擴(kuò)充章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識

1、第一章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識 從可靠性的基本概念及衡量指標(biāo)可知，決定產(chǎn)品可靠性的主要因素往往與一些隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)，故障本身是一個(gè)隨機(jī)事件，故障前的實(shí)際工作時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，導(dǎo)致產(chǎn)品故障的老化過程也是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，評價(jià)產(chǎn)品可靠性的指標(biāo)都具有概率性質(zhì)。為了描述這些隨機(jī)現(xiàn)象并進(jìn)行定量估計(jì)，必須應(yīng)用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識。第一章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識1.1 概率及運(yùn)算規(guī)則1.1.1 概率的基本概念1.1.2 事件的概率1.1.3 概率運(yùn)算的基本法則1.2 隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征1.2.1 離散型隨機(jī)變量的概率分布1.2.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布1.2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.

2、3 常用的概率分布(1) 二項(xiàng)分布(2) 多項(xiàng)分布 (3) 泊松分布(4) 均勻分布(5) 指數(shù)分布 (6) 正態(tài)分布(7) 對數(shù)正態(tài)分布(8) 威布爾分布(9) 各概率分布的數(shù)字特征1.4 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1.4.1 統(tǒng)計(jì)量及其特性1.4.2 分布參數(shù)的估計(jì)1.4.3 總體的分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1.1 概率及運(yùn)算法則1.1.1概率的基本概念1.隨機(jī)事件在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，為了揭示某種偶然現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，人們往往要進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)。如果試驗(yàn)具有以下特性：可以在相同的條件下重復(fù)的進(jìn)行；每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。那么，我們將這

3、種試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)。在隨機(jī)試驗(yàn)中，對一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的現(xiàn)象，成為隨機(jī)事件，簡稱事件。機(jī)械零件的疲勞和磨損失效就是典型的隨機(jī)事件。1.1.1概率的基本概念2.事件的關(guān)系與運(yùn)算事件和若事件C發(fā)生表示A與B至少有一個(gè)發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的和，記為C=AB或C=A+B。同理，如果事件如汽車不能行駛的事件為C，設(shè)A為發(fā)動(dòng)機(jī)故障，B為傳動(dòng)裝置故障，則C=A+B。事件積若事件A與B同時(shí)發(fā)生，事件C才發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的積，記為C=AB或C=AB。一般的說，事件如自行車制動(dòng)失靈的事件為C，設(shè)前閘故障為A，后閘故障為B，則CAB。1.

4、1.1概率的基本概念互不相容事件(互斥事件) 如果事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B的不發(fā)生(即事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生)，就稱A和B是互不相容事件，也稱為互斥事件。對立事件 如果事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，但是事件A與事件B又必定發(fā)生其中之一，則稱事件B為事件A的對立事件，記為獨(dú)立事件 若事件A的出現(xiàn)與否與事件B的出現(xiàn)與否無關(guān)，則稱事件A對事件B是獨(dú)立事件。如10個(gè)產(chǎn)品中有一個(gè)次品，作不放回抽樣試驗(yàn)，每次抽一個(gè)，共抽兩次。若第一次抽到次品的事件記為A，第二次抽到次品的事件記為B，顯然A發(fā)生與B無關(guān)，而B的發(fā)生與否與A的發(fā)生與否有關(guān)，這時(shí)稱A對B獨(dú)立，而B對A是不獨(dú)立事件。或1.1 概率及運(yùn)算法則1.1

5、.2事件的概率事件的概率：隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，稱為事件的A概率，記為P(A)。事件的概率介于0和1之間。概率的計(jì)算有兩種方法：1.直接計(jì)算法如果對事件A進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，各個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性相等，則此事件A的概率，等于事件A可能發(fā)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)m和實(shí)驗(yàn)結(jié)果總數(shù)n的比。即：例如100件產(chǎn)品有15個(gè)合格品，從中任抽一臺為不合格品的機(jī)會是相等的，故任抽一臺為不合格品的概率為15/100=0.15。1.1.2 事件的概率2.統(tǒng)計(jì)法當(dāng)各個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不具有等可能的結(jié)果時(shí)，若實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，可以用事件的頻率P* 作為事件的概率，這就是概率計(jì)算的統(tǒng)計(jì)法。表示為：例如，射手用手槍在25m處對運(yùn)動(dòng)靶射擊，發(fā)

