函數(shù)的極限典型例題

1、第二講函數(shù)的極限一內(nèi)容提要1.函數(shù)在一點處的定義使得Vx:0 x-x06,使得使得Vx:0 x-x06,使得Vx:0 x-x6,0使得Vx:0 x-x0,360,X-x+0左極限limf(x)=AoVe0,360,Xfx-注1同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的e同樣具有雙重性.注26的存在性(以x-x0為例)：在數(shù)列的“一N，定義中，我們曾經(jīng)提到過，N的存在性重在“存在”，而對于如何去找以及是否能找到最小的N無關(guān)緊要；對6也是如此，只要對給定的e0，能找到某一個6，能使0|x-x06時，有f(x)-A0,V60,3x:0 x一x0,3Xa,xf8limf(x)=AoVe0,3Xa,xf+8limf(

2、x)=AoVe0,3Xa,xf-8使得Vx:xX，有f(x)-AX，有f(x)-A|e.使得Vx:x-X，有|f(x)-A，有l(wèi)imf(x)=A.nnnnx8n83函數(shù)的有界設(shè)f(x)在凡+8)上有定義，若存在一常數(shù)0，使得Vxe凡+8),有f(x)0,380,使得Vx:0 x一xG.xx0limf(x)=8oVG0,3X0,使得Vx:xX，有f(x)G.x8limf(x)=8等xx一有f(x)C0,類似地，可定義limflimf(x)=8等xx一有f(x)C0,xx+xx一xx+注若limf(x)=8，且380和C0，使得Vx:0 x一x0，使得Vx:0 x一x8，有f(x)M.xx00li

3、mf(x)=A,limg(x)=B，且A0,使得Vx:0 x一x8,xx0 xx00f(x)。當(dāng)。xx。3時，/(%)g(x)則xfX。xA%0要求：進行運算的項數(shù)為有限項；極限為有限數(shù).7夾逼定理若衣0,使得7%:。,一100,使得Vx,x，當(dāng)0 x-x5,0 x-x3時，有/(/)一/(不)xxxf/a(x)(1)當(dāng)左=0時，稱B(x)為a(x)的高階無窮小量，記作B(x)=。(%)；(2)當(dāng)憶=8時，稱P(x)為a(x)的低階無窮小量；(3)當(dāng)左。且左woo時，稱P(x)為a(x)的同階無窮小量.特別的，當(dāng)左=1時，稱BOO和a(x)為等價的無窮小量，記作a(x)P(x).注1上述定義中

4、，自變量的變化過程Xf%也可用Xf+8,Xf8,Xf8,X-X+,X-X-之一代替.00注2當(dāng)尤f0時，常見的等價無窮小有：了2sinxx,tanxx,l-cosx一，e%lx,ln(l+x)%,(1+x)m-1-mx注3在用等價無窮小替換計算極限時，一般都要強調(diào)限定對“乘積因式”的等價替換.因為：若Q。)B(X)(P),則limfx)=limfx等limf(X).PB(x)Pa(x)p(x)Pa(x)a(x)或limg(x)a(x)=limg(x)p(x)-=limg(x)p(x)(P為某逼近過程).PPp(x)P而對于非乘積因式，這樣的替換可能會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果注4在某一極限過程中，若a(x

5、)為無窮小量，則在此極限過程，有a(x)+o(a(x)a(x).10兩個重要極限sinx1lim=1；(2)lim(1+x)x=e.x-0 xx-0二、典型例題例用定義證明下列極限：(1(1)limx-1x(x-1)1xlimx-8vx2+1證明乂1)令。|x-lIJ得。后0.欲使不等式成L只須3-1卜2方即可.干罡,耳0,取舌二nun|1,2彳t使得11-I|凡有，1)1!J11I|,|欲使不等式即日；噌;上=:.欲使不等式夕I+/?(J/十】2(J7十|忘f,(-L)J8?e成,只須工m-因為-3c于。3K.使得般有+I=(2)，2(e?*)。&6lim-*-M：評注1本例中.我們均對l/

6、U)-，4|做了適當(dāng)?shù)姆糯?使得-aim#)i1*-/i.為了能找到定義中的隊要求估算I奴G這就需鱉在點工二淅的某鄰域找出H的正的上、下確界，使得IMGI說M評注2函數(shù)極限概念及以數(shù)學(xué)語合表述是十分垂要的，基本的數(shù)學(xué)技能，在許多問感的證明中會涉及到這種表述.例limf(x)=A，證明:xfx0(1)若A0,則有l(wèi)im=-1x-x0f2(x)A2(2)lim3,f(x)=衰A.xfx0證明；由于=上故對雙%使得甘*：口|工-4心.有Li。ZL/U)TI吟-哈KGU.三尻，使得#：。q：*-而-.1I張總?cè)?=min商，&”,使得Vn：O0.會口，使得匕：0c|十-%|.有LKR!/(x):(,即

7、|!Me,亦即lim3=0若“0出為limA)二乩由極限的保號性四,0.使得斤-Vi：O0jYa0.目飛口，電,0,使得?工:Cm|%-漏|父感，有1心)-1/1&X17(石)-AI工|iy(i)-海|VjT1(r)+/Af(x)+|*取3=minI用為/.使得甘城0N而匕一小|穿J.取W-1,3riA】，有民l-口I妾即jV=fl|h3n2耳.有I氣？一日I與.+#+可+0X=&t、3%,有民曰I三于是如此無限進行下去得到1%I的一個子列,凡1樂.-Ng.由于0N+備x)是嚴濟遞增函數(shù).則/(%J挖稅+備/(n).X1何=山】或&)=/(&),于是對上式取的極限后，得Lf(a)三/(+吟/(

