數(shù)列通項公式的求解方法歸納

1、數(shù)列通項公式的解法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而 作為給出數(shù)列的一種形式一一通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公 式的常用方法。小結(jié)：除了熟悉以上常見求法以外，對具體的數(shù)列進行適 當?shù)淖冃?，一邊轉(zhuǎn)化 為熟知的數(shù)列模型更是突破數(shù)列通項的關(guān)鍵。做題時要不斷總結(jié)經(jīng)驗，多加琢磨。總結(jié)方法比做題更重要！方法產(chǎn)生于具體數(shù)學內(nèi)容的學習過程中.1.直接法2.公式法3.歸納猜想法4.累加(乘)法5.取倒(對)數(shù)法6.迭代法7.待定系數(shù)法 8.特征根法9.不動點法10.換元法門.雙數(shù)列12.周期型13.分解因式法14.循環(huán)法15.開方法 一、

2、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。例1：根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：(1) 9, 99, 999, 9999,.1-.(3) 1二、公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項若已知數(shù)列的前項和$”與山的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式Hl求解.IAT T心 2(注意：求完后一定要考慮合并通項)例2.已知數(shù)列的前打項和S”滿足S” = 2 + (1) “ / 1求數(shù)列的通項公式.已知數(shù)列的前/?項和S “滿足Sn =n2+n-，求數(shù)列afJ的通項公式.已知等比數(shù)列的首項5=1,公比0vgvl,設(shè)數(shù)列0”的通項為乞=%|+2,求數(shù)列的通項公式。三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前

3、幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后 再用數(shù)學歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正而證明。例3.已知點的序列入（xniQneN旗中坷=0, x2 = a a 0），碼是線段碼的中點，人是線段的 中點，代是線段的中點，（1）寫出心與兀_,心_2之間的關(guān)系式（”上3）。（2）設(shè)”二兀+|-耳，計算如衛(wèi)2衛(wèi)3，由此推測&”的通項公式，并加以證明。變式:設(shè)數(shù)列號 的前料項和為Sm且方程X2anXUn = 0有一根為$】一1, =1, 2, 3,（D求如，（II）心的通項公式.四、累加（乘）法對于形如勺中二5 + /（）型或形如勺小二三（n） an型的數(shù)列

4、，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例4.若在數(shù)列中，=3,你=+“求通項例5.在數(shù)列%中,4 =1,4” =2匕(weTV*),求通項五、取倒(對)數(shù)法a.=“：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)佶轉(zhuǎn)化為dP5+q，再利用待定系數(shù)法求解頃數(shù)列有形如/(心衛(wèi)_蟲心)=0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以一先求出上，再求得.心-一土竺一解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為8 =叫+q 0 g(n)ai+h(n)例6設(shè)數(shù)列滿足a =2二GwN),求心 心+3例7、設(shè)正項數(shù)列滿足4=1,心=2“二2)求數(shù)列簡的通項公式變式：1已知數(shù)列

5、an滿足：aj =-,且an=(n 2, n e N*)求通項22an-1+n12、若數(shù)列的遞推公式為=3=L2(neN),求通項“3、 已知數(shù)列滿足a =ji2時，a飛=2an求通項a”4、已知數(shù)列滿足：嚴一凹一，絢=1,求通項s3% +15、若數(shù)列中，引二1, a”廣上企用N求通項“心+ 2六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.例&設(shè)為常數(shù)，且$ / 廠I 2 a(n為正整數(shù))證明對任意nN ,=3 #(- 1)2n + (-1)a 2n a 0七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通常可 對遞推式變換，轉(zhuǎn)

6、化成特殊數(shù)列(等差或等比數(shù)列)來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，運用待定系 數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。仁通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a”產(chǎn)p a+q (p*1, pq#=O)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)an+1 +k=p (an+k)與原式比較系數(shù)可得pk-k=q，即 k=-J從而得等”一1比數(shù)列a”+k。例9、數(shù)列a滿足a產(chǎn)1, a”=(n2),求數(shù)列“的通項公式。練習、數(shù)列滿足6二1,3陀+匕一7=0,求數(shù)列“的通項公式。2、已知數(shù)列滿足5=1,且勺+=3勺+2,求你.2、遞推式為g=pg+嚴(p、q為常

