悖論――自引用――不一致――無(wú)

1、悖論自引用不一致無(wú)eantslveprblesbyusingthesaekindfthinkingeusedhenereatedthe.-AlbertEinstein寫下這個(gè)題目，不免有些驚心動(dòng)魄，這些主題詞未免太大了，還好本文只是討論它們之間的這一“，即對(duì)這些主題詞的相關(guān)方面作一些初步的討論。1悖論悖論自古有之。比較知名的是說(shuō)謊者悖論：一個(gè)人說(shuō)了一句話：“我如今在說(shuō)謊。我們來(lái)分析一下這句話是真話，還是謊話。假設(shè)這句話是真話，由它的內(nèi)容所指，那么這句話是謊話；反過(guò)來(lái)，假設(shè)這句話是謊話，那么“我如今在說(shuō)謊就是謊話，因此他說(shuō)的是實(shí)話。由這句話是真話，可以推導(dǎo)出這句話是謊話；由這句話是謊話，又可以推

2、導(dǎo)出這句話是真話。這就稱為悖論。更形式化的悖論定義是：“由A可以推導(dǎo)出AA的否認(rèn)的形式寫法，并且由A可以推導(dǎo)出A。悖論還有很多，如“蘇格拉底悖論、“萬(wàn)能上帝悖論、中國(guó)古代的“矛盾悖論、“先有雞先有蛋悖論、“自由悖論、康德的二律背反等等。還有一類跟悖論很相近的命題，我們不妨稱之為“自毀命題。自毀命題的定義是：“由A可以推導(dǎo)出A，但由A并不能推導(dǎo)出A。自毀命題具有自毀性質(zhì)，自毀命題本身是不能成立的，但它的否認(rèn)卻沒(méi)有約束。比方克里特哲學(xué)家說(shuō)：“克里特人總是說(shuō)謊，這就是一個(gè)自毀命題。這個(gè)命題與說(shuō)謊者悖論很相似，但兩者并不一樣。假設(shè)這句話是真話，那么由它所指及這個(gè)哲學(xué)家是個(gè)克里特人的事實(shí)，可以推出這個(gè)哲

3、學(xué)家也總是說(shuō)謊，這個(gè)哲學(xué)家如今當(dāng)然也是在說(shuō)謊，即這句話是謊話；再看另外一個(gè)方向，假設(shè)這句話是謊話，也就是“克里特人并不總是說(shuō)謊，由此并不能推出矛盾。再看“世上沒(méi)有絕對(duì)的真理，這也是一個(gè)自毀命題。假設(shè)這句話是真的，那么世上就有了絕對(duì)的真理，這與話語(yǔ)所指矛盾；假設(shè)這句話是假的，也就是“世上有某些絕對(duì)的真理，這并不能產(chǎn)生矛盾。再如“中國(guó)文化一無(wú)用處，這也是一個(gè)自毀命題。我們用中文文字來(lái)說(shuō)這句話，這樣來(lái)看，中文文字就是有用的，也即中國(guó)文化的某些東西是有用的，這就與原命題矛盾；反過(guò)來(lái)，這個(gè)命題的否認(rèn)也并不能產(chǎn)生矛盾。?五燈會(huì)元?里有長(zhǎng)爪梵志與佛陀的辯論，長(zhǎng)爪梵志的立論命題是“什么都不承受。佛陀就問(wèn)道：“

4、那你承受不承受什么都不承受這個(gè)觀點(diǎn)呢？長(zhǎng)爪梵志無(wú)言，只好認(rèn)輸。這也是一個(gè)自毀命題。自毀命題也還有很多，比方“真理是不可言說(shuō)的，“墻上不準(zhǔn)寫字，“我沒(méi)有在說(shuō)話，“我在睡覺(jué)，“以暴止暴等。另外，還有一類“自成命題。自成命題的定義是：“A并不可以推導(dǎo)出A，但由A可以推導(dǎo)出A。自成命題具有自成性質(zhì)，自成命題的否認(rèn)將導(dǎo)致矛盾的，但它的肯定卻沒(méi)有約束。比方哥德爾語(yǔ)句，就是自成命題。悖論與自毀命題、自成命題的一個(gè)區(qū)別是：自毀命題的名詞常常包含有一個(gè)全稱量詞的限制。悖論與自毀命題、自成命題的一樣之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖論在肯定和否認(rèn)命題兩個(gè)方向都會(huì)產(chǎn)生矛盾，而自毀命題在肯定命題時(shí)會(huì)產(chǎn)生矛盾，自成命題

