線性方程組的解法及其應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)線性方程組的解法及其應(yīng)用The solution of linear equationand its application專 業(yè)： 測(cè)控技術(shù)與儀器班 級(jí)： 2010-1班作 者： 劉 穎學(xué) 號(hào)： 105摘要線性方程組是線性代數(shù)的一個(gè)重要組成部分，也在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中有著廣泛的運(yùn)用，在電子工程、軟件開發(fā)、人員管理、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域都起著重要的作用。在一些學(xué)科領(lǐng)域的研究中，線性方程組也有著不可撼動(dòng)的輔助性作用，在實(shí)驗(yàn)和調(diào)查后期利用線性方程組對(duì)大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理是很方便簡(jiǎn)捷的選

2、擇。本文主要圍繞如何解線性方程組來進(jìn)行講解，對(duì)于不同類型的線性方程組的不同方法，并簡(jiǎn)述線性方程組的一些實(shí)際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：齊次線性方程組，非齊次線性方程組，克萊姆法則，消元法，矩陣，矩陣的秩，特解，通解。AbstractLinear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software devel

3、opment, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to

4、solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords:Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clems law, Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Sp

5、ecial solution,General solution.1.線性方程組的定義小學(xué)的時(shí)候，我們就已經(jīng)學(xué)過方程，并解過一些簡(jiǎn)單方程，例如形如 的一元一次方程，形如 的一元二次方程等等。到了中學(xué)，又學(xué)習(xí)了形如 的二元一次方程組。這些都可以稱為簡(jiǎn)單的線性方程組。 1.1 一般線性方程組根據(jù)上述，所謂一般線性方程組是指形如 （1.1）的方程組，其中 代表n個(gè)未知量，m是該方程組所包含的方程的個(gè)數(shù)， 稱為方程組的系數(shù)， 稱為常數(shù)項(xiàng)。常數(shù)項(xiàng)一般寫在等式的右邊，一個(gè)方程組完全由常數(shù)項(xiàng)與系數(shù)所確定。 1.2 齊次線性方程組所謂齊次線性方程組是指對(duì)于一般線性方程組而言，常數(shù)項(xiàng)全為零。即齊次線性方程組是指形

6、如 （1.2）的方程組。1.3 非齊次線性方程組所謂非齊次線性方程組是指對(duì)于一般線性方程組而言，常數(shù)項(xiàng)不全為零。2.用克萊姆法則求解線性方程組利用克萊姆法則求解線性方程組時(shí)需要具備兩個(gè)條件：線性方程組的方程個(gè)數(shù)必須與未知量的個(gè)數(shù)相等，線性方程組的系數(shù)列行列式不等于零。2.1 克萊姆法則設(shè)含有個(gè)未知數(shù)的線性方程組 （2.1） 的系數(shù)行列式0， （2.2）則該線性方程組有解，且只有唯一解，其解可以表示為.其中Dj(j=1,2，n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即. （2.3） 2.2 克萊姆法則的證明用乘以第個(gè)方程,得,那么可以得到,（注意：上式中只有的系數(shù)不為零

7、，其余各項(xiàng)系數(shù)全為零.）于是 .又由于,所以,.另證：由于,所以，故 （）；有解且解唯一.2.3 克萊姆法則在線性方程組中的應(yīng)用（1）用克萊姆法則解方程組.解： 故線性方程組有解。 （2）設(shè)曲線 通過四點(diǎn)（1，3）、（2，4）、（3，3）、（4，3），求系數(shù).解：將四點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，得線性方程組，其系數(shù)行列式.又 .由克萊姆法則得方程組有惟一解。得 .以上為本文對(duì)克萊姆法則的簡(jiǎn)述。綜上所述，可知用克萊姆法則解n個(gè)未知量、n個(gè)方程的線性方程組，需要計(jì)算 n+1 個(gè)n階行列式，計(jì)算量相當(dāng)大。所以在實(shí)際問題中，超過四個(gè)未知數(shù)的線性方程組一般不采用克萊姆法則求解，通常是才用一下介紹的方法。盡管如