7、數(shù))時，可同除，得殆=上耳+ 1,令bn=從而化歸為q q qqs + q 5、q為常數(shù))型Mio.已知數(shù)列滿足=1,=3+ 2。心血 2).求心.3、形如如=pan + an + h (p 工 IQ a 工 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令l+x( + l) + y =勸+刃，與已知遞推式比較，解出乂，從而轉(zhuǎn)化為 +xn + y是公比為的等比數(shù)列。例 11:設(shè)數(shù)列an： a) =4,an = 3+ 2n -1,(n 2) 求心.變式:已知數(shù)列”中，5空、點52也在直線y=x上，其中n=l,2,3-.(I)令久=%-5 -3,求證數(shù)列您淀等比數(shù)列；(II)求數(shù)列倡的通項；

8、4、形如 an+i = pa + an2 +bn + c 1、0, a H 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)適等比數(shù)列，即令勺+i +x(/? + 1)2 +y(n + 1) + C = p(an +xiV + yn + c)與已 知遞推式比較，解出x,y ,z.從而轉(zhuǎn)化為an +勸2 + yn + C)是公比為p的等比數(shù)列。例 12：設(shè)數(shù)列： q = 4,an = 3a“_ + 2皿一l,(n2),求 a.遞推公式為2 = U + (其中p, q均為常數(shù))。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為?！?2 $+1 =”+1 so”)s + t = p其中s, t滿足fst = -q例13:已物故列o片中*

9、 4右+ = %_ +二% *求。葉變式：1已知數(shù)列 %滿足q =1心=3,+2 =3色+2”(料u(I)證明：數(shù)列+_是等比數(shù)列：(II)求數(shù)列氣的通項公式：dll)若數(shù)列他滿足4人4彼“4如“ 二(an +1)如(neN),證明bj是等差數(shù)列.2.知數(shù)列中.I *炎=2,心=亍1+：，七求3已知數(shù)列cij中Sn是其前門項和并且=4a+ 2(n = 1,2,),q = 1,設(shè)數(shù)列仇=%2勺0 = 12.)求證：數(shù)列乞是等比數(shù)列：設(shè)數(shù)列5=凱，( =12.)，求證：數(shù)列億是等差數(shù)列：求數(shù)列的通項公式及前項和。2.八:特征根法。1、設(shè)已知數(shù)列他的項滿足 二工=can + 其中cH0,cHl,求這

10、個數(shù)列的通項公式。作出一個方程x = cx + d.則當 x0 =a時,5為常數(shù)列，即勺二5;當無工5時,二仇+如，其中”是以0為公比的等比數(shù)列，即bn =業(yè)廣叫=ax-xQ.對于由遞推公式ait+2 = p& + q牛=a,a2 = p給出的數(shù)列方程F -/x-g = 0，叫做數(shù)列的特征方程。若兀，兀是特征方程的兩個根，當州工心時，數(shù)列”的通項為其中A, B由& =a,g = 0決定(即把-，“，和”i，2,代入=Ax； + Bx得到關(guān)于A、B的方程組)；當小=心 時，數(shù)列的通項為”=(A + B)x，其中A, B由67, =a,a2=j3決定(即把ai,a2,xi,x2和“ =1,2,代入

11、氣=(A + Bn)x,得到關(guān)于A、B的方程組)。例 14： (1)已知數(shù)列”滿足 q =氣a2 = , 3%2 5+i +2“” = 0(/z 0,/? e AA).求數(shù)列“的通項公式。九：不動點法，形如 =竺口S +/?解法：如果數(shù)列暫滿足下列條件：己知的值且對于zzeN,都有勺出二戶乩+ （其中p、4.八刃均為常數(shù)，ran + h且/必工甲工0,6工一 2）,那么，可作特征方程兀=竺，當特征方程有且僅有一根心時，則 ，是等差rrx + h數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根坷、山時，貝u ）也二1 （是等比數(shù)列。 .例15：已知數(shù)列“”滿足性質(zhì)：對于=工一4且5 =3,求的通項公式.2“” +

12、 3變式:數(shù)列” 滿足 4 = 1 且 8+1 - 16an+l + 2a +5 = 0（n 1）.記仇=（n 1）.n“ 2（【）求仞、加、加、“4的值； （II ）求數(shù)列“的通項公式及數(shù)列也的前n項和S“:換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16已知數(shù)列%滿足+=（ 1 + 4匕+Jl + 24q） , q=l,求數(shù)列勺的通項公式。例17已知數(shù)列 “”滿足二|/7+1十-。雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例 1&已知數(shù)列%中，5=1：數(shù)列仇中，/?! = 0o n 2 時，=+(2一