6、射10組子彈，每組10發(fā)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表2-1所示，求中靶的概率。8910891078109命中10987654321組號表1-11.1.2 事件的概率解：設(shè)事件A表示中靶，共發(fā)射1010發(fā)子彈，命中數(shù)為(9+10+8+7+10+9+8+10+9+8)，則事件A的頻率為因?yàn)檫@個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字值是從許多次實(shí)驗(yàn)中得出的，所以一般能夠反映射手的實(shí)際水平，可以把它近似作為事件A的概率，即1.1.3 概率運(yùn)算的基本法則1.事件積的概率事件A與事件B同時(shí)出現(xiàn)的概率，用P(AB)表示。若事件A、B為獨(dú)立事件，則有也稱為乘法定律，即兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于兩個(gè)事件分別發(fā)生概率的乘積。若事件A與事件B不相互獨(dú)立時(shí)

7、，則有即事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率乘事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率，反之亦然。1.1.3 概率運(yùn)算的基本法則2.條件概率事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。同樣可以理解P(B|A)的含義。若事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，有即兩事件相互獨(dú)立時(shí)，各事件發(fā)生概率與另外的事件是否發(fā)生無關(guān)。若事件A、B不相互獨(dú)立時(shí)由式(1-4) 得： 或1.1.3 概率運(yùn)算的基本法則這就是貝葉斯(Bayes)定理的一種簡單形式。一般通式為式中 Ai 為 n 個(gè)互不相容事件中的第 i 個(gè)事件。3.事件和的概率事件A或事件B中任一事件發(fā)生的概率，表示為P(A+B)，有1.1.3 概率運(yùn)算

8、的基本法則4.全概率公式1.1.3 概率運(yùn)算的基本法則【例1-1】一種導(dǎo)彈的可靠度為0.85，如兩發(fā)導(dǎo)彈同時(shí)發(fā)射，至少一發(fā)導(dǎo)彈成功的可靠度是多少(假設(shè)導(dǎo)彈是相互獨(dú)立的)？解：設(shè)第一、二發(fā)導(dǎo)彈發(fā)射成功為事件A、B，則P(A)=P(B)=0.85則至少一發(fā)導(dǎo)彈發(fā)射成功的概率為1.2 隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征概率分布是表示隨機(jī)變量 X 所有的可能取值及其與之對應(yīng)的概率P( X )的關(guān)系。按照隨機(jī)變量可能取值的不同，可以分為兩種類型，即離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。1.2.1離散型隨機(jī)變量的概率分布由概率分布的概念可知，離散型隨機(jī)變量的概率分布就是要p1 p2pk Px1 x2xkx

9、1.2.1 離散型隨機(jī)變量的概率分布就可反映離散型隨機(jī)變量取可能值 xi 對應(yīng)的概率 ，上面稱為概率分布列。概率分布列具有以下兩個(gè)性質(zhì)：隨機(jī)變量 X 取任何可能值時(shí)，均有(2)當(dāng)任何事件都可能發(fā)生時(shí)，則概率分布列中隨機(jī)變量 X 所取得的一切可能值的概率和等于1，即1.2.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布先通過下面一個(gè)例子來說明連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的概念。例，若有50個(gè)軸承的壽命試驗(yàn)結(jié)果如表1-2所示，表中給出了每一個(gè)壽命區(qū)間內(nèi)的失效軸承數(shù)，并計(jì)算出相應(yīng)的失效頻率。 可根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出軸承失效數(shù)據(jù)直方圖。劃分更細(xì)，就可得到一條趨于光滑的曲線，這條曲線稱為隨機(jī)變量X 的概率密度曲線f (x)00

10、.040.080.120.180.240.180.100.040.0202469129521011223344556677889910失效頻率失效數(shù)壽命區(qū)間/(10次)表1-21.2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征上面所述的概率分布能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但在實(shí)際問題中，可能不容易求出分布規(guī)律，也可能并不需要知道隨機(jī)變量的分布規(guī)律，而只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了。如在測量某零件的長度時(shí)，由于種種因素的影響，測量到的長度是一個(gè)隨機(jī)變量。一般關(guān)心的是這個(gè)零件的平均長度及測量結(jié)果的精確精度，即要知道測量長度的平均值與離散程度。因此，就需要引進(jìn)一些用來表示平均值和離散程度的量。把描述隨機(jī)變量某些特征

11、的量稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。在可靠性技術(shù)中常用的數(shù)字特征有兩類：1.數(shù)學(xué)期望E(X)數(shù)學(xué)期望是表示概率分布的集中趨勢的特征量。1.2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征總體的數(shù)學(xué)期望E(X)，就是均值，其定義如下：對于連續(xù)型隨機(jī)變量對于離散型隨機(jī)變量樣本的均值，即其算術(shù)平均值為1.2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.方差D(X)與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示概率分布的離散程度的特征量。對于連續(xù)型隨機(jī)變量對于離散型隨機(jī)變量樣本的標(biāo)準(zhǔn)差1.3 常用的概率分布(1)二項(xiàng)分布若一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：事件A和非A(記為 )，且已知P(A)=p，則 ，進(jìn)行 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中事件 X 發(fā)生次數(shù) k 為隨機(jī)變量，且X的

