概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)至

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)至第1頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四13.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 一、正態(tài)變量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第2頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四2 一元統(tǒng)計(jì)中,參數(shù),2的檢驗(yàn)涉及到一個(gè)總體、二個(gè)總體,乃至多個(gè)總體的檢驗(yàn)問(wèn)題; 推廣到p元統(tǒng)計(jì)分析中，類似地對(duì)參數(shù)向量和參數(shù)矩陣涉及到的檢驗(yàn)也有一個(gè)總體、二個(gè)總體,乃至多個(gè)總體的檢驗(yàn)問(wèn)題。 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第3頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四

2、3 在一元統(tǒng)計(jì)中，用于檢驗(yàn), 2的抽樣分布有2分布,t 分布,F分布等,它們都是由來(lái)自總體N(, 2)的樣本導(dǎo)出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量. 推廣到多元統(tǒng)計(jì)分析后，也有相應(yīng)于以上三個(gè)常用分布的統(tǒng)計(jì)量: Wishart,Hotelling T 2,Wilks 統(tǒng)計(jì)量,討論這些統(tǒng)計(jì)量的分布是多元統(tǒng)計(jì)分析所涉及的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的基礎(chǔ).第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第4頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四4 設(shè)Xi N1(i ,2)(i =1,.,n),且相互獨(dú)立，記第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型一般情況(i 0，2 1時(shí)),結(jié)論1第5

3、頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四5 結(jié)論2 當(dāng)i0(i=1,n),2 =1時(shí),XX的分布常稱為非中心2分布. 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型 設(shè)n維隨機(jī)向量XNn(,In) (0),則稱隨機(jī)變量XX為服從 n個(gè)自由度,非中心參數(shù)的2分布，記為 第6頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四6第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型則 結(jié)論3 設(shè)XNn(0 ,2In), A為n階對(duì)稱方陣, rk(A)= r,則 二次型 XAX/22(r) A2A(A為對(duì)

4、稱冪等陣).特例:當(dāng)A=In時(shí),第7頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四7 證明 (充分性)因A為對(duì)稱冪等陣，而對(duì)稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正交陣(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型第8頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四8第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型必要性證明不要求(利用特征函數(shù)).第9頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四9第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.

5、1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型則(必要性) 因A為對(duì)稱陣，所以存在正交陣使: Adiag(1,r，00).令 Y= X N（0,2 In ）,X=Y 且Y1，Yr相互獨(dú)立同N(0,2)分布.故而 第10頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四10第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型(i1,r),且相互獨(dú)立.又已知XAX/22(r)，故的特征函數(shù)為 (1-2it)- r /2 Zi=i Zi的特征函數(shù)為(1-2iit)- 1 /2,又 Z1 Z2 . Zr且相互獨(dú)立.故有第11頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5

6、月20日，6點(diǎn)10分，星期四11第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型diag(1,1,0,0)=A =AA =A2故 AA2，即A為對(duì)稱冪等陣. 利用同分布的特征函數(shù)相同可得出 1r=1 .第12頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四12第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型 結(jié)論4 設(shè)XNn(,2In), A為對(duì)稱陣,且rk(A)=r, 則二次型 A2A(A為對(duì)稱冪等陣).(充分性的證明類似于結(jié)論3中充分性的證明方法,必要性證明不要求)第13頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5

7、月20日，6點(diǎn)10分，星期四13 證明 (充分性)因A為對(duì)稱冪等陣，而對(duì)稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正交陣(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型第14頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四14第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型第15頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四15第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型其中非中心參數(shù)為第16頁(yè)，共81頁(yè)，2

8、022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四16第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-非中心 t 分布和F分布第17頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四17第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-非中心t分布的應(yīng)用 一元統(tǒng)計(jì)中，關(guān)于一個(gè)正態(tài)總體N(,2)的均值檢驗(yàn)中，檢驗(yàn)H0：0時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量否定域?yàn)閨T|，其中滿足： P|T|=(顯著性水平).第18頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四18第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-非中心t分布的應(yīng)用 當(dāng)否定H0時(shí)，可能犯第一類錯(cuò)誤，且

9、第一類錯(cuò)誤的概率P“以真當(dāng)假” P|T|0 顯著性水平.當(dāng)H0相容時(shí)，可能犯第二類錯(cuò)誤，且 第二類錯(cuò)誤的概率P“以假當(dāng)真” P|T|=1 0 =.此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tt(n-1,),利用非中心 t分布可以計(jì)算第二類錯(cuò)誤的值.第19頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四19第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布(威沙特分布) Wishart分布是一元統(tǒng)計(jì)中2分布的推廣.多元正態(tài)總體Np(,)中,常用樣本均值向量X作為的估計(jì)，樣本協(xié)差陣SA/(n-1)作為的估計(jì).由第二章的定理2.5.2已給出了XNp(,/n).S?. 一元統(tǒng)計(jì)中，用樣本方