8、而這是不可能的.放iim#,=拓Hi1-*評注本例運用反證法，即用(數(shù)列概限的否定概念，在許多論:注題目憶極限的否定脛式的正面陳述非常重要、例函數(shù)f(X)在點1n的某鄰域I內(nèi)有定義，且對vxuI(xfx,x豐x)，且limf(x)=A.limf(x)=A.xfx00 x一xo,3：O|t口I8而1/3)-林泳知.取瓦=1a三/：0父jt-xb.5,=1,有14飛)-A凄與*取生二min|M-麗I.三*?：0I石-斯I”_|一/卜三三,：0/一而I弋印W屋“一廝,，有/(n)-/tI二M于是如此無限進行下去.得到數(shù)列F*它滿足。1-端1區(qū)一蜘/且lim熊，但川鼻與，這與已知相矛麻故口砧#)=乩L

9、摘評注1若不考點VIj7I1-狗I”這一點，本題即是海涅歸結(jié)原則的充分條件，結(jié)論自然成立，面條件00*三使得城0#d,有ar-HJ*X即_割fk-人即_割fk-人yjyx.同樣地，對V#e(O，有一豹(h)一人yj0).J0 x豐011x=0，且limf(x)=A，貝UnT+8f(x)三A(xe(0,+8).證明；（方法1）假設(shè)1%E（。，+）卜有A而）#月.不妨設(shè)/（苑）4由于lim/（x），故對e0=#o）-A0,BXOt丫工X,有ift*|(M)-4.A一號i/(x)0.也三即eN,使得”1%凡有式與）=U=/（2%Q=一六23而）0,3X0,#X.有/（*）X,因而有/（2%。）0,Z

10、?0）；a0,b0)；解:（方法一）VxO,y-1臼蕓各項乘以；0,得b口aci.工J*qI由電遍定理，得imi-J-H3口Lf1口（方法二）亍=!（：-由卜其中圖表示士的小數(shù)部分.號了盧。J（,）1.于是由limf（G由limf（G的定義.只要在區(qū)間（0,“）內(nèi)考慮所求極限即可.：*0+Vie（0，有口I,）J=0,于是itiuI1=0.oIa1i*LaJi（箝由于所求極限中有IMI及工,故必須號慮在”0處的左,右極限JCi/2+ei/2+exsin%評注】由函數(shù)在：點處的的側(cè)極限定義.只需討論在該點的空心單側(cè)鄰域內(nèi)函數(shù)評注】的性質(zhì)即可.在第二小題中，在累=口點的足夠小單地空心都域內(nèi)J亍為定

11、值,從而裾到所求極限.評注2在第一小題中,若U1,則有時d?=兀這是因為心十-10時，1t*臼W】，當(dāng)“式0時/金“十卜1-心由夾通定理即得.評注3第二.小題Jin“1，不存在，因為r1h一。1時.小f*cc；勺a*0-時,1*4.本題用到極限的四則運算性質(zhì)，無窮大量性質(zhì)，無窮大腦與無窮小量關(guān)系等概念-例求下列極限11+tan%七1一tan%(1)lim-n.0e%一11-vcos%lim-n.0%(1COSv%)ln(sin2%+e%)一%lim.n.0ln(%2+e2%)-2%=lim號-=1皿竽=,S-H3K-.且iwrs雙公時，通常利用恒等式/-n_胃/公二（/,耐心_.j出等僑無窮小

12、替換得個港班-或*評注2在第二小題中，注意到i閑此將分子加誠-分解后進行計范泡到此類問題，皆可從等價無窮小看F.對所求極限進行插項分解汁算.例求下列極限：(1(1)limn-1Xx-1xlnx一(a+x)x一ax(2)lim-nf0 x2評注遇到工尸G評注遇到工尸G這類極限，總可以用恒等式，為廠”二加無窮小替換，極限的四則運算等算得結(jié)果，例求下列極限：1lim(cosx)in(i+x2)；nf0lim(sin+cos)x；設(shè)ai0(i=12A,設(shè)ai0(i=12A,n)，n.A.、nax+ax+A+axx求lim12nn-01nJ評注本例所求極限凰F1”型的不定式，所求極限形式為lim(1其中

13、Otliuw(x)=凡如此形式廣型的報限,其底必是明其扉可確定為：即括號內(nèi)1后的變墻(包括符號)與基乖枳的極限.就是廣型極限的甚例(1)已知lim(3.1-x3-ax一b)=0，求常數(shù)a,b；n-s)-二5，求lim)-二5，求lim(2)已知limsin2xn-0 x2n-03xn-0 x2解:（1）由iim（jTF-y-）=。直接得b=O.乂X18*OpF令Vr-7甘M小工&）=1而（一注）一Um迎二j=0.L.LB、7II即而X1二即而X1二i(2)由于叩附sinZxIlTTI：叩附sinZxIlTTI：23*-1/（X）sinZxrlim=hm1-hjxln3i-o評注I本例是解決極限中的反問題,即已知結(jié)果求函數(shù)極限中的參