高等數(shù)學(xué)課件：8-1數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、8.1 數(shù) 項(xiàng) 級 數(shù)1無窮級數(shù)的基本概念無窮級數(shù):設(shè)給定一數(shù)列 (1)稱為無窮級數(shù) , 記作而 an 稱為無窮級數(shù) (1) 的通項(xiàng) 無窮級數(shù) (1) 的部分和數(shù)列:我們稱形成的數(shù)列 為無窮級數(shù) (1) 的部分和數(shù)列 定義 ( 無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散 )說明: 若級數(shù) 的部分和數(shù)列 收斂于有限值 S ,即則稱級數(shù) 收斂 , 并把部分和的極限值 S 稱為級數(shù) 的和 , 如果部分和數(shù)列 無極限, 則稱級數(shù) 發(fā)散 即表示一有限數(shù) (1) 若級數(shù)收斂 , 則其和為若級數(shù) 發(fā)散, 即極限 不存在此時級數(shù) 不表示任何意義 (2) 注意收斂數(shù)列與級數(shù)收斂的區(qū)別:級數(shù)收斂:( 級數(shù) 的和是其部分和數(shù)列 的極限

2、)收斂數(shù)列:( 數(shù)列 以 a 為極限 )解 所以原級數(shù)收斂 , 且有討論級數(shù) 的斂散性例解當(dāng) 時,此時級數(shù)收斂且有和討論等比級數(shù) 的斂散性 ( a 0 ) 例當(dāng) 時,級數(shù)發(fā)散 當(dāng) 時,級數(shù)發(fā)散當(dāng) 時,不存在級數(shù)發(fā)散論級數(shù) 的斂散性的方法就成為研究無窮級數(shù)根據(jù)定義來討論無窮級數(shù) 的斂散性 , 將面臨部分和數(shù)列 Sn 的計算 ( 即 n 項(xiàng)求和問題 ) .于是研究出不從定義出發(fā) ( 從而回避 Sn 的計算) 討 問題的關(guān)鍵 .為此我們先討論無窮級數(shù)的一些基本性質(zhì) 從上面例子可知:級數(shù)的第 n 項(xiàng)后的余式:(2)性質(zhì)1 如果級數(shù) 收斂, 則它的任何一個余式(2)也收斂; 反之, 從余式 (2) 的收

3、斂性可推出原級數(shù)的收斂性 設(shè) 收斂于 S , 分別記 的部分和數(shù)列為 , 的部分和數(shù)列為 , 則證明余式 余式 收斂反之 設(shè)余式 (2) 收斂, 則收斂說明:級數(shù)的斂散性這同樣說明: 在級數(shù)的前面增加有限項(xiàng)也不改變此性質(zhì)說明: 截去級數(shù)前面的有限項(xiàng)不改變級數(shù)的斂散性 改變級數(shù) 的有限項(xiàng) , 不改變級數(shù)的斂散性 性質(zhì) 2若級數(shù) 收斂 , 則有(1) 也收斂且 (2) 也收斂且 性質(zhì) 3證明設(shè) 的 n 項(xiàng)部分和為 Sn , 的 n 項(xiàng)部分和為 An , Bn ,(2)( 級數(shù)收斂的必要條件 )設(shè) , 則有 若級數(shù) 收斂 , 則有性質(zhì)4證明則由知 級數(shù) 發(fā)散 判別級數(shù) 的斂散性 例解由于其 n 項(xiàng)部

4、分和 Sn 滿足判別級數(shù) 的斂散性 例解發(fā)散在此例中, 雖然但級數(shù) 是發(fā)散的, 所以收斂說明: 只是級數(shù) 收斂的必要條件 ,不是充分條件注意:性質(zhì) 5 設(shè)則在 中任意添加括號形成一新級數(shù) 也收斂 , 并且有證明設(shè)在 中任意添加括號后 , 形成的新級數(shù)為 ,其部分和數(shù)列為 ,而 的部分和數(shù)列為 , 則有由據(jù)極限性質(zhì)知其子數(shù)列 也有極限 , 而且說明:(1) 此性質(zhì)說明: 對收斂級數(shù)可任意加括號并且不改變其和 (2) 對收斂級數(shù)不能去括號反例:收斂級數(shù)去括號后:發(fā)散級數(shù)(3) 對發(fā)散級數(shù)加括號會改變其斂散性 (見上反例) 判別調(diào)和級數(shù) 的斂散性 例解順次將級數(shù)的 1 項(xiàng) , 2項(xiàng) , 項(xiàng) , 項(xiàng)