8、此，克萊姆法則在理論上仍然是相當(dāng)重要的，因?yàn)樗宄馗嬖V我們，當(dāng)方程組（2.1）的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，方程組（2.1）有唯一解，又從求解公式中可以看到方程組（2.1）的解與它們的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的依賴關(guān)系，而且以后將會(huì)看到，克萊姆法則還可以用于一般線性方程組的研究和討論。所以對(duì)克萊姆法則的條件、結(jié)論及其求解公式必須正確掌握和運(yùn)用。3.利用消元法求解線性方程組消元法是求解線性方程組的最直接、最有效、最一般的方法，它的基本思想是利用方程組中方程之間的算術(shù)運(yùn)算，每次保留一個(gè)方程，消去其他方程的某一個(gè)未知量，這樣一步步做下去，最后得到一個(gè)階梯形方程組，然后通過解這個(gè)比較容易求解的階梯形方程組而獲得原方程

9、組的解。3.1 線性方程組的矩陣設(shè)含有個(gè)未知數(shù)的線性方程組 （3.1）該方程組的矩陣表示形式為： AX = B其中A = ， X = ， B = .稱A為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣，X為未知矩陣，B為常數(shù)矩陣。將系數(shù)矩陣A和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣= （3.2）稱為方程組（3.1）的增廣矩陣。3.2 消元法若用初等行變換將增廣矩陣化為，則AX = B與CX = D是同解方程組。可以利用初等行變換將其增廣矩陣化簡(jiǎn)，將化成階梯形矩陣。用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣化成階梯形矩陣，再寫出該階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，逐步回代，求出方程組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了原方程組（

10、3.1）的解。這種方法被稱為消元法。證明：存在初等矩陣，使 . 記，則可逆，即存在。 設(shè)為方程組A X = B的解，即 A = B . 在上式兩邊左乘P，得 P A = PB , 即 C= D 說明也是方程組C X = D的解。反之，設(shè)為方程組C X = D的解，即 C= D . 在上式兩邊左乘，得 , 即 A = B . 說明也是方程組AX = B的解。 因此，方程組A X = B與C X = D的解相同，即它們是同解方程組。3.3 消元法的步驟及應(yīng)用（1）解線性方程組 . （3.3）解:先寫出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即= 上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線性方程組是同解

11、方程組，最后一個(gè)增廣矩陣表示的線性方程組為 將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得 .將其代入第二個(gè)方程，解得 .再將代入第一個(gè)方程組，解得 .因此，方程組（3.3）的解為 . （3.4）其中可以任意取值。 由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無窮多個(gè)。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未知量稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程組（3.3）的一般解，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量取定一個(gè)值（如=1），得到方程組（3.3）的一個(gè)解（如，），稱之為方程組（3.3）的特解。 注意，自由未知量的選取不

12、是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。 如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k，即令= k，那么方程組（3.3）的一般解為 ，其中k為任意常數(shù)。用矩陣形式表示為 （3.5）其中k為任意常數(shù)。稱表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。用消元法解線性方程組的過程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過程表示出來，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化，使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，對(duì)(1)中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn)， .上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程

13、組為 將此方程組中含的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解， （3.4） 其中可以任意取值。 (2) 解線性方程組 解:利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即 = 一般解為 .4.線性方程組解的結(jié)構(gòu)4.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) （1）齊次線性方程組的矩陣形式為：AX = O 解的情況可以歸納為：1齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是= 。2齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 。 注意：當(dāng)A為n階方陣時(shí)也可利用矩陣行列式判斷。3當(dāng)= r時(shí)，方程組AX = O有n-r個(gè)自由未知量。（2）齊次線性方程組AX = O解的性質(zhì)：性質(zhì)1 若和為齊次線性方程組AX =