13、+仇_), =*( % +2 仇_),求久十二周期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。，若d=則20的值為7c. y3 V32氣(0 !)例19：若數(shù)列滿足勺中2A-1,(1A1.求數(shù)列aH 的通項公式.已知數(shù)列a 的前項和S”滿足S”=/?2+/?-1,求數(shù)列“” 的通項公式.已知等比數(shù)列倡的首項的二1，公比0v彳v 1,設(shè)數(shù)列K的通項為b = an+i + 5+2,求數(shù)列b的通項公式。解析：由題意，S+i=?！?2 + ”+3,又是等比數(shù)列，公比為 Q.如_二今上上凹故數(shù)列0”是等比數(shù)列,b嚴心+丸4 +恥9（4 + 1），*心+】+ ”+2b =q（q + ）.q=qn（q + ）

14、n三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后 再用數(shù)學歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正而證明。例3.已知點的序列A（xn,O）,ne/V其中冊=0,二a a 0）,禺是線段每的中點，人是線段4A的中點，心是線段A:-2An-的中點，（3） 寫出與之間的關(guān)系式（心3）。 設(shè)a=xn+i-x，計算仆S由此推測”的通項公式，并加以證明。/ 、人、X + X解析：（1）v 4r是線段AZA的中點，：心二：心 n（7）2 3）乙X3 + X2猜想=(-) nia(n e TV*)，下而用數(shù)學歸納法證明21當n=l時，=a顯然成

15、立：2假設(shè)n=k時命題成立，即縱二(一) -0伙wN*)21一)X + x|則 n=k+1 時，6/,+1 =兀+2 一兀和二二 7產(chǎn)-3 (耳+1 _ 兀)=_廳當 I匚k+1時命題也成立，命題對任意nwN都成立。變式:設(shè)數(shù)列cin的前n項和為S”,且方程X2anxan=0有一根為S“一 1, ”=1,2, 3, -(I)求5, 2；(lD &的通項公式，寫出n取1到n時的所有的四、累加(乘)法對于形如勺泊二% + / ()型或形如勺小二f (n) ait型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項公式。例4.若在數(shù)列“中，6=3, %=” + “，求

16、通項“”。解析:由”+i = an +門得 an =n，所以an-an- =-h %_ , 2=n_2,，a2 a =1將以上各式相加得：an-a. = (/?-1) + (/?-2) + - + 1,又=3所以心二蟄上+ 3例 6.在數(shù)列”中，=1, % =24“ (mN)，求通項“”。解析：由已知也二 2”，企=2“，仝土 二2-2,.，A = 2,又 4=1,anan-an-25a n a所以心二工也zl.W)2 鼻 2 - 1 = 2 2五.取倒(對)數(shù)法a.g = “；這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為gm，再利用待定系數(shù)法求解b、數(shù)列有形如/ (心“一蟲心)=0的關(guān)系，可在等式兩

17、邊同乘以一，先求出上,再求得g(n)an +h(n)例6設(shè)數(shù)列 %滿足一 一解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為+ 0=2、 = a,：(n e N),求. a +3W：原條件變形為aw+l - a+3-% 兩邊同乘以1 得 1 + 3 an叫+護&匕+片2x3 心一1解：兩邊取對數(shù)得：log/=l + 21og仇是以2為公比的等比數(shù)列，勺=log； +l = l.例7、設(shè)正項數(shù)列滿足q=l,心=2“二(心2)求數(shù)列血的通項公式.齊，log? + l = 2(log； T + l),設(shè) b”=log? + l,則 bn = 2bn乞=12時，勺1 一5=25.“求通項s -4、已知數(shù)

18、列滿足：5二一口一 5=1,求通項s -3% +15、若數(shù)列% 中，引二1.二上一nGN+,求通項“a +2六*迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.例8、設(shè)日。為常數(shù)，且a =3 2 a(n為正整數(shù))證明對任意nl ,a 尸3 + (-1)2r + (-1) n 2 3 a o證明：a n=3 n-1-2 a ，=3 一 2 (3 ”弋一 2 a n-c)=3 n_l-2 3 +2 2 (3 一 2 a “)=3 2 3 +2 2 3 2s (3 n -2 a=3 52 3 +2 = 3 3 -+(-1) A-2 ax+ (-1) n- 2 = a。(-1)c . 2a。前面的 n