10、差作為2的估計(jì)，而且知道第20頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四20第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布(威沙特分布) 推廣到p元正態(tài)總體,樣本協(xié)差陣SA/(n-1) 及隨機(jī)矩陣A(離差陣)的分布是什么? 設(shè)X() (1,n)為來(lái)自Np(0,)的隨機(jī)樣本,考慮隨機(jī)矩陣的分布.當(dāng)p=1時(shí)，第21頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四21第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布(威沙特分布) 推廣到p維正態(tài)總體時(shí)，隨機(jī)矩陣W的分布是什么? 設(shè)X() Np(0,) (1,n

11、)相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)矩陣的分布為Wishart分布(威沙特分布)，記為WWp(n,).顯然p=1時(shí) , 即第22頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四22第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布(威沙特分布) 一般地,設(shè)X()Np(,) (1,n) 相互獨(dú)立,記則稱WXX服從非中心參數(shù)為的非中心Wishart分布,記為WWp(n,).其中第23頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四23第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布(威沙特分布) 當(dāng)X()Np( ,) (1,n) 相

12、互獨(dú)立時(shí)，非中心參數(shù)這里其中p為隨機(jī)矩陣W的階數(shù),n為自由度,一元統(tǒng)計(jì)中的2對(duì)應(yīng)p元統(tǒng)計(jì)中的協(xié)差陣.第24頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四24第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)X()Np(,) (1,n)相互獨(dú)立，則樣本離差陣A服從Wishart分布，即 證明 根據(jù)第二章2.5的定理2.5.2知而ZNp(0,)(=1,n-1)相互獨(dú)立,由定義 3.1.4可知AWp(n-1,).第25頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四25第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-

13、Wishart分布的性質(zhì) 由于Wishart分布是2分布的推廣,它具有2分布的一些性質(zhì). 性質(zhì)2 關(guān)于自由度n具有可加性：設(shè)Wi Wp(ni,) (i1,k)相互獨(dú)立，則 性質(zhì)3 設(shè)p階隨機(jī)陣WWp(n,), C是mp常數(shù)陣,則m階隨機(jī)陣CWC也服從Wishart分布,即CWCWm(n,CC).第26頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四26第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布的性質(zhì)證明其中 ZNp(0,)(=1,n)相互獨(dú)立.令Y=CZ,則YNm(0,CC). 故 由定義有:第27頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分

14、，星期四27第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布的性質(zhì) aWWp(n,a) (a0，為常數(shù)). 在性質(zhì)3 中只須取Ca1/2 Ip，即得此結(jié)論.特例： 設(shè)l(l1,lp)，則 lWl W1 (n,ll),即 22(n) (其中2ll). 在性質(zhì)3中只須取Cl,即得此結(jié)論.第28頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四28第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布的性質(zhì) 性質(zhì)4 分塊Wishart矩陣的分布:設(shè)X() Np(0,) (1,n)相互獨(dú)立，其中又已知隨機(jī)矩陣則第29頁(yè)，共81頁(yè)，20

15、22年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四29第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布的性質(zhì) 性質(zhì)5 設(shè)隨機(jī)矩陣WWp(n,)，記則相互獨(dú)立。其中(性質(zhì)5,性質(zhì)7和性質(zhì)8不要求)第30頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四30第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布-Wishart分布的性質(zhì) 性質(zhì)6 設(shè)隨機(jī)矩陣WWp(n,)，則 E(W)n.證明:由定義3.1.4,知其中ZNp(0,)(=1,n)相互獨(dú)立.則第31頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四31第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾

16、個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布 一元統(tǒng)計(jì)中, 若XN(0,1), 2(n) ,X與 相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量下面把 的分布推廣到p元總體. 設(shè)總體XNp(0,)，隨機(jī)陣W Wp(n,),我們來(lái)討論T2nXW -1 X的分布.第32頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四32第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布 設(shè)XNp(0,),隨機(jī)陣WWp(n,) (0, np),且X與W相互獨(dú)立, 則稱統(tǒng)計(jì)量T2nXW-1 X 為Hotelling T2 統(tǒng)計(jì)量,其分布稱為服從n個(gè)自由度的T2 分布,記為T2 T2