5、,括在一起構(gòu)成一新的級數(shù)則有并且當(dāng) n 1 時 , 有( 項(xiàng) )據(jù)收斂級數(shù)的必要條件知 發(fā)散 再根據(jù)性質(zhì) 5 知原級數(shù) 發(fā)散 2 正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)：對于級數(shù) , 如果則稱此級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù) 設(shè)級數(shù) 是正項(xiàng)級數(shù) , 則由知 Sn 單調(diào)上升 單調(diào)上升數(shù)列 Sn 有極限 Sn 有上界 這就將極限 的存在性問題轉(zhuǎn)化為 Sn 有無上界的問題 定理 ( 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件 )正項(xiàng)級數(shù) 收斂 Sn 有上界 說明:正項(xiàng)級數(shù)的這一重要性質(zhì) , 將級數(shù)的審斂問題 ( 即 的存在性問題 ) 等價地轉(zhuǎn)化為判別 Sn 有無上界的問題 , 而判別 Sn 有無 上界的問題相對判別極限 的存在性要方便許多 討論級數(shù) 的斂散

6、性 例解級數(shù) 稱為 p 級數(shù) 當(dāng) p = 1 時 , 原級數(shù)即為調(diào)和級數(shù) , 所以發(fā)散 .當(dāng) p 1 時 ,設(shè) p = 1+ ( 0 ) , 由于對任意2 項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng)所以 有上界 級數(shù) 收斂 綜上所述有以下結(jié)論:收斂 , 當(dāng) p 1 時 ;發(fā)散 , 當(dāng) p 1 時 定理 ( 正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法 )設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù) (1) 若對某 N 0 , 當(dāng) n N 時 , an bn , 而級數(shù)收斂 , 則級數(shù) 收斂 (2) 若對某 N 0 , 當(dāng) n N 時 , 0 bn an , 而級數(shù) 發(fā)散 , 則級數(shù) 發(fā)散 證明只需考慮余和 的斂散性 (1) 由 n N 時 , bn an 0 , 得 因?yàn)?收斂

7、 余和 收斂 ,于是余和的部分和數(shù)列有上界 收斂 收斂 (2) 反證法 . 設(shè) 收斂 收斂 由 (1) 知 收斂 收斂 ,矛盾 討論級數(shù) 的斂散性 例解如果 0 1 , 則由及 收斂 , 據(jù)比較判別法知 收斂 討論級數(shù) 的斂散性 例解因?yàn)楫?dāng) x 0 時 , x sinx而級數(shù) 收斂 收斂 據(jù)比較判別法知原級數(shù) 收斂 定理 ( 比較判別法的極限形式 )設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù) , 如果極限則(1) 當(dāng) K 0 時 , 可從 的發(fā)散性 的發(fā)散性 (3) 當(dāng) 0 K 0 , 當(dāng) n N 時 , 有現(xiàn) 收斂 收斂收斂(2) 由存在 N 0 , 當(dāng) n N 時,有現(xiàn) 發(fā)散發(fā)散發(fā)散說明:此定理能否應(yīng)用的關(guān)鍵在于比較

8、級數(shù)的選取 對 bn 的要求是:(1) an = O( bn )(2) 的斂散性已知 通?？扇?這里 p 的確定可通過估計無窮小 an 關(guān)于基本無窮小 的階數(shù)來完成 , 即選取 p 使 或者 由于 的斂散情況已知 , 據(jù)定理推得原級數(shù)的斂散情況 討論級數(shù) 的斂散性 例解(1)而 發(fā)散 , 據(jù)比較判別法的極限形式知原級數(shù)發(fā)散 (2) 而 發(fā)散 ,據(jù)比較判別法知原級數(shù) 發(fā)散 判別級數(shù) 的斂散性 例解因?yàn)樗袁F(xiàn) 收斂 原級數(shù) 收斂 定理 ( 達(dá)朗貝爾判別法 )設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù) , 當(dāng) n N 時 , an 0 , 且 (1) 如果 1 , 則 發(fā)散 ; (3) 如果 = 1 , 則對 的斂散性無明確結(jié)