5、在否認(rèn)命題時(shí)會(huì)產(chǎn)生矛盾。自毀命題只能假，自成命題只能真。2羅素悖論悖論里面最出風(fēng)頭的要數(shù)“羅素悖論，他直接引起了“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，撼動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的基矗以下，我們介紹一下“羅素悖論。假設(shè)集合具有自己屬于自己的性質(zhì)，那么我們稱這個(gè)集合是“自吞的，比方所有集合的集合。如今假設(shè)T是所有不自吞集合的集合。那么請(qǐng)問(wèn)T是否是自吞的？假設(shè)說(shuō)T不是自吞的，那么T將屬于自己，那么T就是自吞的。假設(shè)說(shuō)T是自吞的，那么T便具有T內(nèi)元素的性質(zhì)“不自吞，即T是不自吞的?！傲_素悖論的通俗形式是“理發(fā)師悖論：一個(gè)理發(fā)師聲稱他給且只給不為自己理發(fā)的人理發(fā)。那么問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)理發(fā)師是否給自己理發(fā)？假設(shè)他不給自己理發(fā)，那么按照他的

6、聲稱，他應(yīng)該給自己理發(fā)。假設(shè)他給自己理發(fā)，那么他便具有“不為自己理發(fā)性質(zhì)的，也就是他不為自己理發(fā)。數(shù)學(xué)家“日用而不知的“集合概念居然存在矛盾，這對(duì)于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們不啻一記晴天霹靂。打個(gè)比方，一個(gè)人早上醒來(lái)，卻發(fā)現(xiàn)自己腳下都是沙土?；蛘哒缫粋€(gè)百萬(wàn)富翁突然發(fā)現(xiàn)自己的錢都是假鈔?；蛘哒缫粋€(gè)小孩放學(xué)回來(lái)，卻發(fā)現(xiàn)自己的家人都不見了，自己的家都“空了。這樣的感覺(jué)無(wú)疑是使人震驚，甚至恐懼的。既然樸素的集合論思想是不嚴(yán)密的，那么數(shù)學(xué)家們就要建構(gòu)更加嚴(yán)密的集合論，在樸素集合論的概念里加上一些限制，以防止不適當(dāng)集合的出現(xiàn)。如此，公理集合論就漸漸開展起來(lái)了。其中，ZF公理集合論是比較成熟的一種。ZF公理集合論目

7、前還沒(méi)出現(xiàn)矛盾，但問(wèn)題是經(jīng)過(guò)了“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，如何叫數(shù)學(xué)家們相信“ZF公理集合論是一致的？所謂一致的，就是不矛盾的，或稱協(xié)調(diào)的，也就是不會(huì)在一個(gè)系統(tǒng)里面既有公式A為真又有公式A為真。這個(gè)問(wèn)題又?jǐn)U展到對(duì)數(shù)學(xué)根底的反思，什么樣的數(shù)學(xué)根底是穩(wěn)固的？數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)命題有什么意義？它們是建基于什么樣的證明之上的？1對(duì)于此問(wèn)題的不同看法，數(shù)理邏輯界形成了三派：邏輯主義學(xué)派羅素，懷特海、形式主義或公理學(xué)派希爾伯特、直覺(jué)主義布勞威爾學(xué)派。本文主要涉及形式主義學(xué)派。希爾伯特大力提倡數(shù)學(xué)的形式主義即公理化。在那個(gè)時(shí)期，初等幾何、算術(shù)、群、環(huán)、域、拓樸空間等數(shù)學(xué)系統(tǒng)都得到了公理論?；貞洑v史，我們還可以

8、驚奇地發(fā)現(xiàn)，哲學(xué)家斯賓諾莎嘗試過(guò)用公理化的方法來(lái)表述倫理學(xué)。希爾伯特提出了希爾伯特方案，也就是把古典數(shù)學(xué)的每一分支都形式化，并且證明這些數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性和完全性。所謂協(xié)調(diào)性，也就是一致性，即這個(gè)形式系統(tǒng)內(nèi)部不會(huì)出現(xiàn)矛盾。所謂完全性，是指這個(gè)形式系統(tǒng)里面的任一公式A，或者A是可證的，或者是A可證的。正當(dāng)希爾伯特滿懷信心要一勞永逸地解決數(shù)學(xué)根底問(wèn)題時(shí)，哥德爾不完全性定理的證明驚醒了形式主義學(xué)派的美夢(mèng)。3哥德爾哥德爾19061978在中國(guó)是值得大吹特吹的人物，國(guó)外一般認(rèn)為哥德爾與愛因斯坦都是上世紀(jì)最有影響的科學(xué)家。特別是在數(shù)學(xué)界和人工智能界，甚至有很多教授認(rèn)為哥德爾高于愛因斯坦。但在國(guó)內(nèi)，哥德爾