12、分布律為則稱 X 服從二項(xiàng)分布，記為X B(n, p)。有時(shí)人們需要知道在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生次數(shù)X不超過某一給定值m(n)的概率，易知上述分布稱為累積二項(xiàng)分布。1.3常用的概率分布(2)多項(xiàng)分布若一次試驗(yàn)有 k 個(gè)可能結(jié)果：A1 , A2 , , Ak(每次只出現(xiàn)其中之一)，其出現(xiàn)概率分別為 。進(jìn)行 n 次獨(dú)立試驗(yàn)，用隨機(jī)變量 Xi ( i =1,2, ,k )表示Ai (i =1,2, , k )發(fā)生的次數(shù)，則稱X1 , X2 , , Xk 服從多項(xiàng)分布，其分布律為當(dāng)k=2時(shí)，多項(xiàng)分布退化成二項(xiàng)分布。1.3 常用的概率分布(3) 泊松分布泊松定理：設(shè)隨機(jī)變量 Xn(n=1,2,

13、 ) 服從二項(xiàng)分布，其分布律為式中概率 pn是與 n 有關(guān)的數(shù)，又設(shè) npn =0是常數(shù)， 則有設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2, ，而取各個(gè)值的概率為其中0是常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X()。1.3 常用的概率分布(4) 均勻分布若隨機(jī)變量 X 的分布密度為則稱 X 在(a , b)上服從均勻分布。易知，X 的分布函數(shù)為1.3 常用的概率分布(5) 指數(shù)分布若 X 是一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，且有密度函數(shù)為則稱 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為e()，式中為常數(shù)，是指數(shù)分布的失效率。指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的“無記憶性”(6) 正態(tài)分布(高斯分布)若隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)

14、為則稱 X 服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布，并記作 XN(,2)，其中和2分別是 X 的數(shù)學(xué)期望和方差。當(dāng)=0,=1時(shí)的正態(tài)分布 N(0,1) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為分布函數(shù)為(6) 正態(tài)分布(高斯分布)一般，若XN(,2)即 X 具有分布函數(shù)n 個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和仍為正態(tài)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望等于這 n 個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和，其方差等于這 n 個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的方差之和。也就是，若(6) 正態(tài)分布(高斯分布)特別是當(dāng) ，由此可得，n 個(gè)獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量平均值的分布，即這個(gè)結(jié)果在可靠性分析中經(jīng)常用到。1.3 常用的概率分布(7)對數(shù)正態(tài)分布如果隨機(jī)變量 X 的對數(shù)服從正

15、態(tài)分布，即則稱 X 服從對數(shù)正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)為對數(shù)正態(tài)分布是一種應(yīng)用很廣的偏態(tài)分布。經(jīng)驗(yàn)證明，結(jié)構(gòu)或材料的疲勞壽命、緊固件孔的當(dāng)量初始裂紋尺寸等都可以用對數(shù)正態(tài)分布描述。(8)威布爾(Weibull)分布威布爾分布函數(shù)為其中含有三個(gè)參數(shù)位置參數(shù)，又稱最小壽命，0尺度參數(shù)，也稱特征壽命，0形狀參數(shù)，也稱斜率， 0當(dāng)0時(shí)，稱此分布為三參數(shù)威布爾分布。其概率密度函數(shù)為(8)威布爾(Weibull)分布當(dāng)=0時(shí)，便得到所謂雙參數(shù)威布爾分布，其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為威布爾分布也是一種在可靠性工程中得到廣泛使用的偏態(tài)分布。如果說指數(shù)分布常用來描述系統(tǒng)的壽命的話，那么威布爾分布則常用來描述零件的壽