9、論 證明(1)取定由存在 N 0 , 當(dāng) n N 時有現(xiàn) 收斂 收斂 (2) 如果 1 , 則根據(jù)極限的性質(zhì) , 存在 N 0 ,使當(dāng) n N 時 , 有從而有 級數(shù) 發(fā)散 (3) 對于 p- 級數(shù)而當(dāng) p 1 時 , 級數(shù)收斂 , 當(dāng) p 1 時級數(shù)發(fā)散 判別級數(shù) 的斂散性 例解當(dāng) a = 0 時 , 級數(shù)收斂 當(dāng) a 0 時 , 由據(jù)達(dá)朗貝爾判別法知 , 原級數(shù)收斂 解判別級數(shù)例的斂散性 由于據(jù)達(dá)朗貝爾判別法知 , 原級數(shù)收斂 據(jù)達(dá)朗貝爾判別法知 , 原級數(shù)收斂 判別級數(shù) 的斂散性 例解定理 ( 柯西(cauchy) 判別法 )設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù) , 如果 則 (1) 如果 1 , 則 發(fā)散

10、; (3) 如果 = 1 , 則對 的斂散性無明確結(jié)論 證明(1) 由對于 存在 N 0 ,使當(dāng) n N 時 , 有據(jù)比較判別法知 , 收斂 討論級數(shù) 的斂散性 例解據(jù)柯西判別法知 , 原級數(shù)收斂 證明記 由 f ( t ) 連續(xù)單調(diào)減 , F(x)為 x 的單調(diào)增函數(shù) . 又 f (x) 單調(diào)減 定理 ( 積分判別法 ) 若存在單調(diào)下降的連續(xù)函數(shù) f (x) 使 f (n) = an , 則 與廣義積分 具有相同的斂散性 設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù) ,若 收斂的部分和有上界收斂若 發(fā)散 , 由于及的部分和無界 發(fā)散綜上所述 , 與 具有相同的斂散性 討論級數(shù) 的斂散性 例解取 , 則 且對任意的 p R

11、 , 當(dāng) x 充分大時 , f (x) 是非負(fù)且單調(diào)減的 .當(dāng) p 1 時 ,收斂 收斂 當(dāng) p 1 時 ,發(fā)散 發(fā)散 討論級數(shù) 的斂散性 例解由于 據(jù)比較判別法知級數(shù) 發(fā)散 注意:由 發(fā)散若用達(dá)朗貝爾判別法無結(jié)論 判別級數(shù) 的斂散性 例解由于 據(jù)比較判別法知原級數(shù)收斂 討論級數(shù) 的斂散性 例解又有界 存在 A 0 使 又 收斂 , 據(jù)比較判別法知原級數(shù)收斂 例試證 , 若正項(xiàng)級數(shù) 收斂 , 則級數(shù)也收斂 . 反之 , 若 收斂 , 問 是否也收斂 ? 又若 an 單調(diào)下降且級數(shù) 收斂,問級數(shù) 是否收斂 ? 解(1) 因?yàn)橛?收斂收斂 由比較判別法知 收斂 (2) 不一定, 考察級數(shù)則收斂,

12、而原級數(shù)是發(fā)散的 (3) 若 an 單調(diào)下降, 則由 收斂 據(jù)比較判別法知收斂30 任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂:定理絕對收斂級數(shù) 必收斂 證明由 收斂收斂收斂收斂 收斂時, 則稱級數(shù) 絕對收斂 對于級數(shù) , 若正項(xiàng)級數(shù)本段討論任意項(xiàng)級數(shù) 的審斂問題 說明：此定理提供了任意項(xiàng)級數(shù)審斂的一種方法:考察它是否絕對收斂 .此時，對正項(xiàng)級數(shù)可使用前述的關(guān)于正項(xiàng)級數(shù)的一系列判別法這是一任意項(xiàng)級數(shù) .因?yàn)榕袆e級數(shù) 的斂散性 例解而 收斂 級數(shù) 絕對收斂 , 從而原級數(shù)收斂 收斂注意：如果 不絕對收斂（即 發(fā)散），不能斷定原級數(shù) 發(fā)散 定理 (達(dá)朗貝爾)如果則（1）當(dāng) 1時 , 級數(shù) 發(fā)散對于級數(shù)證明 (2)由對于存

