jì)觀念到數(shù)據(jù)分析觀念點(diǎn)出統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析。通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，體會(huì)收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。 概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，大量的隨機(jī)現(xiàn)象表面上是無規(guī)律可循，在相同的條件下出現(xiàn)的結(jié)果是事先無法預(yù)料的，但當(dāng)我們大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果都會(huì)呈現(xiàn)出頻率的穩(wěn)定性。 在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)摸球游戲一課中，在袋中放紅球和黃球共10個(gè)，通過摸球猜測哪種球的數(shù)量多。要求學(xué)生摸20次，并且每摸5次根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行猜測結(jié)果，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)據(jù)的作用，體會(huì)摸球是一種隨機(jī)現(xiàn)象，是不可預(yù)測的。而用試驗(yàn)

11、方法推測結(jié)果會(huì)受數(shù)據(jù)的影響，可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，但當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多的時(shí)候，它會(huì)呈現(xiàn)出一種規(guī)律，這種規(guī)律會(huì)隨著數(shù)據(jù)的無限增大更趨于準(zhǔn)確。上課時(shí)出現(xiàn)這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，明明袋中的黃球和紅球數(shù)量同樣多，但摸了60次后出現(xiàn)摸到黃球25次、紅球35次的情況，這時(shí)教師問學(xué)生:(1)為什么摸的次數(shù)同樣多卻會(huì)出現(xiàn)這樣的數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)有問題嗎?2)如果再繼續(xù)摸球，你期待這組數(shù)字會(huì)是多少?學(xué)生回答。期待60次紅和60次黃;200次紅和200次黃。這說明學(xué)生對(duì)可能性、隨機(jī)性的認(rèn)識(shí)還是錯(cuò)誤的。這時(shí)教師給出一組數(shù)據(jù)讓學(xué)生觀察。 小資料:歷史上著名的數(shù)學(xué)家拋硬幣的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表1:略。 看到這組數(shù)據(jù)學(xué)生一方面感嘆科學(xué)家們認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯?/p>

12、態(tài)度，另一方面感受到:雖然拋硬幣的結(jié)果是有隨機(jī)性，但隨著數(shù)據(jù)的加大，再加大，當(dāng)達(dá)到無限大時(shí)，它是有規(guī)律的，而且大數(shù)據(jù)面前，人們判斷錯(cuò)誤的可能性大大降低，準(zhǔn)確率越來越高，但還是具有隨機(jī)性。 在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域滲透、培養(yǎng)學(xué)生的極限思想，有助于學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的提升。統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，更重要的是有助于學(xué)生形成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度。通過用數(shù)據(jù)說話，通過數(shù)據(jù)做出合理的推斷，是社會(huì)的需要，也是人生存的需要。 3. 4在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域滲透極限思想 課標(biāo)把實(shí)踐與綜合運(yùn)用改成綜合與實(shí)踐，凸顯兩個(gè)非常重要的特征，一是綜合性，另一個(gè)是實(shí)踐性。首先強(qiáng)調(diào)綜合性，綜合是一種思維方式;實(shí)踐是探索精神，要求學(xué)生綜合運(yùn)

13、用知識(shí)去解決問題。在這一過程中，數(shù)學(xué)思想會(huì)被充分地運(yùn)用，極限思想在這其中也可以適時(shí)地得以滲透。教材中提供了豐富的素材培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、應(yīng)用意識(shí)、問題意識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如雞兔同籠、起跑線、一起去秋游、卷圓柱 在卷圓柱一課中，教師借用一張A4紙圍沙子的活動(dòng)看誰圍的沙子最多。要解決這個(gè)問題，我們應(yīng)該從哪里人手?教師設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)活動(dòng): 活動(dòng)1:看看這張A4紙到底能圍多少立方分米的沙子?(為了計(jì)算方便，A4紙的數(shù)據(jù)是29. 7 cm X21 cm，我們?nèi)?0 cm X 20 cm) 活動(dòng)2:如果允許動(dòng)剪刀把紙剪成兩部分后聯(lián)結(jié)起來再圍，是否能把體積變大些呢?請(qǐng)你試一試如何做會(huì)使體積變得更大? 計(jì)算圓柱體

14、的體積，把數(shù)據(jù)填在表2（略）中。 教師:哇!一剪刀下去體積最多是原來的2倍，好奇妙啊!那我們想裝更多的沙子可以嗎? 學(xué)生:我們可以再剪一刀，聯(lián)結(jié)起來再卷成圓柱，這樣體積還會(huì)擴(kuò)大2倍，4倍，8倍，16倍，這樣可以裝下更多的沙子。 教師:但是不可能無限制的剪，紙是有高度的，那如果想再擴(kuò)大還有辦法嗎? 教師:我們能否把圓柱依靠在墻邊或墻角，那樣會(huì)發(fā)生什么情況呢?把圓柱靠在墻邊，會(huì)使周長、半徑擴(kuò)大2倍，底面積擴(kuò)大4倍，體積將擴(kuò)大4倍。如果我們把它放在墻角，靠在墻角，會(huì)使周長、半徑擴(kuò)大4倍，底面積擴(kuò)大16倍，體積將擴(kuò)大16倍。這樣下去裝的沙子將無限多。看似一張簡單無奇的紙，經(jīng)過我們的剪、拼居然能裝下無窮無盡的沙子，簡直太神奇了。 在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生體會(huì)到在紙大小(側(cè)面積)不變的情況下，底面積和高之間的變化，引起體積的變化。體會(huì)正反比例，體會(huì)函數(shù)思想的滲透。同時(shí)，隨著數(shù)據(jù)的不斷變化，一張A4紙所能圍住的沙子逼近無限，體會(huì)極限思想的滲透。 可見，在綜合實(shí)踐領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生的極限思想有助于學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、空間觀念、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)的提升。 4夯實(shí)數(shù)學(xué)極限思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升 極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)反映，是知識(shí)向能力