17、 (p,n). 更一般地,若XNp(,) (0),則稱T2 的分布為非中心Hotelling T2 分布，記為 T2 T2 (p,n,).第33頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四33第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)X() Np(,) (1,n) 是來(lái)自p元總體Np(,)的隨機(jī)樣本, X和A分別為總體Np(,)的樣本均值向量和離差陣,則統(tǒng)計(jì)量事實(shí)上,因 第34頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四34第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotel

18、ling T 2分布的性質(zhì) 而AWp(n-1,),且A與X相互獨(dú)立.由定義 3.1.5知第35頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四35第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 性質(zhì)2 T2與F分布的關(guān)系:設(shè)T2T2 (p,n)， 則在一元統(tǒng)計(jì)中第36頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四36第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì)當(dāng)p=1時(shí),一維總體XN(0,2)，所以 注意:因這是性質(zhì)2的特例:即p=1時(shí),T2F(1,n).第37頁(yè)

19、，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四37第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì)一般地：(性質(zhì)2的嚴(yán)格證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)2)其中X-1 X2(p,) (0)，還可以證明2(n-p+1),且與獨(dú)立.第38頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四38第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 性質(zhì)3 設(shè)XNp(,), 隨機(jī)陣WWp(n,) (0, np),且X與W相互獨(dú)立, T2nXW -1 X為非中心Hotelling T2 統(tǒng)計(jì)量(T2 T2

20、(p,n,). 則其中非中心參數(shù) . 第39頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四39第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 或 性質(zhì)3 設(shè)X() Np(,) (1,n) 是來(lái)自p元總體Np(,)的隨機(jī)樣本, X 和A分別為樣本均值向量和離差陣.記第40頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四40第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 一元統(tǒng)計(jì)中(p=1時(shí)),t 統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)2無(wú)關(guān).類似地有以下性質(zhì).性質(zhì)4 T2統(tǒng)計(jì)量的分布只與p,n

21、有關(guān),而與無(wú)關(guān). 即第41頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四41第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 事實(shí)上,因XNp(0,) (0),WWp(n,),則-1/2XNp(0,Ip)，因此第42頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四42第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 性質(zhì)5 在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)計(jì)量保持不變 設(shè)X() (1,n) 是來(lái)自p元總體Np(,)的隨機(jī)樣本, Xx和Ax分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和離

22、差陣,則由性質(zhì)1有第43頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四43第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.1 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布- Hotelling T 2分布的性質(zhì) 令其中C是pp非退化常數(shù)矩陣，d是p1常向量。則可證明：第44頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四44第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 在多元統(tǒng)計(jì)分析中,考慮的總體是p維正態(tài)總體Np(,),關(guān)于均值向量的檢驗(yàn)問(wèn)題經(jīng)常是需要的. p元正態(tài)隨機(jī)向量的每一個(gè)分量都是一元正態(tài)變量,關(guān)于均值向量的檢驗(yàn)問(wèn)題能否化為 p個(gè)一元正態(tài)的均值檢驗(yàn)問(wèn)題呢?顯然這是不完全的.因?yàn)閜個(gè)

23、分量之間往往有互相依賴的關(guān)系,分開(kāi)作檢驗(yàn),往往得不出正確的結(jié)論.但我們可以構(gòu)造出類似于一元統(tǒng)計(jì)中的統(tǒng)計(jì)量,用來(lái)對(duì)均值向量進(jìn)行檢驗(yàn).第45頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四45第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)關(guān)于均值向量的檢驗(yàn)包括: 一個(gè)p元正態(tài)總體Np (,),檢驗(yàn) H0: 0; 二個(gè)p元正態(tài)總體Np(1,1)和Np (2,2)，檢驗(yàn)H0: 12 k個(gè)p元正態(tài)總體Np(i,)(i1,k),當(dāng)協(xié)差陣相等時(shí)檢驗(yàn)k個(gè)均值向量是否全相等(即多元方差分析).第46頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四46第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)

24、檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 設(shè)總體XNp(,),隨機(jī)樣本X() (1,n).檢驗(yàn)H0: 0 (0為已知向量),H1: 01. 當(dāng)0已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)利用二次型分布的結(jié)論(“2.結(jié)論1”)知第47頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四47第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 按傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法,對(duì)給定的顯著水平,查2分布臨界值表得 :第48頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四48第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 由樣本值x() (1,n),計(jì)算X及T20值,若T20 ,則否定H0,否