13、在N 0 , 當(dāng) n N 時 , 有發(fā)散定理（Canchy）解由所以級數(shù) 發(fā)散 如果則（1）當(dāng) 1 時 , 級數(shù) 發(fā)散 對于級數(shù) , 討論級數(shù) 的斂散性 例關(guān)于絕對收斂級數(shù)有以下重要性質(zhì)定理對于任意項(xiàng)級數(shù) ,若保留其非負(fù)項(xiàng),將其負(fù)項(xiàng)改寫為零, 可得一個正項(xiàng)級數(shù) ;若保留其非正項(xiàng)并改變其符號, 而將其正項(xiàng)改寫為零, 又可得另一個正項(xiàng)級數(shù) , 其中則級數(shù) 絕對收斂 和 都收斂證明 “ ” 據(jù)比較判別法知 “ ” 可知 絕對收斂 因?yàn)楝F(xiàn) 收斂 ,都收斂由于都收斂的條件下, 所以在 根據(jù)收斂級數(shù)的性質(zhì)知 收斂 ,若記則推論對于絕對收斂級數(shù) ,成立進(jìn)一步可知絕對收斂級數(shù)可任意交換項(xiàng)的次序定理絕對收斂級數(shù)

14、 經(jīng)任意改變無窮多項(xiàng)后得到的新級數(shù) ( 稱為更序級數(shù) )仍為絕對收斂 , 且級數(shù)的柯西乘法(對角線法) :設(shè)其中定理 (絕對收斂級數(shù)乘法的柯西定理)若 都絕對收斂, 其和分別為 A 和 B , 則它們的各項(xiàng)之積 按任意方法排列所成的級數(shù)也絕對收斂, 且其和為AB特別對于柯西乘法有例如幾何級數(shù)則即條件收斂級數(shù):若 收斂, 但 發(fā)散則稱級數(shù) 條件收斂 可以看出，對于條件收斂級數(shù) ，由于發(fā)散，此時正項(xiàng)級數(shù)的一些判別法用不上，這導(dǎo)致了判斷一級數(shù)是否條件收斂是困難的 但關(guān)于交錯級數(shù)有下面的萊布尼茲判別法 交錯級數(shù)：定理 (萊布尼茲判別法)對于交錯級數(shù)如果 an 單調(diào)減且 則交錯級數(shù)收斂 證明設(shè) 的部分和

15、數(shù)列為 Sn , 考慮子列 S2k .由于 S2k 是隨 k 單調(diào)增的 .又 S2k 單調(diào)增且有上界 S2k 收斂 ,設(shè)再考慮奇數(shù)項(xiàng)的子數(shù)列 S2k+1 , 因?yàn)閾?jù)極限性質(zhì)知 交錯級數(shù) 收斂 從證明過程可知:(1) 即(2)判別級數(shù) 的斂散性 例解這是一交錯級數(shù) .發(fā)散 原級數(shù)非絕對收斂由于又 單調(diào)減且據(jù)萊布尼茲判別法知交錯級數(shù) 收斂 ,所以原級數(shù)條件收斂 判別級數(shù) ( a為實(shí)常數(shù) ) 的斂散性 例解當(dāng) a = 0 時 , 原級數(shù)收斂 當(dāng) a 0 時 , 考慮級數(shù)由于于是 , 當(dāng) 時 , 原級數(shù)絕對收斂 ;當(dāng) 時 , 原級數(shù)發(fā)散 ;當(dāng) 時 ,由 知原級數(shù)絕對收斂解例設(shè)常數(shù) 0 , 且級數(shù) 收斂 , 討論級數(shù)的斂散性 因?yàn)?收斂 ,而現(xiàn) 收斂 ,所以原級數(shù)絕對收斂 解由當(dāng) n 充分大時 , 由 收斂 例的 n 有證明: 級數(shù) 收斂 設(shè)級數(shù) 和 都收斂 , 且對于充分大收斂據(jù)比較判別法知 收斂 .又由知級數(shù) 收斂 解判別級數(shù) 例的斂散性 .若設(shè)則級數(shù)的通項(xiàng): 由于下證 vn 單調(diào)