對(duì)稱(chēng)特征值問(wèn)題

1、對(duì)稱(chēng)特征值問(wèn)題 第1頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三 Sturm 序列定義：多項(xiàng)式序列 即為 的特征多項(xiàng)式. 稱(chēng)為矩陣 的Sturm序列.第2頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三有：性質(zhì)1 ，僅有實(shí)根. 這是因?yàn)榫仃?的任意k階主子矩陣都是對(duì)稱(chēng)矩陣， 為它的特征多項(xiàng)式，所以它的k個(gè)零點(diǎn)都是實(shí)數(shù).第3頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三性質(zhì)2 無(wú)根，相鄰兩多項(xiàng)式 ， 無(wú)公共根. 性質(zhì)3 若 是 的根，則第4頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三事實(shí)上, 因?yàn)?,而故有：性質(zhì)4 多項(xiàng)式序列 中相繼兩多項(xiàng)式 和的零點(diǎn)交

2、錯(cuò)隔開(kāi).即 假設(shè)為 的k個(gè)零點(diǎn)，則： 第5頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三從而 每個(gè)的零點(diǎn)均為單重實(shí)零點(diǎn). 證明：（歸納法） 由于 又：故： 第6頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三同理： 故： 于是由 ,得出 類(lèi)似可得 于是又由 便得 對(duì)于 ，均有： 第7頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三性質(zhì)5 在 的鄰域，所有多項(xiàng)式 都為正， 且當(dāng) 自左向右變動(dòng)經(jīng)過(guò) 的零點(diǎn) 時(shí)， 的下降或上升是與 或一致的.Sturm序列基本性質(zhì)： 1.相鄰多項(xiàng)式無(wú)公共根 2.若 3.相鄰兩多項(xiàng)式的根彼此交錯(cuò) 第8頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)

3、13分，星期三以下記： 為數(shù)列 中相鄰兩數(shù)符號(hào)一致的數(shù)目（同號(hào)數(shù)）. 例如：注：若 ，則取它的符號(hào)與前一個(gè)同號(hào). 例如：矩陣第9頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三此時(shí)必先求出 的表達(dá)式.求多項(xiàng)式 的值時(shí)，可用上述遞推公式，不表6.4 第10頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三-31344.224.55111111140-2-3-3.22-3.5-412-4056.3688.25123208-3-7.626-14.875-328016-16-11-0.91719.062804211100第11頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三定理9

4、 若實(shí)對(duì)稱(chēng)三對(duì)角矩陣 的所有次對(duì)角元素不為 零，則 是 在區(qū)間 中根的數(shù)目， 即矩陣 的 的特征根的數(shù)目. 證明：由性質(zhì)5知， 時(shí) 的同號(hào)數(shù) 現(xiàn)讓 從 起從左向右變動(dòng)。 當(dāng) 不經(jīng)過(guò)所有 的零點(diǎn) 時(shí)， 顯然不變； 當(dāng) 經(jīng)過(guò) 的零點(diǎn) 時(shí)，也不改變. 第12頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三事實(shí)上，對(duì)于充分小的 在 內(nèi) 均不變號(hào)， 根據(jù)性質(zhì)3和5以及關(guān)于 的符號(hào)規(guī)定， 在 內(nèi)和 同號(hào)，和反號(hào)在 內(nèi)和 反號(hào)，和同號(hào)它們的符號(hào)變化為表6.5，6.6之一.總之，通過(guò) 的零點(diǎn)時(shí)， 不改變. 第13頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三+表6.5表6.6第14頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三當(dāng) 通過(guò) 的零點(diǎn) 時(shí)，根據(jù)同樣的論證， 由與 （包括在點(diǎn) ）同號(hào)變到與它反號(hào)，因而失去一個(gè)同號(hào)數(shù)，定理證畢. 計(jì)算實(shí)對(duì)稱(chēng)三對(duì)角矩陣特征值的二分法 任意區(qū)間 中所含C的特征值數(shù)目為若C的特征值排列為：且則：第15頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三求特征值 的二分法如下： 給定包含 的初始區(qū)間 （由特征值的位置估計(jì)定理1，可取 ）對(duì)（1）取 的中點(diǎn) （2）計(jì)算 的同號(hào)數(shù) （3）若 則否則（4）若 則令否則第16頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)13分，星期三 特征向量的計(jì)算