25、則H0相容. 利用統(tǒng)計(jì)軟件(如SAS系統(tǒng)),還可以通過(guò)計(jì)算顯著性概率值(p值)給出檢驗(yàn)結(jié)果,且由此得出的結(jié)論更豐富. 假設(shè)在H0成立情況下,隨機(jī)變量T20 2(p),由樣本值計(jì)算得到T20的值為d,可以計(jì)算以下概率值： p=P T20 d ,常稱此概率值為顯著性概率值，或簡(jiǎn)稱為p值.第49頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四49第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 對(duì)給定的顯著性水平,當(dāng)p值時(shí)(即d值大,X與偏差大),則在顯著性水平下否定假設(shè)H0 ；在這種情況下,可能犯“以真當(dāng)假”的第一類錯(cuò)誤,且就是犯第一類錯(cuò)誤的概率. 當(dāng)p值時(shí)(即d值小, X與

26、偏差小),則在顯著性水平下H0相容；在這種情況下，可能犯“以假當(dāng)真”的第二類錯(cuò)誤,且犯第二類錯(cuò)誤的概率為 =P T20 |當(dāng)=10 ,其中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T20 2(p,),非中心參數(shù) =n(1 - 0)(0 )-1(1 - 0 ).第50頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四50第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) p值的直觀含義可以這樣看,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T20的大小反映X與0的偏差大小,當(dāng)H0成立時(shí)T20 值應(yīng)較小.現(xiàn)在由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算T20值為d；當(dāng)H0 成立時(shí)統(tǒng)計(jì)量T20 2(p),由2分布可以計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量d的概率值(即p值). 比如p值=0.02=0.

27、05,表示在 0的假設(shè)下，觀測(cè)數(shù)據(jù)中極少會(huì)出現(xiàn)T20的值大于等于d值的情況，故在0.05的水平下有足夠的證據(jù)否定原假設(shè)，即認(rèn)為與0 有顯著地差異.第51頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四51第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 又比如當(dāng)p值=0.22=0.05時(shí),表示在0的假設(shè)下，觀測(cè)數(shù)據(jù)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)T20的值大于等于d值的情況，故在0.05的水平下沒(méi)有足夠的證據(jù)否定原假設(shè)， 即認(rèn)為與0 沒(méi)有顯著地差異.第52頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四52第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn) 2. 當(dāng)未知時(shí)

28、均值向量的檢驗(yàn) 當(dāng)p=1時(shí)(一元統(tǒng)計(jì))，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 或等價(jià)地取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 第53頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四53第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)推廣到多元,考慮統(tǒng)計(jì)量因離差陣第54頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四54第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)由定義3.1.5可知利用T 2與F分布的關(guān)系，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為第55頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四55第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例 例3.2.1 人的出汗多少與人體內(nèi)鈉和鉀的含

29、量有一定的關(guān)系.今測(cè)量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、鈉的含量(X2)和鉀的含量(X3)(數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.1).試檢驗(yàn) H0:=0=(4,50,10)， H1: 0 . 第56頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四56第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例 解 記隨機(jī)向量X= (X1,X2,X3),假定XN3(,) . 檢驗(yàn) H0: 0， H1：0 .取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為由樣本值計(jì)算得:第57頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四57第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例第58頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20

30、日，6點(diǎn)10分，星期四58第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例 對(duì)給定=0.05,按傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法,可查F分布臨界值表得=F3,17(0.05)=3.2,比較由樣本值計(jì)算得到的F值及臨界值,因F值=2.90453.2,故H0相容. 利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí),首先計(jì)算p值(此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FF(3,17)： p=PF2.9045=0.06493 .因p值=0.064930.05=,故H0相容.在這種情況下，可能犯第二類錯(cuò)誤,且第二類錯(cuò)誤的概率為 =P F3.2|=X =0.3616(假定總體均值=10,取1=X).第59頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星

31、期四59第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例proc iml; n=20; p=3; m0=4 50 10; use d321; /* 使用SAS數(shù)據(jù)集d321中的3個(gè)變量 */ xa=x1 x2 x3; read all var xa into x; /* 把 d321中三個(gè)變量的所有觀測(cè)數(shù)據(jù)讀入矩陣X */ ln=20 1 ; /* 行向量ln由20個(gè)均為1的元素組成*/ x0=(ln*x)/n ; /* 計(jì)算樣本均值行向量X */ xm=x0-m0; 以上計(jì)算結(jié)果可以用SAS/IML計(jì)算,SAS程序如下(假設(shè)表3.1的數(shù)據(jù)已生成名為d321的SAS數(shù)據(jù)集)：(

32、yydy321a.sas)第60頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四60第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例 mm=i(20)-j(20,20,1)/n; /*計(jì)算矩陣(In-J/n) */ a=x*mm*x; /* x表示計(jì)算矩陣X的轉(zhuǎn)置 */ ai=inv(a); /* 計(jì)算樣本離差陣A和A的逆 */ dd=xm*ai*xm; d2=dd*(n-1); t2=n*d2; /*計(jì)算D2和T2 */ f=(n-p)*t2/(n-1)*p); /*計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值 */ print x0 a ai d2 t2 f; /*輸出有關(guān)計(jì)算結(jié)果 */ p

