等比數(shù)列的概念

1、等比數(shù)列的概念龔林娟一、教學(xué)目標(biāo) （1）通過HPM（歷史數(shù)學(xué)問題），讓學(xué)生在歷史數(shù)學(xué)問題中感受數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想，并在類比等差數(shù)列概念的基礎(chǔ)上自主探索得到等比數(shù)列的概念，讓學(xué)生感受概念的形成過程.（2）運用類比的數(shù)學(xué)思想方法，類比等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，給出等比數(shù)列的類似性質(zhì).二、教學(xué)重點和難點等比數(shù)列概念的形成與應(yīng)用.三、教學(xué)過程3.1 課題引入斐波那契是中世紀(jì)意大利著名的數(shù)學(xué)家，他在1202年寫了計算之書一書，是當(dāng)時風(fēng)靡一時的數(shù)學(xué)教科書.兔子數(shù)列就是其中一章的一個數(shù)學(xué)問題，在書中還有另外一個有趣的問題：7個婦女去羅馬，每個人牽著7匹騾子，每匹騾子負(fù)7只麻袋，每只袋子裝7塊面包，每塊面包配有7把小刀

2、，每把刀配有7個刀鞘，問婦女、騾子、面包、小刀和刀鞘各多少？我國古算書 孫子算經(jīng) 中有一個以9為首項，9為公比的等比數(shù)列問題“出門望九堤”：今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色.問各有幾何？公元前1650年，一個名叫阿莫斯的埃及祭司在紙草上用僧侶文抄下了這樣一個在他200年以前就已經(jīng)被人提出的數(shù)學(xué)問題：有7座房屋，每座有7只貓，每只貓一天吃7只老鼠，每只老鼠一天吃7棵麥穗，每棵麥穗含麥子7個容積單位。問房屋、貓、老鼠、麥穗、麥子容積各為多少？ 【探究一】同學(xué)們，看了以上幾個例子，你有什么樣的啟示？通過HPM（歷史數(shù)學(xué)問題），讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)哲學(xué)的

3、重要思想：在古今中外數(shù)學(xué)史上常有很多共同思考.可見，我們研究的課題不僅僅是中國人才研究的問題，這是一個世界性的共同課題.【探究二】把各例中的各個量按順序排列成數(shù)列，這些數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是如何判斷的？新知的學(xué)習(xí)是在學(xué)生原有知識、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，這些知識、經(jīng)驗構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)的起點.所以本節(jié)課以學(xué)生已有知識作為新知的生長點，一來可以有效激活學(xué)生的原有認(rèn)知，二來可以為用類比的數(shù)學(xué)思想方法研究等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)埋下伏筆.【探究三】這些數(shù)列不是等差數(shù)列，請找出它們的共同特征.在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列的特征是相鄰兩項的比值是同一個常數(shù)，進(jìn)而可以類比等差數(shù)列，把這樣的數(shù)列稱為是等比數(shù)

4、列.3.2 等比數(shù)列概念的形成 數(shù)學(xué)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模彩菄?yán)格的.要想掌握好一個數(shù)學(xué)概念，一定要抓住概念的關(guān)鍵詞.【探究四】請學(xué)生類比等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞，給出等比數(shù)列概念中的幾個關(guān)鍵詞.進(jìn)而在在關(guān)鍵詞的基礎(chǔ)上給出等比數(shù)列的定義，看看你和數(shù)學(xué)家想的是否一樣？【探究五】類比等差數(shù)列中公差的定義和取值范圍，等比數(shù)列中這一個常數(shù)你怎么定義？它的取值范圍是什么？由學(xué)生通過類比等差數(shù)列定義的關(guān)鍵詞給出等比數(shù)列的關(guān)鍵詞，進(jìn)而得到等比數(shù)列的概念.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一定要注重概念的發(fā)生過程，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的再創(chuàng)造，感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的魅力.在教學(xué)中，積極滲透方法論的教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識到類比是一種重要思的數(shù)學(xué)想方法，是數(shù)學(xué)發(fā)