16、命，例如零件的疲勞失效、軸承失效等壽命分布。(9)各種概率分布的數(shù)字特征1.4 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)理變化規(guī)律性的學(xué)科。在可靠性工程中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是進(jìn)行數(shù)據(jù)整理和分析的基礎(chǔ)，其基本內(nèi)容是統(tǒng)計(jì)推斷。實(shí)際上，確定隨機(jī)變量的概率分布并非易事，因?yàn)橥ǔ２豢赡軐ρ芯繉ο蟮目傮w進(jìn)行觀測或試驗(yàn)，只能從中隨機(jī)的抽取一部分子樣進(jìn)行觀測或試驗(yàn)，獲得必要的數(shù)據(jù)，進(jìn)行分析處理，然后對總體的分布類型和參數(shù)進(jìn)行推斷。統(tǒng)計(jì)推斷包括兩類問題： 估計(jì)總體參數(shù)。雖然隨機(jī)變量的總體參數(shù)(如均值)的真值是確定存在的，但實(shí)際上不可能直接求出值，只能通過由樣本數(shù)據(jù)算出的統(tǒng)計(jì)量來加以推斷。 對假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。實(shí)際上常常需要先對

17、總體的概率分布函數(shù)作出假設(shè)，然后通過有樣本數(shù)據(jù)算出的統(tǒng)計(jì)量來對假設(shè)是否正確或擬合良好性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。1.4.1 統(tǒng)計(jì)量及特性從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)子樣x1、x2、xn，它含有母體的各種信息，由子樣x1、x2、xn可構(gòu)成各種統(tǒng)計(jì)量。例如：樣本極差可以粗略的反映總體的分散程度，但不能直接用于估計(jì)總體的方差。1.4.1 統(tǒng)計(jì)量及特性由于子樣來自總體，統(tǒng)計(jì)量的特性不僅與統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)形式有關(guān)，而且與總體的分布有關(guān)。例如，設(shè)總體為正態(tài)分布，即XN(,2)時(shí)，可以證明子樣均值 仍然是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，且說明 的均值與總體均值相同， 的方差是母體方差的1/n。子樣數(shù)增大時(shí)，均值的離散程度減小，子樣均值約接近于總

18、體均值。1.4.2 分布參數(shù)的估計(jì)分布參數(shù)的估計(jì)就是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)已知的總體分布函數(shù)中的未知參數(shù)。由于總體的分布函數(shù)已知，因此分布參數(shù)的估計(jì)也就是估計(jì)總體的真實(shí)分布。1.點(diǎn)估計(jì)對總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，是用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的單一數(shù)值去估計(jì)一個(gè)未知參數(shù)的數(shù)值。如果 X 是一具有概率分布 f (x)的隨機(jī)變量，樣本容量為 n，樣本值為x1、x2、xn ，則與其未知參數(shù)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 稱為的估計(jì)值。這里， 是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)樗菢颖緮?shù)據(jù)的函數(shù)。在樣本已經(jīng)選好之后，就能得到一個(gè)確定的 值，這就是的點(diǎn)估計(jì)。1.4.2 分布參數(shù)的估計(jì)例如，設(shè)隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布，其總體的均值和方差2為未知，但可以證明，樣本的

19、均值 就是未知的母體均值的點(diǎn)估計(jì)，即 。樣本的方差S 2母體方差的 2的點(diǎn)估計(jì)，即2 = S 2 。點(diǎn)估計(jì)應(yīng)當(dāng)盡可能接近未知參數(shù)的真值。當(dāng)滿足下式時(shí)則 是未知參數(shù)的無偏估計(jì)值。2.區(qū)間估計(jì)在實(shí)際問題中，對于未知參數(shù)，并不以求出它的點(diǎn)估計(jì) 為滿足，還希望估計(jì)出一個(gè)范圍，并希望知道這個(gè)范圍內(nèi)包含未知參數(shù)真值得可信程度，這種形式的估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì)。1.4.2 分布參數(shù)的估計(jì)(1)置信度與置信區(qū)間在對產(chǎn)品可靠度估計(jì)時(shí)，通常是對樣品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，以其所得的結(jié)果來估計(jì)總體的可靠度。很顯然，子樣得出的估計(jì)值和總體的真值有一定差異，那么兩者的差異有多大？或者說，對子樣進(jìn)行試驗(yàn)所得出的結(jié)論在多大程度上是可信的？這就是置信度問題。例如，若要找出某種軸承的平均壽命，只能取 n 個(gè)樣品進(jìn)行壽命試驗(yàn)求得平均壽命 ，希望 與盡量接近，即希望 落在(-C/2)與(+C/2)之間。落在該區(qū)間的概率就稱為子樣均值 對于總體均值的置信度，用1-表示。即 稱為顯著性水平，它的值可根據(jù)要求的精度給定，如0.01，0.05等。 (-C/2)，(+C/2)稱為置信區(qū)間。 1.4.2 分布參數(shù)的估計(jì)置信度與可靠度是兩個(gè)不同的概念。置信度是子樣試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算得到的某個(gè)參數(shù)的估計(jì)值(如均值 等)在某區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率；而可靠度則是零件在規(guī)定的條件下和