14、 O的解，則+亦為AX = O的解。性質(zhì)2 若為齊次線性方程組AX = O的解，則k亦為AX = O的解，其中k為任意常數(shù)。由性質(zhì)1，2可知，若，為方程組AX = O的解，則+ +亦為AX = O的解，其中為任意常數(shù)。若，線性無關(guān)，且方程組AX = O的任何一個(gè)解X都可以被，線性表出，則AX = O的全部解就是 + +.其中為任意常數(shù)。(3)齊次線性方程組AX = O滿足下列兩個(gè)條件的一組解向量，稱為AX = O的基礎(chǔ)解系：線性無關(guān)方程組AX = O的任何一個(gè)解都可以用它們線性表出。則方程組AX = O的基礎(chǔ)解系就是其全部解向量的一個(gè)極大無關(guān)組。 當(dāng)= n時(shí)，方程組AX = O只有零解，故不存

15、在基礎(chǔ)解系；而當(dāng)= r(n)時(shí)，方程組AX = O有非零解，故存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)是n-r。由此可得如下結(jié)論：當(dāng)= rn時(shí)，方程組AX = O一定有基礎(chǔ)解系，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有n-r個(gè)解向量。若，為基礎(chǔ)解系，則AX = O的全部解為+ + ，其中為任意常數(shù)。稱為AX = O的通解。如何求方程組AX = O的基礎(chǔ)解系呢？把齊次線性方程組的系數(shù)寫成矩陣A；用初等行變換把A化為階梯陣；把階梯陣中非主元列所對(duì)應(yīng)的變量作為自由未知量分別令自由未知量中一個(gè)為1其余全部為0的辦法，求出n-r個(gè)解向量，這n-r個(gè)解向量構(gòu)成了基礎(chǔ)解系。（4）例：設(shè)齊次線性方程組，求其基礎(chǔ)解系和通解。解：

16、先寫出系數(shù)矩陣A，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即A = 再進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得由此可知為自由未知量。 令，得解向量；令，得解向量；于是，為方程組的基礎(chǔ)解系。通解為 +，其中為任意常數(shù)。4.2 非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)（1）非齊次方程組的矩陣表示形式為：AX = B 非齊次線性方程組AX = B的解的情況可以歸納為：方程組AX = B有解的充分必要條件是=。若= 時(shí)，方程組AX = B有唯一解。若= r時(shí)，方程組AX = B有無窮多解，且有n-r個(gè)自由未知量。（2）在非齊次線性方程組AX = B中，令B = O，得到相應(yīng)的齊次方程組AX = O。方程組AX = B與相應(yīng)的AX = O之間有密切的

17、關(guān)系，滿足如下性質(zhì)：若和為非齊次線性方程組AX = B的解，則-必為AX = O的解。若為非齊次線性方程組AX = B的解，為相應(yīng)的方程組AX = O的解，則+必為AX = B的解。5.線性方程組解的判定根據(jù)上述可知線性方程組的解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解。從求解過程可以看出，方程組（3.1）是否有解，關(guān)鍵在于增廣矩陣A B化成階梯非零行的行數(shù)與系數(shù)矩陣A化成階梯形矩陣后非零行的行數(shù)是否相等。因此，線性方程組是否有解，就可以用其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來描述了。5.1 解的判定方法線性方程組（3.1）有解的充分必要是 =。 推論1 線性方程組有唯一解的充分必要條件是= 。推論2 線性方

18、程組有無窮多解的充分必要條件是 。5.2 判定方法的應(yīng)用判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？(1) (2) (3)解：(1) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B = 因?yàn)?= 4，=3，兩者不等，所以方程組無解。(2) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B = 因?yàn)?=2n（= 3），所以方程組有無窮多解。(3) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即A B = 因?yàn)?= 3 = n，所以方程組有唯一解。6.線性代數(shù)的實(shí)際意義61 如果你想順利地拿到學(xué)位，線性代數(shù)的學(xué)分對(duì)你有幫助。6.2 如果你想繼續(xù)深造，考研，必須學(xué)好線代。因?yàn)樗潜乜嫉臄?shù)學(xué)科目，也是研

