開普勒三大定律

1、隨著人類航天技術的飛速發(fā)展和我國嫦娥繞月衛(wèi)星的發(fā)射成功，以天體運動為載體的問題將成為今后考查熱點。在現(xiàn)行的高中物理教材中主要引用了開普勒三大定律來描述了天體的運動的規(guī)律，這三條定律的主要內(nèi)容如下：(1)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上。(2)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。()所有行星的軌道半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值。至于行星繞太陽的軌道為何是橢圓以及中的常量與那些量相關并無說明。為了更深入的理解天體和人造衛(wèi)星的運行規(guī)律，本文將以橢圓的性質(zhì)為基礎從理論上推導開普勒定律。、開普勒第一定律地球運行的特點由于地球始終繞太陽

2、運動，則太陽對地球的萬有引力的力矩始終為零，所以地球在運動過程中角動量守恒。若把太陽與地球當作一個系統(tǒng)，由于萬有引力為保守力且無外力作用在這個系統(tǒng)上，所以系統(tǒng)機械能守恒。2地球運行軌跡分析地球在有心力場中作平面運動且萬有引力的作用線始終通過太陽，所以建立如圖所示的極坐標系，則點坐標為，e)參肴軸若太陽質(zhì)量為，地球質(zhì)量為，極徑為時地球運行的運行速度為v當?shù)厍虻倪\行速度與極徑垂直時，則地球運行過程中的角動量（十，地球在運行過程%）=GMm若取無窮遠處為引力勢能的零參考點，則引力勢能E=mv中的機械能2GMm1）式代入（2）式得：吻合，其中L2Elf為決定圓錐曲線的開口），（為偏心率，決定運行軌跡的

3、形狀），所由式（）可知，當?shù)厍虻倪\行速度與極徑垂直時，地球運行的極徑有兩解，由于初始假設地球的運行速度與極徑垂直，所以為地球處在近日點和遠日點距太陽的距離?？紤]到地球的這兩個位置在極坐標系中分別相當于心=-1和cosi?=+l，可把式（）中的土號改寫為更普遍的形式極坐標方程。則地球的運行軌跡方程為廠h小莎=（1+ecos朝（）式與圓錐曲線的極坐標方程Fp以地球的運行軌跡為圓錐曲線。由于地球繞太陽運動時，貝I圓錐曲線的偏心率Xxl，所以地球繞太陽運行的軌跡為橢圓。人造星體的變軌由于運載火箭發(fā)射能力的局限，人造星體往往不能直接由火箭送入最終運行的空間軌道，若要使人造星體到達預定的軌道，要在地面跟蹤

4、測控網(wǎng)的跟蹤測控下，選擇合適時機向衛(wèi)星上的發(fā)動機發(fā)出點火指令使人造星體的速度增加(機械能增加)，進而達到改變衛(wèi)星運E=偏心率行軌道的目的。如圖所示最初人造星體直接由火箭送入近地軌道，此時，偏心率,人造星體運行的軌跡為圓；當?shù)竭_點時，人造星體發(fā)動機點火，此時機再次點火，當時，偏心率，人造星體將在圓軌道上運行；當?shù)竭_，運行的軌跡為橢圓軌道2當?shù)竭_點時，人造星體發(fā)動，點時人造星發(fā)動機再次點火，人造星體將在開口更大的橢圓軌道4上運動，人造星體將離地球越來越遠，當?shù)厍驅(qū)λ囊π∮谄渌求w對它的引力時，人造星體將脫離地球的束縛奔向其它星體(如嫦娥一號衛(wèi)星)。二、開普勒第二定律行星繞太陽的軌道為橢圓，若在

5、時刻行星位于點，經(jīng)時間后行星位于點，在dS=-r2d&此時間內(nèi)行星的極徑轉過的角度為e，貝所圍的面積2TOC o 1-5 h zdS12d&12=-r=re()式除以有砥彳砥2()由于角動量桝心加總()dS（）式代入（）式得處dS由于是恒量，所以單位時間內(nèi)極徑所掃過的面積處也是恒量。所以地球在近日點運行的快，在遠地點運行的慢。如圖人造星體從軌道變化到軌道的過程中，若點火前后、兩點的速度分別為，則點火前后速度VV在橢圓軌道上、兩點分別為近地點和遠地點，則速度V由于人造星體在軌道。軌道上做勻速圓周運動,以；故。三、開普勒第三定律行星繞太陽運動橢圓軌道的面積，根據(jù)橢圓的性質(zhì)則橢圓的面積（為長軸,為短軸）由于單位時間內(nèi)極徑所掃過的面積皿則周期-4dtmb根據(jù)橢圓的性質(zhì)和開普勒第定律，半長軸（）式代入（）式得二二歸E根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸式（）代入（）式得，c由此式可知繞同一中心天體運行的人造星體軌道半長軸的三次方跟它們的公轉周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。例飛船沿半徑為的圓周繞地球運動，其周期為，如圖所示如果飛船要返回地面，可在軌道上的某點將速度降低到適當?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在點相切