19、項組成首項為3 ，公比為一的等比數(shù)列，這n項的和為：=3+ (-1) 一 2 a 尸3 =+ ( 1) 一 2(-1) R 2n七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？?對遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差或等比數(shù)列)來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，運用待定系數(shù) 法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。仁通過分解常數(shù).可轉(zhuǎn)化為特珠數(shù)列2)得 a” 一 2 二(&_ 2),而 a】一 2二 1 2 二一 L22數(shù)列 一 2是以才為公比，一1為首項的等比數(shù)列S 2 二一 (X)心 二 2 (-)心2說明

20、：通過對常數(shù)1的分解，進行適當組合，可得等比數(shù)列 62，從而達到解決問題的目的。練習、1數(shù)列牯滿足6二1,3周+A-7=0,求數(shù)列“的通項公式。 TOC o 1-5 h z 17解：由 3 伽+勺-7=0 得%k 17設(shè)6小+ = ( +幻，比較系數(shù)得-k二一解得*二3 34717735 一是以為公比，以 =1-=-為首項的等比數(shù)列4 -r(4r,rlx(4r4, 02、已知數(shù)列滿足5=1,且霍=3勺+2,求.解：設(shè) mi +f = (a +t)9 則 a” =3an+2t=t = n+1 +1 = 3(an +1) = an +1 )是以a +1)為首項，以3為公比的等比數(shù)列= 心+1 =+

21、1) 3心=2 3心二 =2 3心-12、遞推式為%產(chǎn)叫+嚴(p、q為常數(shù))時，可同除q,得堀二仝與+ 1,令bn=L從而化歸為q q q q a = pn +q (p、q 為常數(shù))型.n 例 10.已知數(shù)列“滿足 =1, a” =3+2% (n 2).求”.解：將心=3”+2%兩邊同除3”，得影十善Ln影=1 + |器設(shè)“二尋則仇=l + |Ai.令 bn-t =-0 =bn =+1/=23.條件可化成_3 =嘰_3),數(shù)列倡一3是以a-3 =心-3 =-為首項，3二為公比的等比數(shù)列./7n-3=-x (-ri因嘰臺，3”333Q O.心 =br =y x(-yr +3)工=3廉-2宙.3、

22、形如“曲=/_+初 + /? (pH IQ a HO)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an+l + x(n+1) + = p an + xn + y),與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為a + xn + y是公比為p的等比數(shù)列。例 11：設(shè)數(shù)列 a ： 4=4廣” =3氣_ + 2n 1, n 2),求 an.解：令勺+i + x(n +1) + y = 3(如 + xn + y)化簡得：勺創(chuàng)=3務(wù)+ 2xn + 2y _ X2x = 2(x = 所以 by-* j 解得 b,所以+s+i)=3 (勺+”)又因為4+1 = 5,所以數(shù)列”+是以5為首項，3為公比的等比數(shù)

23、列。從而可得+斤=5 x 3，月以c = 5 x 3 1 -n終、點 5、2%+_qr)變式:已知數(shù)列中， 2在直線戶x上，其中】匚123.令仇=如-心-3,求證數(shù)列0”淀等比數(shù)列；(II)求數(shù)列倡的通項；4、形如 an+i = pan + an2 + bn + c (p 工 l、0, a h 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an+i + x(n + 1尸+ y(n +1) + C = p(an + x莊+ yn + c),與 已知遞推式比較，解出xyy，乙從而轉(zhuǎn)化為an + x莊+ yn + c是公比為p的等比數(shù)列。例 12：設(shè)數(shù)列”：= 4,an = 3a_ + 2n

24、 l,(n2).求 a”.遞推公式為n+2 = pa+i + qa (其中p, q均為常數(shù))。s + t = p解法先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 st = -qsg = + w )其中 s, t 滿足a2 二0給出的數(shù)列方程V2 - px-q=O，叫做數(shù).列的特征方程。若，心是特征方程的兩個根，當州工勺時，數(shù)列”的通項為”二加穿+ 其中A, B由a. =a,g = 0決定(即把aa2,x：tx2和 =1,2,代入an = Ax； + Bx,得到關(guān)于A、B的方程組)；當X1 =x2時，數(shù)列心的通項為=(A +劭)x，其中A, B由q=a42=0決定(即把d,“2，X,X2和=1,2,代入an = (A