9、遠(yuǎn)不如愛因斯坦名聲響。究其原因，除了哥德爾理論的晦澀外，可能還由于哥德爾本人性格的內(nèi)向。哥德爾Gdel一般被認(rèn)為是亞里士多德以來(lái)最偉大的邏輯學(xué)家或許還加上一個(gè)弗雷格，他是現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)始人。他有幾個(gè)主要的奉獻(xiàn)：一階邏輯的完備性定理，哥德爾第一、第二不完全性定理、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理集合論的協(xié)調(diào)、旋轉(zhuǎn)宇宙里時(shí)間旅行的可能、把萊布尼茲的上帝存在論證明轉(zhuǎn)化為邏輯形式。在他的晚年，他對(duì)哲學(xué)產(chǎn)生了深沉的興趣，尤其是康德、萊布尼茲和胡塞爾的哲學(xué)理論。哥德爾晚年的轉(zhuǎn)向，其背后包含有什么東西呢？在第一不完全性定理中，哥德爾證明了，任一包含算術(shù)的形式系統(tǒng)，它的一致性和完全性是不可兼得的?；蛘哌@樣來(lái)說(shuō)，假設(shè)一個(gè)包含

10、算術(shù)的形式系統(tǒng)是一致的，那么這個(gè)系統(tǒng)必然是不完全的。所謂不完全，就是指存在一個(gè)公式A，使得A和A在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)都不可證。在哥德爾第一不完全定理中，哥德爾創(chuàng)造性地應(yīng)用了很多理論，如遞歸函數(shù)，哥德爾編碼，對(duì)角化，自引用等。在可計(jì)算的意義下，N上可表達(dá)性、遞歸函數(shù)、圖靈可計(jì)算也就是目前的計(jì)算機(jī)可計(jì)算、labda函數(shù)等計(jì)算模型都是等價(jià)的。正因?yàn)檫@些計(jì)算模型的等價(jià)性，哥德爾的工作經(jīng)常被借鑒到其它計(jì)算模型上去。4自引用哥德爾在第一不完全性定理的證明中，構(gòu)造了一個(gè)公式G，使得這個(gè)G是真的但在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)卻是不可證的。這個(gè)G可以理解為以下的漢語(yǔ)描繪：“這個(gè)數(shù)論語(yǔ)句在系統(tǒng)中是不可證的。這個(gè)G是不可證的，也就是“這個(gè)

11、數(shù)論語(yǔ)句在系統(tǒng)中是不可證的在系統(tǒng)中是不可證的。在這里，我們看到了“自引用或稱“自指，“怪圈。這種怪圈并不是在數(shù)學(xué)上獨(dú)有的。侯世達(dá)先生DuglasR.Hfstadter的?哥德爾、艾舍爾、巴赫集異壁之大成?2是人工智能界的一本奇書。在這本書里，作者考察了各種形式的“自引用。為了對(duì)這種“自引用有個(gè)直觀的理解，大家不妨看一下艾舍爾的木雕畫，看看那些“瀑布、“拿著反光球的手、“變形、“左手畫右手，右手畫左手等怪畫。同樣，在巴赫的卡農(nóng)與賦格里，也存在類似的怪圈。數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾更是神奇般地把這種怪圈引進(jìn)了以準(zhǔn)確著稱的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。令人叫絕的是，侯世達(dá)先生甚至在本書的創(chuàng)作中也使用了很多怪圈。另外，在博爾赫斯

12、和卡爾維諾的文學(xué)作品里，我們也可以看到類似的怪圈。我在?玄奘東歸記?的創(chuàng)作中，也嘗試使用了這種怪圈。再者，這種怪圈在道德界也經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)，但它往往是以反面的形式出現(xiàn)，也就是“不自指的。我們習(xí)慣于指責(zé)別人，我們很難做到“責(zé)人先責(zé)己。我們嚴(yán)于律人，寬以待己。我們習(xí)慣于指責(zé)其它民族，我們卻很難反省一下我們歷史上的“帝王將相動(dòng)那么活埋數(shù)十萬(wàn)人，我們卻很難反省一下狂亂的“文化大革命。目前，市面上總算看到了關(guān)于文革反省的?一百個(gè)人的十年?馮驥才著我們習(xí)慣于指責(zé)社會(huì)的物質(zhì)化，我們卻很難控制自己對(duì)物質(zhì)的欲望。我們習(xí)慣于指責(zé)社會(huì)在墮落，我們卻很難反省我們參與了整個(gè)社會(huì)的墮落。我們習(xí)慣于指責(zé)其別人貪污腐敗，我們卻