33、0=1-probf(f,p,n-p); /* 計(jì)算顯著性概率值(p值) */ fa=finv(0.95,3,17); /* 計(jì)算=0.05的臨界值 */ beta=probf(fa,p,n-p,t2); /* 計(jì)算第二類錯(cuò)誤值 */ print p0 beta;run;第61頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四61第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例 proc iml; n=20; p=3; x=3.7 48.5 9.3 , 5.7 65.1 8.0 , 3.8 47.2 10.9 , 3.2 53.2 12.0 , 3.1 55.5 9.7 ,

34、 4.6 36.1 7.9 , 2.4 24.8 14.0 , 7.2 33.1 7.6 , 6.7 47.4 8.5 , 5.4 54.1 11.3 , 3.9 36.9 12.7 , 4.5 58.8 12.3 , 3.5 27.8 9.8 , 4.5 40.2 8.4 , 1.5 13.5 10.1 , 8.5 56.4 7.1 , 4.5 71.6 8.2 , 6.5 52.8 10.9 , 4.1 44.1 11.2 , 5.5 40.9 9.4 ; m0=4 50 10; ln=20 1 ; x0=(ln*x)/n; print x0; 解二: (yydy321b.sas)第62頁(yè)

35、，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四62第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.2 單總體均值向量的檢驗(yàn)例 xm=x0-m0; print xm; mm=i(20)-j(20,20,1)/n; a=x*mm*x; print a; ai=inv(a); print ai; dd=xm*ai*xm; d2=(n-1)*dd; t2=n*d2; f=(n-p)*t2/(n-1)*p); print dd d2 t2 f; p0=1-probf(f,p,n-p); print p0; fa=finv(0.95,p,n-p); beta=probf(fa,p,n-p,t2); prin

36、t fa beta;run;第63頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四633.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 設(shè)X()(=1,n)為來(lái)自p元正態(tài)總體Np(,)(0未知)的隨機(jī)樣本,檢驗(yàn) H0: 0(00為已知陣)，H1:0 1. 當(dāng)0 Ip時(shí)檢驗(yàn)H0:Ip，H1:Ip 利用似然比原則來(lái)導(dǎo)出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1 當(dāng)Ip成立時(shí),似然函數(shù)L(,Ip)在X達(dá)最大值.附錄第64頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四64第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 所以似然比統(tǒng)計(jì)量 其中 第65頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，

37、星期四65第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 利用定理3.2.1可知,當(dāng)n很大且H0成立時(shí), =-2ln1的近似分布為2(p(p+1)/2)，參數(shù)空間的維數(shù)為p+p(p+1)/2,而0的維數(shù)為p,故卡方分布的自由度為p(p+1)/2. 取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,按傳統(tǒng)檢驗(yàn)方法,對(duì)給定顯著性水平,否定域?yàn)?2,其中2 滿足：P 2 =.第66頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四66第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 2. 當(dāng)0 I p時(shí)檢驗(yàn)H0 :0 ,H1 :0 因00，存在p階非退化陣D，使D0DI p，

38、 令 Y()=DX ()(1,n)，則Y()N p(D，DD)=N p(*，*)檢驗(yàn)H 0 :0 H0 :* I p 從新樣本Y()(=1,n)出發(fā)，檢驗(yàn)H0：*Ip的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為記為第67頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四67第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 其中 若注意到D0DI p ,即第68頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四68第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 研究似然比統(tǒng)計(jì)量2的抽樣分布是很困難的.通常根據(jù)定理3.2.1由2的近似分布來(lái)構(gòu)造檢驗(yàn)法. 當(dāng)樣本容量

39、n很大，在H0成立時(shí)，-2ln2 的極限分布為2(p(p+1)/2). 除此外在不同適用范圍下還有其它近似分布可用來(lái)構(gòu)造檢驗(yàn)法.則似然比統(tǒng)計(jì)量2還可以表示為 第69頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四69第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 3. 檢驗(yàn)H0：20 (2 未知) 當(dāng)0 Ip 時(shí)此檢驗(yàn)常稱為球性檢驗(yàn).利用似然比原則來(lái)導(dǎo)出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3： 當(dāng)2給定時(shí),似然函數(shù)L(,20)在=X達(dá)最大值,且第70頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四70第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正態(tài)總體 可得出 第71頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)10分，星期四71第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3.3 協(xié)差陣的檢驗(yàn)-單個(gè)p元正