25、+ , 得到關(guān)于A、B的方程組)。例 14： (1)已知數(shù)列” 滿足 q = a,a2 = b,3a”+2 - 5”i + 2a = 0(/? 0,n e N).求數(shù)列的通項公式。解法一(待定系數(shù)一一迭加法)由 3?！?2 5”+i + 2a = 0,得5+2 _ ”+i = |( 加一 ”)，且一土 _ a。2則數(shù)列中一是以b_a為首項.為公比的等比數(shù)列，于是.得勺田一匕=(b-a)(： )T。把 =123, J 代入如-=(/?-)(-).2“4 -=(/?_)(:)，2an an- =( b_a)( m)J。把以上各式相加，得 TOC o 1-5 h z 22I擴押 _ | =(/，_)

26、 + + () +，, + ( ) = 。33i 二2 2.I氣=3 3(_)心(b_a) + a = 3(a_”)(_)心+3b 2a 解法二(特征根法：這種方法一般不用于解答題)：數(shù)列 四：3%2 54 中+2 心=0 (nO,ne/V),氣=a.a2 =b 的特2征方程是：3 人一 5% + 2 = 0。v X. =.xy =, 3o=A 中+ Bx=A + 3 G)z。又由5 = a.a2 =b 9于是A = 3b 2aBn 故仆 33(-叫)a = A + B 2 =b=A+-B3（2）.已知數(shù)列尸”滿足：n+i =a -2,ne N，=4,求”. TOC o 1-5 h z 134

27、,311解：作力 IV X = X 2,則 Xo =，pI = 4 時，q H xq ,Z?j = G H = .3222數(shù)列“是以一上為公比的等比數(shù)列.3于是仇勺（一 I）”二耳（一 I）勺=-+b（-lr*,neN./r 13232 n 223九：不動點法，形如 =化匕叫+ h解法：如果數(shù)列心滿足下列條件：已知的值且對于7ZGN,都有田=5 + / （其中八4、八力均為常數(shù)， ran + h且甲工0,6 H2),那么，可作特征方程兀二巳，當特征方程有且僅有一根X。時，則v r rx + h數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、心時，貝9幺二巴例 是等比數(shù)列。15：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于二:伯十4

28、且q =3,求心的通項公式.2勺+ 3變式:數(shù)列“” 滿足 4 = 1 且 8%山“一 16a+i + 2+5 = 0(n 1).記仇二一 (n 1).(【)求氐心加、加的值；(II)求數(shù)列饑的通項公式及數(shù)列anbj的前n項和幾:換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16已知數(shù)列滿足5+=(1 + 4an + Jl + 24%) , q=l.求數(shù)列氣的通項公式。解：令b” = J1 + 24 ,則二右何一 1)故曲=24機-也代入小二石。+ 24 )得德 _1) = 1 + 4 上(慎T ) + 241624即4此二(仇+掰因為仇=J1

29、+ 24故仇+i = J1 + 24田2013則 2+1 =化 + 3 ,即 Z?,|+1 = 2氣 + 2 可化為乞+ - 3 = 3),所以化一 3是以勺-3 = J1 + 24 -3 = Jl + 24xl-3 = 2為首項，以上為公比的等比數(shù)列，因此2bn-3 = 2(1)-=(嚴，貝U = (if2 + 3,即 JF7 頁；= (*)1 嚴+3得2 111色二二(_)+(_)”+_。3 4 2 31 3評注：木題解題的關(guān)鍵是通過將J + 2他的換元為化使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化b,=-b+-形式，從而可知數(shù)列2 2 n仇一3為等比數(shù)列.進而求出數(shù)列仇一3的通項公式，昴后再求出數(shù)列的通項公式。7t7t,.,a = COS22-3n總之，求數(shù)列的通項公式.就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(或等比)數(shù)列，從而利用等差(或等比)數(shù)列的通項公7t=cos , a? = cos-6式求其通項。十-。雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例18.已知數(shù)列%中，=1：數(shù)列中.也二0。當n2時，5 = *(2 勺“ + 八_1)，“二 + 2 勺 丁求心，bn解：因勺 + 二 * (2a”_i +bn_)+ 1 (勺一