13、很難反省一下我們對(duì)權(quán)利財(cái)富的不當(dāng)追逐。我們習(xí)慣于說(shuō)別人都是壞的，我們卻很難反省我們自己也是壞的。其實(shí)，一切道德命題都應(yīng)該是“自指的?？档碌摹捌毡榛敲凑f(shuō)道：“要只按照你同時(shí)認(rèn)為也能成為普遍規(guī)律的準(zhǔn)那么去行動(dòng)。再來(lái)看自然語(yǔ)言方面，每個(gè)詞語(yǔ)都要由其它詞語(yǔ)定義，那么在語(yǔ)詞深處，不可防止地是循環(huán)定義的，是自引用的。不要再講這么多太玄的東西，我們只要簡(jiǎn)單地對(duì)看一眼，這時(shí)就是一個(gè)“自引用的悖論。假設(shè)甲與乙對(duì)看了一眼，那么請(qǐng)問(wèn)甲看得多，還是乙看得多？假設(shè)說(shuō)甲看得多，那么甲看到的所有東西通過(guò)甲的眼睛在乙的眼睛里的成像都會(huì)被乙看到，這樣來(lái)說(shuō)乙看得更多；假設(shè)說(shuō)乙看得多，同理可得甲看得更多。這不是悖論是什么？這種

14、怪圈在音樂(lè)界，在美術(shù)界，在文學(xué)界，在數(shù)學(xué)界，道德界、語(yǔ)言界乃至日常生活中都有其客觀的存在，那能否說(shuō)怪圈是人類的一種普遍現(xiàn)象呢？是不是因?yàn)槟撤N更本質(zhì)的怪圈比方意識(shí)里的怪圈，才導(dǎo)致了這種怪圈現(xiàn)象在音樂(lè)、在美術(shù)、在文學(xué)、在數(shù)學(xué)上的投影呢？現(xiàn)象學(xué)、存在主義、心理學(xué)、唯識(shí)學(xué)能對(duì)這種怪圈現(xiàn)象有什么奉獻(xiàn)嗎？5不一致根據(jù)第一不完全性定理可以推導(dǎo)出，一個(gè)包含算術(shù)形式系統(tǒng)的一致性在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)是不可證的。這就是哥德爾第二不完全性定理。根據(jù)這個(gè)定理，一致性的證明超出了形式系統(tǒng)的才能。也就是說(shuō)，形式系統(tǒng)可能是一致的，形式系統(tǒng)也可能是不一致的。在沒(méi)有發(fā)現(xiàn)形式系統(tǒng)的矛盾性之前，我們只有學(xué)習(xí)維特根斯坦，對(duì)系統(tǒng)的“一致性保持沉

15、默。前期的維特根斯坦認(rèn)為語(yǔ)言與世界共有一種邏輯本質(zhì)并追求一種準(zhǔn)確的語(yǔ)言，而后期的維特根斯坦那么成認(rèn)日常語(yǔ)言，承受日常語(yǔ)言的模糊性，訴諸常識(shí)世界圖示。這又能給我們什么啟示？我們左繞右繞，繞了這么久，還是繞不開“不一致？那么我們不妨換一種思維：“既然甩不掉你，那你要跟著，你就跟著吧?；蛟S“不一致正如同人的影子，它是人類遠(yuǎn)不脫的宿命？在這樣的思路下，非單調(diào)邏輯和弗協(xié)調(diào)邏輯誕生了。非單調(diào)邏輯成認(rèn)人在不同時(shí)間里理論不協(xié)調(diào)性的可能。比方當(dāng)人類看到大雁會(huì)飛、鴿子會(huì)飛于是總結(jié)出“所有的鳥都是能飛的。但后來(lái)人類又發(fā)現(xiàn)駝鳥是不能飛的，于是原來(lái)的命題就應(yīng)該改為“所有的鳥都是能飛的，除了駝鳥。而且，假設(shè)以后發(fā)現(xiàn)還有其