5、現(xiàn)的重要途徑.3.3 等比數(shù)列概念的應(yīng)用【例1】判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列？（1） （2） （3）【探究六】常數(shù)列與等差數(shù)列、等比數(shù)列的關(guān)系是什么？ 例1是等比數(shù)列概念的簡單應(yīng)用.在等差數(shù)列中，我們研究過常數(shù)列并熟知常數(shù)列是特殊的等差數(shù)列.那么自然學(xué)生會有這樣的問題，常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列嗎？學(xué)生通過合作探究，容易得到這樣的結(jié)論：非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.3.4 等比數(shù)列符號語言的形成【例2】已知數(shù)列的通項公式，求證：是等比數(shù)列.【探究七】光用語言進(jìn)行數(shù)學(xué)交流是難以使得數(shù)學(xué)國際化的.為什么數(shù)學(xué)語言與一般語言相比，具有無名族性、無區(qū)域性的特點，并且它是世界上唯一的通用語言？是什么推動

6、了數(shù)學(xué)的發(fā)展？【探究八】類比等差數(shù)列的符號語言，請你給出等比數(shù)列的符號語言.【變式】已知數(shù)列中，,證明數(shù)列是否是等比數(shù)列.數(shù)學(xué)中的證明是指借助一些真實性已確定了的命題來判斷某一命題真實性的推理過程，所以僅僅通過列出數(shù)列的前幾項來判斷是難以達(dá)到嚴(yán)格的.學(xué)生通過類比等差數(shù)列的符號證明方法，也自然能想到運用符號語言進(jìn)行等比數(shù)列的證明.并讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)之所以成為世界唯一通用語言，之所以可以發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)符號在其發(fā)展中起了很大的作用.通過類比等差數(shù)列的符號語言，讓學(xué)生自己給出等比數(shù)列的符號語言，并強(qiáng)調(diào)等比數(shù)列的符號語言是證明數(shù)列是否為等比數(shù)列的常用方法.3.5 等比中項的概念和性質(zhì)研究【例3】求出下列

7、等比數(shù)列中的未知項（1）， （2），【探究九】在等差數(shù)列中，我們研究過三個數(shù)成等差數(shù)列的問題，進(jìn)而引出了等差中項的定義，請類比給出等比數(shù)列中的相關(guān)概念，并研究它的基本性質(zhì).【探究十】任意兩個數(shù)都存在等差中項，那么任意兩個數(shù)都有等比中項么？【例4】設(shè)是和的等比中項，則的最大值是多少？ 在等差數(shù)列中，我們也研究過等差中項的問題，讓學(xué)生在類比中學(xué)數(shù)學(xué)，得出等比中項的定義，并進(jìn)而提出更深層次的思考：是不是任意兩個數(shù)都有等比中項？如果不是，這兩個數(shù)必須滿足什么條件？經(jīng)過探索，學(xué)生容易得到下列結(jié)論：兩個符號相同的數(shù)才存在等比中項.例4則是對探究十的簡單應(yīng)用，利用兩數(shù)同號，求出的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.

8、3.6 等比數(shù)列的子數(shù)列研究【探究十】若數(shù)列是首項為，公比是的等比數(shù)列（1）若它是有窮等比數(shù)列，則它的倒序數(shù)列是否為等比數(shù)列？如果是，公比是多少？（2）若數(shù)列每一項都同時乘以一個不為0的常數(shù)c，則新數(shù)列仍是等比數(shù)列么？（3） 若將數(shù)列中的所有奇數(shù)項（偶數(shù)項）取出構(gòu)造一個新數(shù)列，則新數(shù)列仍是等比數(shù)列么？（4）若是首項為，公比是的等比數(shù)列，則、是等比數(shù)列么？（5）數(shù)列是等比數(shù)列么？數(shù)列是等比數(shù)列么？對數(shù)列的子數(shù)列的研究也是近幾年高考的熱點，其對學(xué)生的思維能力提出了很高的要求.所以在教學(xué)中，適當(dāng)滲透一些子數(shù)列的問題，一方面可以加深學(xué)生對等比數(shù)列的認(rèn)識，另一方面可以鞏固用符號語言證明等比數(shù)列的方法.四、教學(xué)反思“概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程”已成為新課程背景下數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的共識.華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所所長崔允漷教授也曾指出：教學(xué)的本質(zhì)在于教師引起、維持和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動.所以這節(jié)課我把學(xué)習(xí)還給學(xué)生，讓學(xué)生自主探究等比數(shù)列的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷用類比的數(shù)學(xué)思想方法研究數(shù)學(xué)問題的一般過程，讓學(xué)生親歷概念的發(fā)源、形成與應(yīng)用過程，而我則把精力放在鼓勵學(xué)生觀察分析、自主探索、合作交流上.在崔允漷教授編制的有效教學(xué)框架中，促使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、提供多樣的學(xué)習(xí)機(jī)會是有效教學(xué)的