19、究生科目矩陣論、泛函分析的基礎(chǔ)。例如，泛函分析的起點(diǎn)就是無窮多個(gè)未知量的無窮多線性方程組理論。6.3 如果你想提高自己的科研能力，不被現(xiàn)代科技發(fā)展潮流所拋棄，也必須學(xué)好。要是沒有線性代數(shù)，任何數(shù)學(xué)和初等教程都講不下去。按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表述的。它是第二代數(shù)學(xué)模型，其根源來自于歐幾里得幾何、解析幾何以及線性方程組理論、，如果不熟悉線性代數(shù)的概念，像線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等。要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多，甚至可能學(xué)習(xí)社會(huì)科學(xué)也是如此。6.4 如果畢業(yè)后想找個(gè)好工作，也必須學(xué)好線代。（1）想搞數(shù)學(xué)：當(dāng)個(gè)數(shù)學(xué)家。恭喜你，你的職業(yè)未來將是最光明的。如果到美國(guó)

20、打工的話你可以找到最好的職業(yè)。（2）想搞電子工程：電路分析、線性信號(hào)系統(tǒng)分析、數(shù)字濾波器分析設(shè)計(jì)等需要線代，因?yàn)榫€代就是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具；進(jìn)行IC集成電路設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)付數(shù)百萬個(gè)集體管的仿真軟件就需要依賴線性方程組的方法；想搞光電及射頻工程，好，電磁場(chǎng)、光波導(dǎo)分析都是向量場(chǎng)的分析，比如光調(diào)制器分析研制需要張量矩陣，手機(jī)信號(hào)處理等等也離不開矩陣運(yùn)算。（3）想搞軟件工程：3D游戲的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是以圖形的矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)；當(dāng)然，如果你只想玩3D游戲可以不必掌握線代；想搞圖像處理，大量的圖像數(shù)據(jù)處理更離不開矩陣這個(gè)強(qiáng)大的工具，阿凡達(dá)中大量的后期電腦制作沒有線代的數(shù)學(xué)工具簡(jiǎn)直難以想象。（4）想搞經(jīng)濟(jì)研究：

21、知道列昂惕夫（Wassily Leontief）嗎？哈佛大學(xué)教授，1949年用計(jì)算機(jī)計(jì)算出了由美國(guó)統(tǒng)計(jì)局的25萬條經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)所組成的42個(gè)未知數(shù)的42個(gè)方程的方程組，他打開了研究經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的新時(shí)代的大門。這些模型通常都是線性的，也就是說，它們是用線性方程組來描述的，被稱為列昂惕夫“投入-產(chǎn)出”模型。列昂惕夫因此獲得了1973年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。（5）相當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)：要會(huì)運(yùn)籌學(xué)，運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要議題是線性規(guī)劃。許多重要的管理決策是在線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上做出的。線性規(guī)劃的知識(shí)就是線代的知識(shí)啊。比如，航空運(yùn)輸業(yè)就使用線性規(guī)劃來調(diào)度航班，監(jiān)視飛行及機(jī)場(chǎng)的維護(hù)運(yùn)作等；又如，你作為一個(gè)大商場(chǎng)的老板，線性規(guī)劃可以幫助你合理的安排各種商品的進(jìn)貨，以達(dá)到最大利潤(rùn)。（6）對(duì)于其他工程領(lǐng)域，沒有用不上線代的地方。如搞建筑工程，那么奧運(yùn)場(chǎng)館鳥巢的受力分析需要線代的工具；石油勘探，勘探設(shè)備獲得的大量數(shù)據(jù)所滿足的幾千個(gè)方程組需要線代知識(shí)來解決；飛行器設(shè)計(jì)，就要研究飛機(jī)表面的氣流的過程包含反復(fù)求解大型的線性方程組； 做餐飲業(yè)，對(duì)于構(gòu)造一份有營(yíng)養(yǎng)的減肥食譜也需要解線性方程組；知道有限元方法嗎？這個(gè)工程分析中十分有效的有限元方法，其基礎(chǔ)就是求解線性方程組。知道馬爾科夫鏈嗎？這個(gè)“