16、它鳥不能飛，這個(gè)命題就還要再改。這樣來(lái)看，系統(tǒng)的定理集并不是單調(diào)遞增的。非單調(diào)邏輯在“允許不一致方面進(jìn)展了探究，但非單調(diào)邏輯還不是嚴(yán)格的“不協(xié)調(diào)的邏輯。非單調(diào)邏輯允許在不同的時(shí)間里可以有A和A同時(shí)成立，但是在同一時(shí)間里，非單調(diào)邏輯也不允許A和A同時(shí)成立。那么，是否有一種邏輯允許A和A同時(shí)成立呢？我們來(lái)分析一下，假設(shè)有一種邏輯系統(tǒng)允許A和A同時(shí)成立，那么這個(gè)系統(tǒng)稱為不一致的。由反證法規(guī)那么可以推導(dǎo)出，在不一致的系統(tǒng)里，所有的公式都是真的。這種公式全真的系統(tǒng)，我們稱之為“缺乏道的系統(tǒng)，也就是沒(méi)有研究?jī)r(jià)值的系統(tǒng)。如此可以看出，“不一致的系統(tǒng)通過(guò)反證法規(guī)那么一定是“缺乏道的系統(tǒng)。那么，我們能不能構(gòu)造一

17、個(gè)“不一致但又足道的系統(tǒng)呢？答案是可以的，前提是該系統(tǒng)里不能成認(rèn)反證法規(guī)那么。弗協(xié)調(diào)邏輯ParansistentLgi3，就是這樣一個(gè)邏輯系統(tǒng)。在這個(gè)邏輯系統(tǒng)里，矛盾律和反證法不普遍有效。如此，就引入了一個(gè)不一致但卻足道的邏輯系統(tǒng)。弗協(xié)調(diào)邏輯是人類思維的一個(gè)大膽飛躍，它大膽地否認(rèn)了“矛盾律的普遍有效性，在系統(tǒng)里面引入了“不一致。在這個(gè)邏輯系統(tǒng)里，A和A可以同時(shí)成立。科斯塔N.A.dasta，1929，弗協(xié)調(diào)邏輯的創(chuàng)始者，定義了一系列邏輯系統(tǒng)n(1=n=)。在1系統(tǒng)中，AA成立時(shí)，歸謬律才成立。在2系統(tǒng)中，AAAAAA成立時(shí)，歸謬律才成立。如此類推，可以定義到。6無(wú)科斯塔的這些邏輯系統(tǒng)層次與佛教

18、中的“四重二諦是有類似之處的。我曾在?以數(shù)理邏輯試解四重二諦?4中試圖用邏輯語(yǔ)言來(lái)表達(dá)“四重二諦，并提出了真理的層次論。在“四重二諦中，有以下的性質(zhì)：a.每一重里，真諦來(lái)自于對(duì)俗諦的否認(rèn)。b.第(n+1)重的俗諦是第n重俗諦與真諦之分的前提。這種層次之分，與弗協(xié)調(diào)邏輯里的層次很有相似之處。不同之處在于，科斯塔的弗協(xié)調(diào)邏輯側(cè)重“立的方面，“四重二諦那么側(cè)重“破的方面?！八闹囟B的前三重可以對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)學(xué)歸納法。到了第四重，那么對(duì)于前三重建立的所有系統(tǒng)來(lái)了一個(gè)更徹底的否認(rèn)，直至“言亡慮絕。另外，在侯世達(dá)先生的?哥德爾、艾舍爾、巴赫集異壁之大成?里，我們也能看到很多禪宗的故事。一個(gè)外國(guó)人，通過(guò)一學(xué)期的漢語(yǔ)課，就能對(duì)禪宗有如此深的悟解，這是不能不讓我們驚嘆且慚愧的。本文的最后，我們也來(lái)欣賞一個(gè)禪宗故事。?大慧普覺(jué)禪師語(yǔ)錄?卷30里寫道：僧問(wèn)趙州：“狗子還有佛性也無(wú)？州云：“無(wú)。此一字子，乃是摧許多惡知惡覺(jué)底器仗也。如僧問(wèn)趙州：“狗子還有佛性？州云：“無(wú)。只管提撕舉覺(jué)，左來(lái)也不是，右來(lái)也不是；又不得將心等悟，又不得向舉起處承當(dāng)，又不得作玄妙領(lǐng)略，又不得作有無(wú)